专题13 列联表与独立性检验7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题13 列联表与独立性检验7考点复习指南 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类 变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道 两个分类变量有关系的概率大小. 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 5．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 考点1 完善列联表 1．（2025高三·全国月考）下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（    ） A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52 2．（2025高二·全国月考）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 3．（2025高三·上海月考）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·上海月考）下面是一个列联表： 总计 35 70 15 15 30 总计 50 100 其中、处填的值分别为 ． 5．（2025高二·广东深圳·期中）下面是一个2×2列联表： 合计 合计 则表中a，b处的值分别为 ； ． 考点2 列联表的分析及应用 6．（2025·云南昆明模拟预测）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 7．（2025高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．（2025高二·河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表： 了解 不了解 总计 年龄不小于60岁 a b a＋b 年龄小于60岁 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 给出下列4组数据： ① ；② ； ③ ；④ ． 则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是 ．（填序号） 9．（2025·湖北武汉模拟预测）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（    ） 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．400 B．300 C．200 D．100 考点3 等高条形图及其应用 10．（2025高二·全国月考）在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（2025·吉林长春模拟预测）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·四川达州模拟预测）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 13．（2025高二·河北张家口月考）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．  B．   C．  D．   14．（2025高二·山东青岛·期中）为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与性别有关，抽取了部分学生作为样本，统计后作出如图所示的等高条形图，则下列说法正确的是（    ） A．喜欢使用手机支付与性别无关 B．样本中男生喜欢使用手机支付的约 C．样本中女生喜欢使用手机支付的人数比男生多 D．女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些 15．（2025高二·福建福州·期中）下面的等高条形图可以说明的问题是（    ） A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握 考点4 独立性检验的概念及辨析 16．（2025高三·广东东莞月考）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 17．（2025高二·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 18．（2025高二·河南焦作·期中）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（     ） 参考公式：，其中． 参考数据： A． B． C． D． 19．（2025·江西南昌模拟预测）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．有95%的把握认为变量x与y独立 B．有95%的把握认为变量x与y不独立 C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 20．（2025·湖北武汉模拟预测）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关” D．根据小概率值的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关” 21．（2024·宁夏银川模拟预测）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 附： P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 考点5 卡方的计算 22．（2025高二·江西九江·期末）假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为（    ） 根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高二·全国月考）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生的人数可能为（    ）． 临界值表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：． A．30 B．54 C．62 D．75 男生 女生 合计 喜欢抖音 不喜欢抖音 n 合计 24．（2025高二·全国月考）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨 25．（2025高三·湖南长沙月考）为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下： 该项医学指标 接种疫苗人数 10 50 接种疫苗人数 30 40 个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示. (1)为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望； (2)根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值. 疫苗 抗体 合计 抗体弱 抗体强 疫苗 疫苗 合计 附：，其中. 0.25 0.025 0.005 1.323 5.024 7.879 2 3 4 26．（2024·云南楚雄模拟预测）全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 (1)完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 27．（2025高二·广西北海·期末）在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据完成以下列联表； 休闲方式性别 看电视 运动 合计 女 男 合计 (2)能否有把握认为性别与休闲方式有关系？ 附：，其中． 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 28．（2025高三·福建泉州·期末）教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在的男生有4人. 高二男生成绩（单位：）如下： 10.2 12.8 6.4 6.6 14.3 8.3 16.8 15.9 9.7 17.5 18.6 18.3 19.4 23.0 19.7 20.5 24.9 20.5 25.1 17.5 (1)估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数； (2)《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为，高二男生为.已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？ 等级 年级 良好及以上 良好以下 合计 高一 高二 合计 附：，其中. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 考点6 独立性检验的实际应用 29．（2025高二·吉林长春月考）为探究药物A对疾病B的治疗效果，将40名患者均分为两组，分别为对照组（未服药）和实验组（服药）. (1)任取两名患者，已知其中一名患者在实验组的条件下，求另一名患者在对照组的概率； (2)测得40名患者血液中的某个指标数据如下（单位：mg）：（已按从小到大排好） 对照组： 18.3     19.4     20.1     21.4     22.6     23.4     24.4     24.9     25.3     25.9 26.2    26.7    26.8    26.8    26.9    27.3    27.4    27.5    27.6    35.3 实验组： 4.4     5.3    5.8     6.9     7.3     8.1     8.4     9.0     10.4    13.2 13.4    16.3    18.2    19.3    23.6    24.1    24.5    24.7    25.2    25.3 ①求40名患者血液中的某个指标数据的中位数m，并完成下面2×2列联表： 药物A 疾病B 合计 对照组 实验组 合计 ②依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药物A对治疗疾病B有效呢? 附：， . 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 30．（2024·贵州模拟预测）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件“游客对“村超”满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，，. (1)根据已知条件，填写下列列联表并说明理由； 年龄 满意度 合计 满意 不满意 年龄不超过35周岁 年龄超过35周岁 合计 (2)由（1）中列联表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 31．（2024·陕西渭南模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会.为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图.    (1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表） (2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”.这100名参赛大学生的情况统计如下. 亚运达人 非亚运达人 总计 男生 15 30 45 女生 5 50 55 判断是否有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关. 附：（其中）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 32．（2024·陕西安康模拟预测）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如荼的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半. (1)完成如下用户类别与购买意向的列联表； 购买6元 购买24元 总计 个人用户 公司用户 总计 (2)能否有的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数） 附：， 临界值表如下： 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考点7 独立性检验与其他知识综合 33．（2024·全国模拟预测）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 (1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中. 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数. (2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 34．（2024·云南红河模拟预测）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表： 日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 (1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）； (2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 150 未参与过网上购物 30 合计 200 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 35．（2024·四川泸州模拟预测）某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图． (1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？ (3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率． 附：，其中． 36．（2025高三·全国月考）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？ 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 女生 合计 (2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率； ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差. 参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 37．（2025高三·陕西咸阳月考）某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日春节期间组织系列活动．在广泛宣传之下，有1000名市民参加本次活动．组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组”和“老龄组”，得到如下列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 400 合计 650 350 1000 (1)是否有75%的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ (2)采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记这2人中“女性市民”的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选项目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项活动，其中每名女性市民至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男性市民至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分之和为，求的期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 38．（2025高三·河南驻马店月考）据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 (1)依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ (2)在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 39．（2025高三·江苏扬州月考）近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表： 购买手机 购买不带的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？ (2)为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下： ①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金； ②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题13 列联表与独立性检验7考点复习指南 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类 变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道 两个分类变量有关系的概率大小. 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 5．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 考点1 完善列联表 1．（2025高三·全国月考）下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（    ） A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52 【答案】C 【分析】根据联表计算求参即可. 【解析】因为．所以．又，所以． 故选：C. 2．（2025高二·全国月考）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【答案】答案见解析 【分析】利用给定条件计算数据，补充列联表即可. 【解析】因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 3．（2025高三·上海月考）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先得出的值，进而再得的值，进而可知的值. 【解析】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以， 所以，A、B对； 所以，则对； 则错. 故选：. 4．（2025高三·上海月考）下面是一个列联表： 总计 35 70 15 15 30 总计 50 100 其中、处填的值分别为 ． 【答案】35，50 【分析】根据总计的计算公式进行求解即可. 【解析】在第二行中，， 在第三列中，， 故答案为：35，50 5．（2025高二·广东深圳·期中）下面是一个2×2列联表： 合计 合计 则表中a，b处的值分别为 ； ． 【答案】 52 60 【分析】第一空利用直接求出即可；第二空利用，结合的值求得即可. 【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，由表中数据可知， ，所以； . 故答案为： 考点2 列联表的分析及应用 6．（2025·云南昆明模拟预测）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 【答案】C 【分析】根据表格提供的数据作出判断. 【解析】由列联表中的数据可知， 种子经过处理，得病的比例明显降低， 种子未经过处理，得病的比例要高些， 所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关. 故选：C 7．（2025高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大. 【解析】对于A， ， 对于B，， 对于C，， 对于D， 显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大, 故选:B. 8．（2025高二·河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表： 了解 不了解 总计 年龄不小于60岁 a b a＋b 年龄小于60岁 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 给出下列4组数据： ① ；② ； ③ ；④ ． 则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】根据当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大，计算每组的值，比较大小可得答案。 【解析】当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大， 在①中，，在②中，，在③中，，在④中，, 故居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是③, 故答案为：③ 9．（2025·湖北武汉模拟预测）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（    ） 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．400 B．300 C．200 D．100 【答案】B 【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可. 【解析】由题可知，男女各人，列联表如下： 喜欢 不喜欢 总计 男 30m 20m 50m 女 20m 30m 50m 总计 50m 50m 100m ， 有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关， ，解得， ， ， . 故选：B 考点3 等高条形图及其应用 10．（2025高二·全国月考）在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由等高条形图的定义和性质，即可判断 【解析】由等高条形图可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强． 故选：C 11．（2025·吉林长春模拟预测）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等高条形图的定义和性质依次分析，即得解 【解析】观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强． 故选：D 12．（2025·四川达州模拟预测）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 【答案】C 【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得. 【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确； 根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误. 故选：C. 13．（2025高二·河北张家口月考）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【解析】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 14．（2025高二·山东青岛·期中）为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与性别有关，抽取了部分学生作为样本，统计后作出如图所示的等高条形图，则下列说法正确的是（    ） A．喜欢使用手机支付与性别无关 B．样本中男生喜欢使用手机支付的约 C．样本中女生喜欢使用手机支付的人数比男生多 D．女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些 【答案】D 【分析】根据等高条形图可得喜欢使用手机支付与性别有关，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%，女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多. 【解析】A错误，根据等高条形图，喜欢和不喜欢使用手机支付的比例因性别差距很明显，所以喜欢使用手机支付与性别有关； B错误，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%； 女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】此题考查等高条形图的辨析，根据条形图认识喜欢使用手机支付与性别的关系，关键在于准确识图正确辨析. 15．（2025高二·福建福州·期中）下面的等高条形图可以说明的问题是（    ） A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握 【答案】D 【分析】根据等高条形图判断即可得正确答案. 【解析】由等高条形图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的频率不同， 所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握，所以选项D正确， 故选：D. 考点4 独立性检验的概念及辨析 16．（2025高三·广东东莞月考）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】B 【分析】根据找出对应的的值，并比较与卡方值得大小,进而由卡法的定义推出相应结论即可. 【解析】因为时，所以， 所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过. 故选:B. 17．（2025高二·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【解析】根据题意，不妨设， 于是， 由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立， 根据表格可知，解得，于是最小值为. 故选：C 18．（2025高二·河南焦作·期中）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（     ） 参考公式：，其中． 参考数据： A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数. 【解析】设男生人数为，则女生人数为，且, 可得列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢滑冰 不喜欢滑冰 合计 所以， 因为有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关， 所以，解得， 所以，结合选项只有， 故选:C. 19．（2025·江西南昌模拟预测）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．有95%的把握认为变量x与y独立 B．有95%的把握认为变量x与y不独立 C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合独立性检验的定义即可求解. 【解析】因为， 所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%. 故选：D. 20．（2025·湖北武汉模拟预测）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关” D．根据小概率值的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关” 【答案】A 【分析】由题计算出，与观测值比较即可求解. 【解析】由题知 因为，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误. 故选：A. 21．（2024·宁夏银川模拟预测）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 附： P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】C 【分析】根据题中条件计算可判断选项A、B；根据列联表计算出的值，即可判断选项C,D. 【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是， 成绩非优秀的学生数是75，所以， 选项A、B错误； 根据列联表中的数据， 得到 因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. 故C正确，D错误， 故选：C. 考点5 卡方的计算 22．（2025高二·江西九江·期末）假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为（    ） 根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出四个选项中，比较大小即可得解． 【解析】对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 显然最大，故C正确. 故选：C. 23．（2025高二·全国月考）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生的人数可能为（    ）． 临界值表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：． A．30 B．54 C．62 D．75 【答案】B 【分析】设男生的人数为，则女生的人数也为，根据题意列出列联表，求得值，再根据有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关求解. 【解析】设男生的人数为，则女生的人数也为． 根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢抖音 不喜欢抖音 n 合计 则． 由于有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 则， 即，得， 因为，则n的可能取值有9，10，11，12，13，14， 因此，调查中男生人数的可能值为54，60，66，72，78，84． 故选：B． 24．（2025高二·全国月考）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨 【答案】D 【分析】应用古典概型的概率求法求概率判断A、B，应用卡方计算公式求卡方值，与临界值比较，应用独立检验的基本思想得到结论，判断C、D. 【解析】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确； 未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确； ，因此据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误． 故选：D 25．（2025高三·湖南长沙月考）为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下： 该项医学指标 接种疫苗人数 10 50 接种疫苗人数 30 40 个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示. (1)为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望； (2)根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值. 疫苗 抗体 合计 抗体弱 抗体强 疫苗 疫苗 合计 附：，其中. 0.25 0.025 0.005 1.323 5.024 7.879 【答案】(1)分布列见解析， (2)列联表见解析，2 【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种疫苗人数，计算出的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望； （2）结合的计算公式计算出对应的范围即可得. 【解析】（1）从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人中， 接种疫苗有2人，接种疫苗有6人， 由题意可知，可能取值为， ， 的分布列为： 2 3 4 则； （2）列联表如下： 疫苗 抗体 合计 抗体弱 抗体强 疫苗 100 疫苗 100 合计 60 140 200 则， 由题意可知，， 整理得，， 解得或， 又，则， 所以， 故的最大值为2. 26．（2024·云南楚雄模拟预测）全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 (1)完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解； （2）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，结合全概率公式，即可求解； （ii）根据题意，利用条件概率的计算公式和贝叶斯公式，即可求解. 【解析】（1）解：根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关 此时， 所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. （2）解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球， 则, 所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率： . （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 甲球员打中锋的概率为. 27．（2025高二·广西北海·期末）在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据完成以下列联表； 休闲方式性别 看电视 运动 合计 女 男 合计 (2)能否有把握认为性别与休闲方式有关系？ 附：，其中． 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析； (2)没有的把握认为性别与休闲方式有关. 【分析】（1）直接根据数据填表即可； （2）利用卡方公式对照表格计算即可. 【解析】（1） 休闲方式性别 看电视 运动 合计 女 40 30 70 男 20 30 50 合计 60 60 120 （2）易知， 由卡方公式可知：， 故没有的把握认为性别与休闲方式有关. 28．（2025高三·福建泉州·期末）教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在的男生有4人. 高二男生成绩（单位：）如下： 10.2 12.8 6.4 6.6 14.3 8.3 16.8 15.9 9.7 17.5 18.6 18.3 19.4 23.0 19.7 20.5 24.9 20.5 25.1 17.5 (1)估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数； (2)《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为，高二男生为.已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？ 等级 年级 良好及以上 良好以下 合计 高一 高二 合计 附：，其中. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)15，16.35 (2)详见解析 【分析】（1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分位数定义求高二男生成绩第40百分位数； （2）列出列联表，计算，根据所给小概率值表判断即可. 【解析】（1）依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人. 因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以，解得. 由，解得. 由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数 . 由，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值， 高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20) 有8人, 所以第40百分位数在[15,20)中，故. 由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为 16.35. （2）根据样本，知高一男生成绩良好及以上占，良好以下占，高二男生成绩良好 及以上占，良好以下占，由样本估计总体，可得列联表如下： 良好及以上 良好以下 合计 高一 300 300 600 高二 300 200 500 合计 600 500 1100 零假设为：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关. 根据列联表中的数据，得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有关，此推断犯错误的概率不大于. 考点6 独立性检验的实际应用 29．（2025高二·吉林长春月考）为探究药物A对疾病B的治疗效果，将40名患者均分为两组，分别为对照组（未服药）和实验组（服药）. (1)任取两名患者，已知其中一名患者在实验组的条件下，求另一名患者在对照组的概率； (2)测得40名患者血液中的某个指标数据如下（单位：mg）：（已按从小到大排好） 对照组： 18.3     19.4     20.1     21.4     22.6     23.4     24.4     24.9     25.3     25.9 26.2    26.7    26.8    26.8    26.9    27.3    27.4    27.5    27.6    35.3 实验组： 4.4     5.3    5.8     6.9     7.3     8.1     8.4     9.0     10.4    13.2 13.4    16.3    18.2    19.3    23.6    24.1    24.5    24.7    25.2    25.3 ①求40名患者血液中的某个指标数据的中位数m，并完成下面2×2列联表： 药物A 疾病B 合计 对照组 实验组 合计 ②依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药物A对治疗疾病B有效呢? 附：， . 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) (2)m=23.5，列联表见解析. 【解析】（1）计“任取两名患者，其中一名患者在实验组”为事件，则， 计“一名患者在对照组”为事件，则. 所以. （2）①依题意，这40个数据的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数， 由于原数据已经排好，所以只需要两组数据即可. 可得第20位数据为：23.4，第21位数据为：23.6，所以. 故列联表为： 药物A 疾病B 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 ②由题意：. 所以依据小概率值的独立性检验，可认为药物A对治疗疾病B无效. 30．（2024·贵州模拟预测）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件“游客对“村超”满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，，. (1)根据已知条件，填写下列列联表并说明理由； 年龄 满意度 合计 满意 不满意 年龄不超过35周岁 年龄超过35周岁 合计 (2)由（1）中列联表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见详解 (2)没有关联 【分析】（1）根据题意，可求得不超过35岁的人中，对“村超”满意且有160人，对“村超”满意的人中不超过35岁的有140人，完成列联表； （2）根据题意，计算卡方，与临界值比较即可求解. 【解析】（1）根据题意，由，可得不超过35岁的人中，对“村超”满意且有160人， 又由，可得对“村超”满意的人中超过35岁的有140人， 由此列联表如下. 年龄 满意度 合计 满意 不满意 不超过35岁 160 40 200 超过35岁 140 60 200 合计 300 100 400 （2）由. 依据小概率值的独立性检验，，即认为性别与满意度没有关联. 31．（2024·陕西渭南模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会.为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图.    (1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表） (2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”.这100名参赛大学生的情况统计如下. 亚运达人 非亚运达人 总计 男生 15 30 45 女生 5 50 55 判断是否有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关. 附：（其中）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)平均数，中位数 (2)有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关 【解析】（1）平均数， 由，， 故中位数位于，设中位数为，则有，解得, 即平均数，中位数； （2）， 故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关. 32．（2024·陕西安康模拟预测）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如荼的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半. (1)完成如下用户类别与购买意向的列联表； 购买6元 购买24元 总计 个人用户 公司用户 总计 (2)能否有的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数） 附：， 临界值表如下： 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有的把握认为用户类别与购买意向有关系 【分析】（1）设购买24元的个人用户数为，购买6元的公司用户数为，列出方程求得的值，即可得到列联表； （2）由（1）中列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论. 【解析】（1）解：设购买24元的个人用户数为，则购买24元的公司用户数为， 设购买6元的公司用户数为，则购买6元的个人用户数为， 则有，解得， 所以用户类别与购买意向列联表如下： 购买6元 购买24元 总计 个人用户 40 60 100 公司用户 20 80 100 总计 60 140 200 （2）解：由（1）中列联表，可得 ， 所以有的把握认为用户类别与购买意向有关系. 考点7 独立性检验与其他知识综合 33．（2024·全国模拟预测）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 (1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中. 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数. (2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)20 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出的值，可得女生人数； （2）由分层抽样确定两组人数，根据的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望. 【解析】（1）根据题意，完成列联表如下： 认真完成 不认真完成 总计 男生 女生 总计 60 20 80 由题意可得， 得. 易知为5的倍数，且，所以， 所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）. （2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为， 所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人）， 所以的所有可能取值为， ，，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 34．（2024·云南红河模拟预测）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表： 日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 (1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）； (2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 150 未参与过网上购物 30 合计 200 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，； (2)表格见解析，有关. 【分析】（1）根据给定数表，求出相关量，再利用最小二乘法求出回归方程，并作出估计即得. （2）完善列联表，再求出的观测值，与临界值表比对作答. 【解析】（1）由表中数据可得，， ， ， 则，， 所以关于的一元线性回归方程是， 令，得， 所以估计当年2月21日在该店购物的人数为人. （2）列联表如下： 年龄 不低于岁 低于岁 合计 参与过网上购物 未参与过网上购物 合计 200 零假设为：参加网上购物和年龄无关， 根据数据，计算得到：， 所以根据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加网上购物和年龄有关，此推断犯错误的概率不大于. 35．（2024·四川泸州模拟预测）某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图． (1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？ (3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率． 附：，其中． 【答案】(1) (2)有的把握认为“学生满意度与性别有关” (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可； （2）利用（1）的结论及给定信息得到列联表，再计算的观测值，与临界值表比对作答即可得解； （3）求出8位学生中男女人数，利用列举法及古典概率公式即可得解. 【解析】（1）根据频率分布直方图知，， 所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为分. （2）由（1）及已知得列联表如下： 不满意 满意 总计 男 18 32 50 女 30 20 50 总计 48 52 100 则的观测值为：， 所以有的把握认为“业主满意度与性别有关”. （3）由（2）知满意度分值低于70分的学生有48位，其中男士18位，女士30位， 用分层抽样方式抽取8位学生，其中男士3位，女士5位， 记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5， 从中随机抽取两位的事件为：， 共计28个基本事件， 其中抽到男女各一人有，共15个基本事件， 所以恰好抽到男女各一人的概率为. 36．（2025高三·全国月考）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？ 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 女生 合计 (2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率； ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差. 参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析；没有 (2)①；②，. 【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值比较即得结论； （2）①先利用分层抽样确定所抽取的名女市民中了解和不了解人工智能的人数，再利用古典概率模型概率公式计算即得； ②根据列联表推理得到从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，每次抽的结果仅有“了解”与“不了解”两种，随机抽取20人，相当于完成20次伯努利试验，故利用二项分布期望与方差公式即可求得. 【解析】（1）因为， 所以了解人工智能的女生为，了解人工智能的总人数为， 则了解人工智能的男生有人， 结合男生和女生各有人，填写列联表为： 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 因， 故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关. （2）①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人， 不了解人工智能的有人， 所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为； ②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为， 将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为， 由题意可知，，所以，，. 37．（2025高三·陕西咸阳月考）某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日春节期间组织系列活动．在广泛宣传之下，有1000名市民参加本次活动．组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组”和“老龄组”，得到如下列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 400 合计 650 350 1000 (1)是否有75%的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ (2)采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记这2人中“女性市民”的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选项目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项活动，其中每名女性市民至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男性市民至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分之和为，求的期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 【答案】(1)有把握 (2)分布列见解析， (3)13 【分析】（1）根据列联表计算，由独立性检验即可判断； （2）由分层抽样计算抽取的6人中，男性4人，女性2人，根据超几何分布可求得的分布列，可求； （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【解析】（1）零假设为：参加本次活动的市民与其性别无关，根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 所以有的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”. （2）因为青年组中男性市民与女性市民之比为，所以采用分层抽样的方法抽取的6人中，男性市民有4人，女性市民有2人，则的所有可能取值为，依题意知服从超几何分布，且， 则， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （3）设1名女性市民参加活动可获得的分数为，1名男性市民参加活动可获得的分数为，则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9，则，所以， ，所以． 设有名女性市民参加活动，则有名男性市民参加活动， 则， 由（2）可知，，所以， 即随机选取的2人的得分之和的期望为13分． 38．（2025高三·河南驻马店月考）据不完全统计，我国小学生的近视率已经达到惊人的45.7%，也就是说有将近一半的小学生已经早早的开始与眼镜为伴了．给孩子选一台合格的护眼仪是很有必要的．护眼仪的功能就是对眼部周围的穴位进行按摩以达到刺激穴位的目的，缓解学生们眼睛的疲劳，减轻用眼时间过长造成的眼睛干涩、充血等症状，可以用来预防近视，而绝对不可能治疗近视．某医学机构为了研究某护眼仪预防近视的效果，随机调查了200名小学生，数据如下： 眼睛没有近视 眼睛近视 合计 配有某护眼仪 60 40 100 没配有某护眼仪 50 50 100 合计 110 90 200 (1)依据小概率值的独立性，分析预防眼睛近视是否与配有某护眼仪有关？ (2)在样本中，按分层抽样（按是否配有某护眼仪分层）的方法从眼睛近视的小学生中抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中没配有某护眼仪的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）提出零假设并计算，查表比较即可得出结论； （2）求出X的所有取值并求得对应概率，即可得出分布列，继而求出期望值. 【解析】（1）零假设为：分类变量X与Y相互独立，即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关， 由列联表中数据得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即认为预防眼睛近视与是否配有某护眼仪无关； （2）由数据表中可得，这9人中，配有某护眼仪的有4人，没配有某护眼仪的有5人， X的取值分别为0，1，2，3， 可得，， ，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望为． 39．（2025高三·江苏扬州月考）近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表： 购买手机 购买不带的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？ (2)为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下： ①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金； ②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格中的数据求出的观测值，结合临界值表可得结论； （2）由题意可知，随机变量可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的期望值. 【解析】（1）， 所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意，随机变量可能取值为：、、、、， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列为 所以，随机变量的期望. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$