7.4 二项式定理（分层作业，16大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

7.4二项式定理 题型一 求二项展开式的第k项与根据二项式的第k项求值 1.的展开式中的中间项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】应用二项式的展开式通项确定中间项位置，即可写出对应项. 【详解】由题意，且， 所以为中间项，即为. 故选：B 2.设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果. 【详解】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 题型二 求指定项的系数与由项的系数确定参数 1.已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ） A. B.4 C. D.2 【答案】C 【分析】由二项式定理可列方程求解参数. 【详解】因为二项式的展开式中的系数是， 所以，解得. 故选：C. 2.的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先写出展开式的通项公式，根据已知条件求得代入展开式即可求解. 【详解】的展开式的通项为，， 根据题意得，解得：，则含的项为， 故的展开式中的系数为. 故选：B. 题型三 二项展开式的应用 1.函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】逆用二次展开式对函数进行整理，利用函数性质求解即可. 【详解】由题意： ， 可由偶函数的图象向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为， 故选：A. 2.化简多项式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简. 故选：D. 题型四 求指定项的二项式系数与二项式的系数和 1.二项式的展开式中第项的二项式系数为（ ） A. B.15 C. D.20 【答案】D 【分析】写出展开式的通项，即可得到第项的二项式系数为. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以二项式的展开式中第项的二项式系数为. 故选：D. 2.在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（ ） A.40 B.80 C. D. 【答案】A 【分析】根据二项式系数的和可得，再利用二项展开式的通项计算可得结果. 【详解】由展开式二项式系数和为，可得， 易知展开式第项， 令，即的系数为40， 故选：A. 题型五 二项式系数的增减性和最值 1.若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据二项式系数的单调性可得出展开式的项数，即可求得的值. 【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项， 所以，，解得. 故选：D. 2.已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B.252 C. D.28 【答案】B 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 题型六 求有理项或其系数 1.展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】利用二项式的展开式，可得结论. 【详解】的展开式为， 当时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数， 故系数为有理数的项共有共有4项. 故选：D. 2.在的展开式中，有理项的系数为（ ） A. B. C.5 D.10 【答案】A 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】的通项为， .当为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以， 故展开式中有理项的系数为； 故选：A. 题型七 二项展开式各项的系数和与由二项展开式各项系数和求参数 1.设，则（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【分析】通过赋值法即可求解. 【详解】令，则， 故选：B. 2.若，且，则实数值为（ ） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】取，则， 取，则，因此，解得或， 故选：C 题型八 奇次项与偶次项的系数和 1.若，则（ ） A. B.16 C.15 D.1 【答案】B 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】因为， 令得. 故选：B 2.，则（ ） A. B.0 C.32 D.64 【答案】C 【分析】利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 令，可得， 令，可得， 所以. 故选：C 题型九 求系数最大（小）的项 1.展开式中，系数最大的项是（ ） A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 【答案】D 【分析】利用二项式定理以及二项式系数的性质进行求解判断. 【详解】因为的展开式的通项为，， 所以展开式中各项的系数即为其二项式系数， 根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误. 故选：D. 2.在的二项展开式中，系数最大的项是（ ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第5项和第6项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项公式为， 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B 题型十 三项展开式的系数问题 1.的展开式中，常数项为（ ） A. B. C.70 D.72 【答案】C 【分析】由，利用通项公式求解. 【详解】展开式中， 第项， 所以常数项为， 故选：C. 2.的展开式中，含的项的系数为（ ） A.240 B. C.560 D.360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】因为展开式的通项为， 当，即时，展开式中会出现，此时， 对于，通项为，要想得到，则需， 此时，即含的项的系数为， 故选：B. 题型十一 两个二项式乘积展开式的系数问题 1.的展开式中的系数为（ ） A.135 B. C.2295 D. 【答案】A 【分析】根据二项式定理计算得到答案. 【详解】因为的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A. 2.若的展开式中含的系数为15，则实数（ ） A.2 B.1 C. D. 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得. 故选：D 题型十二 整除和余数问题 1.的个位数是（ ） A.1 B.3 C.6 D.9 【答案】A 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】因为， 而是10的倍数， 所以的个位数是. 故选：A. 2.被6除的余数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得正确. 【详解】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 题型十三 近似计算问题 1.的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】借助二项式定理，由，将其展开后计算即可得. 【详解】， 故分别为. 故选：A. 2.某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据二项式定理即可估算近似值. 【详解】由题意可知 故选：C 题型十四 证明组合恒等式 1.求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得， 所以； 可得. 2.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】应用二项式定理写出的展开式，将替换n，①、②对应相乘，幂级数乘法定义整理化简即可证结论. 【详解】取函数，，则： ①， ②， 将②用替换n，有：.其中的系数为. 将①，②对应相乘，根据上述形式幂级数乘法定义有：， 其中的系数为，由展开式的唯一性有：，， 因此可得：. 题型十五 二项式定理与数列和 1.若数列的前9项满足，记的前项和为，则__________. 【答案】16 【分析】根据二项展开式公式和数列概念即可得到答案. 【详解】令，则有，即. 又因为根据二项展开式通项公式得， 故. 故答案为：16. 2.已知数列的通项公式为.求的值. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的特征，即可求解. 【详解】由于，所以 题型十六 杨辉三角 1.观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】观察图表，总结出规律，即可得到答案. 【详解】由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以，即. 故选：B 2.“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（ ） A.35 B.36 C.56 D.70 【答案】C 【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出4行，找出第12条斜线上的数，比较大小可得答案. 【详解】杨辉三角第8行的数据为：1 7 21 35 35 21 7 1， 第9行的数据为：1 8 28 56 70 56 28 8 1， 第10行的数据为：1 9 36 84 126 126 84 36 9 1， 第11行的部分数据为：1 10 45 ……， 第12条斜线上的数为：1 10 36 56 3 6，所以最大的数是56. 故选：C. 1.在的展开式中，x的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为. 故选：A 2.的展开式中的系数为（ ） A.120 B.80 C.60 D.40 【答案】D 【分析】写出展开式通项，令指数为2，即可求解. 【详解】展开式通项为：， 令，即， 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以的系数为， 故选：D 3.若，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）129； （2）8256； （3）； （4）16384. 【分析】（1）应用赋值法求得、，即可求值； （2）应用赋值法得，结合（1）所得即得； （3）根据（1）（2）所得可求； （4）法一：根据奇偶数项系数的符号，及（2）（3）结果求值；法二：化为求中各项系数之和. 【详解】（1）令，则， 令，则①， . （2）令，则②， 由，得. （3）由，得. （4）法一：展开式中均小于零，均大于零， . 法二：，即为展开式中各项的系数和， . 4.（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数. 【答案】（1）证明见解析；（2）81. 【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果 【详解】（1）因为 . 故能被100整除. （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数. 又. 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81. 5.已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）结合赋值法，即可求解； （2）结合（1）的结论，以及赋值法，即可求解. 【详解】（1）的展开式中，当时，，通项公式为， 可知，，，，，， 所以， 当时，， 所以； （2）根据题意，令，得， 由（1）知，，所以 6.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有个零点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由二项展开式通项公式计算常数项，即为，再将函数有4个零点，转为，的图象与的图象有4个公共点，由图即可计算. 【详解】由题意二项展开式的通项公式为， 由， 故在周期上，， 函数有4个零点， 即，的图象与的图象有4个公共点， 依图象 7.观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即.已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项. （2）利用杨辉三角的性质可得，再结合裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，由，得，因此数列是常数列， 而，则，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，而， 即当时，，令数列的前项和为， 则 ，显然当时，满足上式， 所以数列的前项和. 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4二项式定理 题型一 求二项展开式的第k项与根据二项式的第k项求值 1.的展开式中的中间项为（ ） A. B. C. D. 2.设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 题型二 求指定项的系数与由项的系数确定参数 1.已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ） A. B.4 C. D.2 2.的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 题型三 二项展开式的应用 1.函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 2.化简多项式的结果是（ ） A. B. C. D. 题型四 求指定项的二项式系数与二项式的系数和 1.二项式的展开式中第项的二项式系数为（ ） A. B.15 C. D.20 2.在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（ ） A.40 B.80 C. D. 题型五 二项式系数的增减性和最值 1.若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. B. C. D. 2.已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B.252 C. D.28 题型六 求有理项或其系数 1.展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项 A.1 B.2 C.3 D.4 2.在的展开式中，有理项的系数为（ ） A. B. C.5 D.10 题型七 二项展开式各项的系数和与由二项展开式各项系数和求参数 1.设，则（ ） A.1 B. C. D.2 2.若，且，则实数值为（ ） A. B. C.或 D.或 题型八 奇次项与偶次项的系数和 1.若，则（ ） A. B.16 C.15 D.1 2.，则（ ） A. B.0 C.32 D.64 题型九 求系数最大（小）的项 1.展开式中，系数最大的项是（ ） A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 2.在的二项展开式中，系数最大的项是（ ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第5项和第6项 题型十 三项展开式的系数问题 1.的展开式中，常数项为（ ） A. B. C.70 D.72 2.的展开式中，含的项的系数为（ ） A.240 B. C.560 D.360 题型十一 两个二项式乘积展开式的系数问题 1.的展开式中的系数为（ ） A.135 B. C.2295 D. 2.若的展开式中含的系数为15，则实数（ ） A.2 B.1 C. D. 题型十二 整除和余数问题 1.的个位数是（ ） A.1 B.3 C.6 D.9 2.被6除的余数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 题型十三 近似计算问题 1.的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（ ） A. B. C. D. 2.某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ） A. B. C. D. 题型十四 证明组合恒等式 1.求证： 2.证明：. 题型十五 二项式定理与数列和 1.若数列的前9项满足，记的前项和为，则__________. 2.已知数列的通项公式为.求的值. 题型十六 杨辉三角 1.观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（ ） A. B. C. D. 2.“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（ ） A.35 B.36 C.56 D.70 1.在的展开式中，x的系数为（ ） A. B. C. D. 2.的展开式中的系数为（ ） A.120 B.80 C.60 D.40 3.若，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 4.（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数. 5.已知 （1）求的值； （2）求的值. 6.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有个零点，求实数的取值范围. 7.观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即.已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$