第1章 1 等腰三角形(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

参 考 答 案 参 考 答 案 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形 （第 1 课时） 1. 60° 2.∠ABC=∠DCB 或 ∠ACB=∠DBC 或 OB=OC 或 OA=OD 或 AB=CD 3. 8 cm 180° 4. D 5. C 6. B 7. C 8. A 9. 证明： ∵CF∥AB ， ∴∠F=∠ADE ， ∠A=∠ACF. 又 ∵EA=EC ， ∴△ADE≌△CFE ， ∴ AD=CF. 10. 解： （ 1 ） ①△ABD≌△ACD ， ②△ABE≌△ACE ， ③△BDE≌△CDE. ① 证明： 在 △ABD 和 △ACD 中， ∵AB= AC ， BD=CD ， AD=AD ， ∴△ABD≌△ACD （ SSS ） . ② 证明 ： 由 △ABD≌△ACD 得 ∠BAD=∠CAD ， 又 ∵AB=AC ， AE=AE ， ∴△ABE≌△ACE （ SAS ） . ③ 证明： 由 △ABE≌△ACE ， 得 BE=CE ， 又 ∵BD=CD ， DE=DE ， ∴△BDE≌△CDE （ SSS ） . （ 2 ） AE 是 △ABC 的顶角的平分线、 底边上的高线和底边的中线 . 11. 解 ： ∵OA=OB=OC ， ∴∠BAO=∠ABO ， ∠CAO=∠ACO ， ∠CBO=∠BCO. ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° ， ∴∠OBA+∠OBC+∠OAC=90°. ∵∠OBA=40° ， ∠OAC=30° ， ∴∠OBC=20°. * 1２. （ 1 ） △ABE 与 △CAF 全等成立 . 证明： 如正文图 1 ， ∵∠1 ， ∠2 分别是 △CAF ， △ABE 的外角， ∴∠1=∠ACF+ ∠CAF ， ∠2=∠BAE+∠ABE. 又 ∵∠BAC=∠BAE+∠CAF ， ∠1=∠2=∠BAC ， ∴∠BAE=∠ACF ， ∠ABE=∠CAF. 又 ∵ AB= CA ， ∴△ABE≌△CAF. （ 2 ） 解： 如正文图 2 ， ∵ 由 （ 1 ） 知 △ABE≌△CAF ， ∴S △ABE =S △CAF ， ∴S △ABE +S △CDF =S △CAF +S △CDF = S △ACD . 设 △ABC 的 BC 边上的高为 h ， ∴S △ABD = 1 2 h · BD ， S △ACD = 1 2 h · CD. ∵CD=2BD ， S △ABC =9 ， ∴S △ACD =6. ∴S △ABE +S △CDF =6. * 13. 解： （ 1 ） 若 ∠A 为顶角， 则 ∠B= （ 180°-∠A ） ÷2=50° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为顶角， 则 ∠B=180°-2×80°=20° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为底角， 则 ∠B=80°. 故 ∠B=50° 或 20° 或 80°. （ 2 ） 分两种情况： ① 当 90≤x＜180 时， ∠A 只能为顶 角， ∴∠B 的度数只有一个 . ② 当 0＜x＜90 时， 若 ∠A 为顶角， 则 ∠B= 180-x 2 2 ' ° . 若 ∠A 为底角， ∠B 为顶角， 则 ∠B= （ 180-2x ） ° ； 若 ∠A 为底角， ∠B 为底角， 则 ∠B=x°. 当 180-x 2 ≠180-2x 且 180-2x≠x 且 180-x 2 ≠x ， 即 x≠60 时， ∠B 有 三个不同的度数 . 综上所述， 可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时， ∠B 有三个不同的度数 . * 14. 解： （ 1 ） ∠DAC 的度数不会改变 . ∵EA=EC ， ∴∠CAE=∠C. ∴∠AED=2∠C. ∵∠BAE=90° ， ∴∠B=180°-∠BAE- ∠AED=90°-2∠C. ∵BA=BD ， ∴∠BAD=∠ADB. ∴∠BAD= 1 2 （ 180°-∠B ） = 1 2 ［ 180°- （ 90°-2∠C ）］ =45°+∠C. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°- （ 45°+∠C ） =45°-∠C ， ∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°. （ 2 ） ∵EA=EC ， ∴∠CAE= ∠C. ∴∠AED=2∠C. ∵∠BAE=n° ， ∴∠B=180°-n°-∠AED=180°-n°-2∠C. ∵BA=BD ， ∴∠BAD=∠ADB ， ∴∠BAD= 1 2 （ 180°-∠B ） = 1 2 ［ 180°- （ 180°-n°-2∠C ）］ = 1 2 n°+∠C ， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=n°- 1 2 n°-∠C= 1 2 n°-∠C. ∴∠DAC= ∠DAE+∠CAE= 1 2 n°-∠C+∠CAE= 1 2 n°. 15. 52° 16. 4 17. 6 18. 100° 19. C 20. B 21. B 22. 证明： ∵△ACD ， △BCE 分别是以 AC ， BC 为底边的等腰三角形， ∴AD=DC ， CE=BE. ∴∠A=∠DCA ， ∠ECB= ∠CBE. ∵∠A=∠CBE ， ∴∠A=∠ECB=∠DCA=∠CBE. ∴CD∥BE.∴∠DCE=∠CEB. ∵EF=AD ， AD=DC ， ∴EF=DC. 又 ∵CE= BE ， ∴△DCE≌△FEB （ SAS ） . ∴DE=BF. 1 等腰三角形 （第 2 课时） 1. 240 2. 40 3. 15° 4. 12 5. D 6. 解： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°. ∴∠ACD=120°. ∵CG=CD ， ∴∠CDG=∠CGD= 1 2 （ 180°－∠ACD ） =30°. ∴∠FDE=150°. ∵DF=DE ， ∴∠E=∠EFD= 1 2 （ 180°－∠FDE ） =15°. 7. （ 1 ） 解： ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠B=∠A=∠C=60° . ∵∠B+∠1+∠DEB=180° ， ∠DEB+∠DEF+∠2=180° ， ∠DEF=60° ， ∴∠1+∠DEB=∠2+∠DEB. ∴∠2=∠1=50°. （ 2 ） 证明： ∵DF∥BC ， ∴∠2=∠3. 又由 （ 1 ） 知， ∠1=∠2 ， ∴∠1=∠3． 8. 解： （ 1 ） ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ， ∠ACB=∠BAC=60°. 又 ∵AD=CE ， ∴△BCE≌△CAD （ SAS ） . ∴ ∠CBE=∠ACD. ∵∠BCD+∠ACD=60° ， ∴∠BCD+∠CBE=60° . 又 ∵∠CPE=∠BCD+∠CBE ， ∴∠CPE=60° . （ 2 ） ∵ △ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ， ∠ACB=∠BAC=60°. ∵∠BCE=180°-∠ACB ， ∠CAD=180°-∠BAC ， ∴∠BCE=∠CAD= 120° . 又 ∵AD=CE ， ∴△BCE≌△CAD （ SAS ） . ∴∠BEC=∠ADC. ∵∠ECP=∠ACD ， ∴∠BEC+ ∠CPE=∠ADC+∠CAD. ∴∠CPE=∠CAD=120°. 9. （ 1 ） 证明： ∵△ABC 与 △ECD 是等边三角形， ∴AC=BC ， DC=EC ， ∠B=∠ACB=∠DCE= 60°． 又 ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD ， ∠ACE=∠DCE-∠ACD ， ∴∠BCD=∠ACE. ∴△ACE≌△BCD （ SAS ） . ∴∠CAE=∠CBD=60°． ∴∠CAE=∠ACB． ∴AE∥BC. （ 2 ） 补画的图形如图所示， （ 1 ） 的结论仍然成立 . 证明如下： 同 （ 1 ） 方法可证 △ACE≌ △BCD ， ∴∠CAE=∠CBD． ∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60° ． ∴∠CAE= ∠CBD=120°． ∴∠BAE=∠CAE-∠BAC=60°. ∴∠BAE=∠ABC. ∴AE∥BC. 10. 1+ 3 姨 11. B 1 等腰三角形 （第 3 课时） 1. 55° 和 55° 或 70° 和 40° 2. 6 或 7 3. 42 4. D 5. B 6. C 7. 证明： ∵CE 是 ∠ACB 的平分线， ∴∠FCE=∠BCE. ∵EF∥BC ， ∴∠FEC=∠BCE. ∴∠FCE=∠FEC. ∴FE=FC. ∴△FEC 是等腰三角形 ． 8. 证明： ∵∠BAC=90° ， ∴∠ABE+∠AEB=90°. ∵AD⊥BC ， ∴∠DBF+∠BFD=90°. ∵∠ABE=∠CBE ， ∴∠AEB=∠BFD. E A B C D 第 9 题答图 179 三角形的证明 第一章 知识网络 第一章 三角形的证明 三角形 三 角 形 的 证 明 有两条边相等的三角形 有两个角相等的三角形 三角形全等 公理 1 （SSS） 公理 2 （SAS） 公理 3 （ASA） →定理 （AAS） 判定 HL （斜边和直角边对应相等） 全等三角形的对应边相等、 对应角相等 等腰三角形 底边 和腰 相等 两腰相等 性质 判定 两底角相等 推论 等腰三角形顶角的 平分线、 底边上的 中线及底边上的高 线互相重合 等边三角形 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 判定 三条边都相等 三个内角都相等， 并且每个角都等于 60° 性质 有一个角等于 60°的等腰三角形 两个锐角互余 两条直角边的平方和等于 斜边的平方 性质 有两个角互余的三角形 三角形两边的平方和等于 第三边的平方 判定 直角三角形 在直角三 角形中， 如果一个 锐角等于 30° ， 那 么它所对 的直角边 等于斜边 的一半 性质 1 八年级下册 （北师大版）数学 1 等腰三角形 （第 1课时） 判定： 在一个角的内部到这个角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 三角形的三条角平分线相交于一点， 并 且这一点到三条边的距离相等 性质 推理方法与逆定理 一种推理方法→反证法 互逆命题 定理逆命题是真命题 互逆定理 尺规作图 作等腰三角形 过一点作直线的垂线 （点在直线上和直线外） 特殊线 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一 点， 并且这一点到三个顶点的距离相等 性质 判定： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 线段的垂 直平分线 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， BD=CD ， DE⊥AB ， DF⊥AC ， 垂足分别为点 E ， F． 求证： △BED≌△CFD． 【分析】 首先根据 AB=AC ， 可得 ∠B=∠C ， 再由 DE⊥AB ， DF⊥AC ， 可得 ∠BED=∠CFD=90° ， 然后利用 AAS 定理即可判定 △BED≌△CFD． 【解答】 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴∠BED=∠CFD=90°． ∵AB=AC ， ∴∠B= ∠C． 又 ∵BD=CD ， ∴△BED≌△CFD （ AAS ） ． 【点拨】 利用三角形全等解决问题的关键是根据题目中的条件， 结合图形， 灵活选用三 角形全等的判定方法 . 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS ， SAS ， ASA ， AAS． 注意： AAA ， SSA 不能判定两个三角形全等， 判定两个三角形全等时， 至少有一条边对 应相等， 若有两边一角对应相等时， 角必须是两边的夹角 ． 例题图 A E F B D C 2 三角形的证明 第一章 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠B=35° ， ∠C=25° ， 在 BC 边上取点 D ， E ， 使 AD=BD ， AE=EC ， 则 ∠DAE= . 2. 如图， 已知 ∠A=∠D ， 若使 △ABC≌△DCB ， 你认为应该添加的条 件是 . （要求只添加一个条件， 不添加辅助线和字母） 3. 如图， 已知 △ABC≌△EBF ， AB⊥CE 于点 B ， ED⊥AC 于点 D ， 若 AB=5 cm ， BC=3 cm ， 则 CE= ， ∠C+∠DFB= . 4. 如图， 已知 AB=AC ， AE=AD ， 那么图中全等三角形共有 （ ） A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 5. 如图， 在 △ABC 中， AC=AD=BD ， ∠DAC=80° ， 则 ∠B 的度数是 （ ） A. 40° B. 35° C. 25° D. 20° 6. 如图， 在 △ABC 中， D ， E 两点分别在 AC ， BC 上， 且 AB=AC ， CD=DE. 若 ∠A=40° ， ∠ABD ∶ ∠DBC=3 ∶ 4 ， 则 ∠BDE= （ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 7. 在 △ABC 中， AB=AC ， AD⊥BC 于点 D ， △ABC 的周长为 36 cm ， △ADC 的周长为 30 cm ， 那么 AD 等于 （ ） A. 6 cm B. 8 cm C. 12 cm D. 20 cm 8. 下列命题不正确的是 （ ） A. 等腰三角形两个内角相等 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形两个底角相等 D. 等腰三角形底边上的中线、 底边上的高、 顶角平分线重合 9. 如图， 已知 D 是 △ABC 的边 AB 上一点， CF∥AB ， DF 交 AC 于点 E ， 若 EA=EC ， 求 证： AD=CF. 第 6 题图 A B D E C 第 9 题图 A B D F E C 第 4 题图 第 5 题图 O A B D E C A B D C 第 3 题图 A B D F E C 第 1 题图 第 2 题图 A B D E C O A B D C 3 八年级下册 （北师大版）数学 10. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， D 为 △ABC 内部一点， 且 BD=CD ， 连接 AD 并延长交 BC 于点 E. （ 1 ） 找出图中有哪几对全等三角形， 并证明你的结论 . （ 2 ） AE 在 △ABC 中有什么特征？ 能力提升 综合拓展 11. 如图， 在 △ABC 内有一点 O ， 且 OA=OB=OC ， ∠OBA=40° ， ∠OAC=30°. 求 ∠OBC 的 度数 . * 12. （ 1 ） 如图 1 ， 点 B ， C 在 ∠MAN 的边 AM ， AN 上， 点 E ， F 在 ∠MAN 内部的射线 AD 上 ， ∠1 ， ∠2 分别是 △CAF ， △ABE 的外角 . 已知 AB=AC ， ∠1=∠2=∠BAC ， 那么 △ABE 与 △CAF 全等的结论是否成立？ 如果成立， 请证明； 如果不成立， 请说明理由 . （ 2 ） 如图 2 ， 在等腰三角形 ABC 中， AB=AC （ AB＞BC ）， 点 D 在边 BC 上， CD=2BD ， 点 E ， F 在线段 AD 上， ∠1=∠2=∠BAC. 若 S △ABC =9 ， 请你应用 （ 1 ） 中结论， 求 S △ABE 与 S △CDF 的和 . 第 12 题图 M N A B D F E C 1 2 1 2 A B D F E C 图 1 图 2 第 11 题图 第 10 题图 A B D E C 注： 带 “ 鄢 ” 的题是思维拓展题， 略有难度 . 以下带 “ 鄢 ” 的题情况相同 . O A B C 4 三角形的证明 第一章 * 13. 数学课上， 张老师举了下面的例题： 例 1 在等腰三角形 ABC 中， ∠A=110° ， 求 ∠B 的度数 ． （答案： 35° ） 例 2 在等腰三角形 ABC 中， ∠A=40° ， 求 ∠B 的度数 . （答案： 40° ， 70° 或 100° ） 张老师启发同学们进行变式， 小敏编了如下一题： 变式 在等腰三角形 ABC 中， ∠A=80° ， 求 ∠B 的度数 ． （ 1 ） 请你解答以上的变式题 . （ 2 ） 解 （ 1 ） 后， 小敏发现， ∠A 的度数不同， 得到 ∠B 的度数的个数也可能不同， 如 果在等腰三角形 ABC 中， 设 ∠A=x° ， 当 ∠B 有三个不同的度数时， 请你探索 x 的取值范围 ． * 14. 问题： 如图， 在 △ABD 中， BA=BD． 在 BD 的延长线上取点 E ， C ， 作 △AEC ， 使 EA＝EC ， 若 ∠BAE＝90° ， ∠B＝45° ， 求 ∠DAC 的度数 ． 答案： ∠DAC＝45°． 思考： （ 1 ） 如果把以上 “问题” 中的条件 “ ∠B＝45° ” 去掉， 其余条件不变， 那么 ∠DAC 的度数会改变吗？ 请说明理由 . （ 2 ） 如果把以上 “问题 ” 中的条件 “ ∠B＝45° ” 去掉 ， 再将 “ ∠BAE＝90° ” 改为 “ ∠BAE＝n° ”， 其余条件不变， 求 ∠DAC 的度数 ． A B C D E 第 14 题图 5 八年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 15. （ 2023 ·新疆） 如图， 在 △ABC 中， 若 AB=AC ， AD=BD ， ∠CAD=24° ， 则 ∠C= ． 16. （ 2023 ·重庆） 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， AD 是 BC 边的中线 ， 若 AB=5 ， BC= 6 ， 则 AD 的长度为 ． 17. （ 2024 ·镇江） 等腰三角形的两边长分别为 6 和 2 ， 则第三边长为 ． 18. （ 2024 ·内江 ） 如图 ， 在 △ABC 中 ， ∠DCE=40° ， AE=AC ， BC=BD ， 则 ∠ACB 的度数为 ． 19. （ 2023 ·宿迁） 若等腰三角形有一个内角为 110° ， 则这个等腰 三角形的底角是 （ ） A． 70° B． 45° C． 35° D． 50° 20. （ 2023 ·河北） 四边形 ABCD 的边长如图所示， 对角线 AC 的长度随 四边形形状的改变而变化 ． 当 △ABC 为等腰三角形时， 对角线 AC 的长为 （ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 21. （ 2024 ·兰州） 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠BAC=130° ， DA⊥AC ， 则 ∠ADB= （ ） A． 100° B． 115° C． 130° D． 145° 22． （ 2023 ·烟台） 如图， 点 C 为线段 AB 上一点， 分别以 AC ， BC 为等腰三角形的底边， 在 AB 的同侧作等腰三角形 ACD 和等腰三角形 BCE ， 且 ∠A=∠CBE． 在线段 EC 上取一点 F ， 使 EF=AD ， 连接 BF ， DE． 求证： DE=BF. 第 22 题图 A B C D E F 第 18 题图 第 21 题图 第 20 题图 2 4 2 3 A B C D A B C D E A B C D 第 16 题图 A B C D 第 15 题图 A B C D 6