7.5 平行线的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(冀教版2024)

7.5 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 课题 平行线的性质 课型 新授课 教学内容 教材第54-57页的内容 教学目标 1.经历探究平行线性质定理的过程,掌握平行线的性质定理并会应用. 2.提高学生的合情推理能力，发展学生的说理能力. 教学重难点 教学重点：掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判 断角相等或互补。 教学难点：能够根据平行线的性质进行简单的推理. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入课题 提出问题： 先回忆一下上节所学内容，观察图形,填空。 ①如果∠1＝∠C，　 那么＿＿∥＿＿（　 ）。　　　　 　 ② 如果∠1＝∠B ， 那么＿＿∥＿＿（　 ）。 ③ 如果∠2＋∠B＝180°， 那么＿＿∥＿＿（　 ）。 学生回答，教师继续追问。 【追问】通过上题可知平行线的判定方法是什么？ 学生回答三种判定方法。 【追问】思考：反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 2.归纳总结，学习新知 [过渡语] 受两条直线平行判定方法研究过程的启发，下面,我们用一条直线去截两条平行线来探索在这种情况下同位角、内错角、同旁内角有什么样的特殊关系. 1.【师生活动】教师：如图所示，已知直线 a∥b,且被直线 c 所截. （1）在位置上,∠1 与∠5 是什么关系？ (2)在数量上,∠1 与∠5 是什么关系?想一想怎样验证你的猜想. (3）图中还有哪些角是同位角?每对同位角都相等吗？ 学生：学生思考回答。 学生成果：（1）同位角. (2)相等，可以用量角器分别量一下这两个角. （3）除了∠1 与∠5 是同位角之外,还有三对同位角,即∠3 与∠7,∠4 与∠8，∠2 与∠6.每对同位角都相等。 教师：教师点评，继续提出问题。 【追问】（4）请你画一条直线 d，使它和 a，b 都相交,度量其中任意一对同位角,看其大小有什么关系. 学生：学生根据要求画图，并用量角器测量任意一对同位角， 给出结论。 教师：教师点评，并根据上述问题总结。 【总结】 平行线性质定理:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 简称为:两直线平行，同位角相等. 2.【师生活动】教师：两条平行线被第三条直线所截,除了同位角相等外,每对内错角和每对同旁内角之间在数量上有什么关系？ 同学们大胆地猜想一下，试着用上述同样的方法验证内错角、同旁内角的大小关系，并尝试用所学过的几何知识证明你的猜想是否正确。 你们可以以下面的图片为例，自己动手验证，并尝试用几何知识解答。 （1）如图所示，直线 AB∥CD,AB，CD 被直线 EF 所截，∠1 和∠2 是内错角。 （2）如图所示,直线 AB∥CD,AB，CD 被直线 EF 所截， ∠1 和∠2 是同旁内角。 学生：学生分组交流、讨论。 教师：老师先就（1）让学生回答，并共同完成说理过程。 板演：（1）对∠1=∠2 说理过程如下： ∵AB∥CD（已知), ∴∠1=∠3（两直线平行,同位角相等）。 ∵∠2=∠3(对顶角相等）， ∴∠1=∠2（等量代换）。 教师：你们自己完成（2）的说理过程。 学生：学生解答。 教师：老师点评、总结。 【总结】两条平行线被第三条直线所截，内错角相等,同旁内角互补。 简称为：两直线平行,内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 3.学以致用，应用新知 考点 平行线性质的应用 【例1】展示课本P55例1 【例2】 潜望镜中的两面镜子是平行放置的，如图所示，光线经镜子反射时的入射角等于反射角，即∠1=∠2，∠3=∠4，你能说明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？ 解：∵，∴， 。 又∵，，∴。 ∵，∴。 4. 随堂训练，巩固新知 1.课本P56练习 2.（1）如图所示，AB∥CD,∠A=50°,则∠1 的大小是 （C) A.50° B.120° C.130° D.150° （2）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中 AB∥CD,∠EAB=45°,则∠FDC 的度数是 （B） A.30° B.45° C.60° D.75° （3）如图所示,直线 AB∥CD，BC 平分∠ABD,∠1=65°, 求∠2 的度数. 解：∵直线 AB∥CD,∠1=65°， ∴∠ABC=∠1=65°. ∵ BC 平分∠ABD, ∴∠ABD=2∠ABC=130°。 ∵直线 AB∥CD, ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴∠2=∠BDC=180°-∠ABD=180°-130°=50°. 5.课堂小结，自我完善 本节课我们学习了平行线的三个性质： （1）两直线平行。同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 同学们要分清平行线的条件与性质的联系与区别，正确运用这些推理去解决有关问题。 6.布置作业 课本P56习题A组1、2；P57B组4、5。 平行线的性质与判定直线平行的条件与结论是互逆的，对初学者来说易将它们混淆，因此,复习判定直线平行的条件为后面学习性质做好准备. 通过对两条平行线被第三条直线所截图形的观察,从直观上获得“同位角相等”的猜想,进而验证（以后证明）。 给出平行线的性质定理。 通过测量、猜想、验证，让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质1,然后再在性质1的基础上验证性质2，3 的正确性，从而使学生对知识的认识从感性 上升到理性. 师生共同完成（1）， 能够帮助学生厘清说理过程，起到示范作用，为学生自主解答（2）打基础。 教师可以巡视指导，及时给予学生帮助。 给出平行线的性质定理。 通过【例1】让学生体会平行线的性质在求角中的应用。 通过【例2】让学生进一步体会平行线的性质的应用。 板书设计 7.5 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 平行线的性质： （1）两直线平行。同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 教后反思 学习了平行线判定定理之后,接着学习平行线的性质定理.学生容易出现混淆判定定理和性质定理的情况，帮助学生区分平行线判定定理和平行线性质定理,有利于学生今后学习有关证明的问题.在本节课的教学过程中,暗含了定理的条件和结论,无论是例题还是习题,都对定理的条件进行说明和强调,这既能帮助学生建立知识之间的联系,也帮助学生准确利用平行线的判定定理和性质定理. 7.5 平行线的性质 第2课时 平行线的性质与判定的综合应用 课题 平行线的性质与判定的综合应用 课型 新授课 教学内容 教材第58-60页的内容 教学目标 1.能够区分平行线的性质定理和平行线的判定定理； 2.了解“平行于同一条直线的两条直线平行。” 3.能够熟练运用平行线的性质定理和判定定理对几何图形进行逻辑推理。 教学重难点 教学重点：掌握平行于同一条直线的两条直线平行并能加以运用. 教学难点：掌握平行线的判定与性质定理，能熟练运用平行线的判定与性质定理解决有关问题. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 如图所示. （1)若∠1=∠2,可以判定哪两条直线平行?根据是什么？ （2)若∠2=∠M,可以判定哪两条直线平行?根据是什么? （3)若∠2+∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ 学生回答，教师点评，引出本节课题。 2.推理探究，学习新知 1.[过渡语］ 我们学习了平行线的判定和性质,下面我们尝试一下怎样应用平行线的判定和性质进行相关说理。 【例1】展示课本P58例2 已知：如图，∠1=∠2．对∠3=∠4说明理由. 教师：让学生自己先观察，思考。 学生思考。 【师生共同分析】∠1 和∠2 是 AB,CD 被 BD 所截得的内错角,由∠1=∠2 可得 AB∥CD。∠3 和∠4 是 AB，CD 被 AC 所截得的内错角,由 AB∥CD，可得∠3=∠4. 学生自主解答，教师巡视指导，最后共同解答。 解：理由:∵∠1=∠2(已知）, ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行）。 ∴∠3=∠4(两直线平行，内错角相等）. 【例2】如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. （1）DE和BC平行吗？为什么？ （2）∠C是多少度？为什么？ 解:（1） DE∥BC.理由如下： ∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°， ∴ ∠ADE=∠B ，∴ DE∥BC (同位角相等，两直线平行 ). （2）∠C =40°.理由如下： 由（1）得DE∥BC,∴ ∠C=∠AED (两直线平行，同位角相等）。 又∵∠AED=40°，∴ ∠C=∠AED =40°. 【练习】 如图所示，AB∥CD，∠1 =∠2. 试说明：BE∥PF . 解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠APB = ∠BPD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1 = ∠2， ∴∠ABP －∠1 = ∠BPD－∠2（等式性质），即∠3 = ∠4， ∴ BE∥PF（内错角相等，两直线平行）. 2.[过渡语］前面学过三种平行线的判定方法，还有其他的方法吗？现在我们一起探究一下。 （1）画一画：先画直线，再画直线,分别与平行. （2）想一想：直线与有怎样的位置关系？ 学生思考，回答。 【追问】如何用几何知识说明直线与的位置关系？我们以下面的图形为例，一起说明一下理由。 如图所示,如果 a∥b，a∥c，那么 b∥c。 【学生分析】由 a∥b，可得∠1=∠2。由 a∥c,可得∠1=∠3。由等量代换可得∠2=∠3.由同位角相 等，两直线平行,可得 b∥c. 【师生共同完成说理过程】说理过程如下： ∵a∥b（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等)。 ∵a∥c(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等,两直线平行）. 【追问】 还有其他的说理方法吗？ (还可以根据另外两个判定定理进行说理。) 教师总结。 【总结】平行于同一条直线的两条直线平行。 几何语言： ∵a // c , a // b (已知), ∴ c // b(平行于同一条直线的两直线平行). 【例3】如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B， 那么DE∥MN吗？为什么？ 解：∵ ∠MCA= ∠ A（已知）， ∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）. ∵∠DEC= ∠ B（已知）， ∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）. ∴ DE∥MN（平行于同一条直线的两条直线平行）. 3.【师生活动】教师：展示课本P59练习，让学生自主完成。 学生自主解答，教师追问。 【追问】你发现什么规律了吗？ 学生思考、交流、讨论，尝试总结。 教师点评、总结。 【总结】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 几何语言： ∵ b⊥a,c⊥a(已知)， ∴b∥c(垂直于同一条直线的两条直线平行). 【例4】 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由. 解：方法1：测出∠3=90°， 理由是同位角相等，两直线平行. 方法2：测出∠2=90°， 理由是同旁内角互补，两直线平行. 方法3：测出∠5=90°， 理由是内错角相等，两直线平行. 方法4：测出∠2,∠3,∠4,∠5中任意一个角为90°， 理由是垂直于同一直线的两直线平行.（答案不唯一） 3.随堂训练，巩固新知 （1）直线a,b与直线c相交，给出下列条件：①∠1= ∠2; ②∠3= ∠6; ③∠4+∠7=180°; ④∠3+ ∠5=180°， 其中能判断a//b的是( B ) A. ①②③④ B.①③④ C. ①③ D. ④ （2）如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC的度数. 解：过点E作EF//AB. ∵AB//CD，EF//AB（已知）, ∴ // (平行于同一直线的两直线平行）. ∴∠A+∠ =180°，∠C+∠ =180°(两直线平行，同旁内角互补）. 又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）, ∴∠ = °, ∠ = °（等量代换）. ∴∠AEC=∠1+∠2= °+ ° = °. （3）如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法． 解：过点E 作EF//AB， ∴∠B=∠BEF． ∵AB//CD，∴EF//CD．∴∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB． （4）已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E. 解：∵∠1=∠2（已知）， ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. ∵AB⊥BF，CD⊥BF， ∴AB∥CD(垂直于同一条直线的两条直线平行). ∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴ ∠3= ∠E(两直线平行，内错角相等). （5）如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD 的度数. 解：∵EF∥AD（已知）， ∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等). ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=∠3（等量代换）. ∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）. ∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°. 4.课堂小结，自我完善 （1）平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④平行于同一条直线的两条直线平行。 ⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 （2）平行线的性质： 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 学习了平行线的判定和性质后，在综合性地题目中，应用时要根据已知条件选择判定方法或性质定理，分清两者之间的区别。 5.布置作业 课本P59-60习题A组、B组。 目的在于引导学生逐步学会用推理的方法来说明理由，渗透运用学过的定义、定理、公理进行推理的意识,培养学生利用平行线的性质进行推理的能力。 可以选择性地让学生回答分析中的问题，为学生提供思路。 师生共同书写解答过程，让学生进一步体会演绎推理的步骤和书写格式。 教师展示【例2】， 让学生先思考，再解答，锻炼学生的逻辑推理能力。 让学生画出同一条直线的两条平行线，并去观察和猜想这两条直线的位置关系，然后探究发现，证明自己的猜想即可。 通过【例3】中对此判定方法的应用，让学生加深对此判定方法的理解。 通过学生自主思考、总结，给出判定平行线的另一方法，锻炼学生的总结概括能力。 教师可以让学生自主解答，并让学生回答自己的做法，找出不同的方法，让学生体会在几何证明中，解题的方法可以多样，合理即可。 板书设计 7.5 平行线的性质 第2课时 平行线的性质与判定的综合应用 1.平行线的判定与性质的综合应用。 例题 2.平行于同一条直线的两条直线平行。 例题 3.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 例题 教后反思 鼓励学生以自己的方式去表述课本例2的解答步骤，然后示范课本中的解答格式，规范学生的解题书写格式.练习的环节中让学生充分展示，相互交流，让学生体验到了成功的快乐和收获的乐趣。 因为学生初次接触正规的说理，还有部分学生不能理解它的意义,哪个作为前提哪个作为结论还不能充分掌握，导致出现错误。以后应加强这方面的训练. 学科网（北京）股份有限公司 $$