精品解析：辽宁省大连市瓦房店市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形及中心对称图形，熟知轴对称图形及中心对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选B． 3. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“水涨船高”，④“瓜熟蒂落”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：①“水中捞月”，是不可能事件； ②“守株待兔”，是随机事件； ③“水涨船高”，是必然事件； ④“瓜熟蒂落”，是必然事件； 故选：A． 4. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的两个点横、纵坐标互为相反数求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 6. 已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式（，其中为弧长，为扇形的半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用圆的面积公式求出圆锥的底面圆的半径，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设底面圆的半径为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵这个圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：D． 7. 一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．用黄球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：∵袋子中装有10个小球，其中3个红球，2个黄球，5个白球， ∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是． 故选：C． 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 9. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5 【答案】D 【解析】 【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集： 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）． 由图象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5．故选D． 10. 如图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线l上，开始时C点与E点重合，直到B点与F点重合为止．设和的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是等腰直角三角形的性质及面积的求法、二次函数的图象，关键是根据题意求出y与x之间的函数关系式，要注意x的取值范围． 根据△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，得出和的重叠部分也是等腰直角三角形，再根据当沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，分和两种情况求出重叠部分的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵和是全等的等腰直角三角形， ∴和的重叠部分也是等腰直角三角形， 当沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，即时， 和的重叠部分的面积yx2， 当时，和的重叠部分的面积， 则y与x之间的函数图象大致是C． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，去括号、移项、合并同类项即可求解. 【详解】解：由 去括号，得， 移项，得， 合并同类项得. 故答案为：． 12. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种， 抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率． 13. 抛物线经过点，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 将点坐标代入解析式可得，整体代入所求代数式即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 如图，四边形是的内接四边形，为直径，且满足，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要弧长的计算，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，弧长的计算公式是解决问题的关键．连接，根据圆的性质，可得，根据圆内接四边形，得，求出，根据等边三角形的判定和性质，弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线为， ∵点坐标为， ∴，即， ∴直线为， 中，令，则， 解得或， ∴， 由，设直线为， ∴，解得， ∴直线为， ∴ 得得或， ∴， 中，令，则， 解得或， ∴， 同理可得，， 即的坐标中，横坐标为，纵坐标为， 的坐标中，横坐标为，纵坐标为， 的坐标中，横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解； （2）首先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解． 【小问1详解】 ， ∴ ∴； 【小问2详解】 原方程可化为： ， ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的公式法求解是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于原点对称的； （2）直接写出点，，的坐标； （3）点绕点旋转后与点重合，求它所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理、轨迹，熟练掌握中心对称的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得：，，． 【小问3详解】 解：由网格可得：， ∵点绕点旋转后与点重合， ∴它所经过的路径长为． 18. 已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），另一个根为0 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴方程为， ∴， ∴， ∴另一个根为0． 19. 计算． 现有红、黄两个不透明的盒子，各装有三个小球，红盒子中的三个小球上分别标记数字4，5，6；黄盒子中的三个小球分别标记数字6，7，9，这六个小球除标记的数字外，其余全相同． （1）将红盒子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为_______； （2）分别将红、黄两个盒子中的小球摇匀，然后从红、黄盒子中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的这个小球标记的数字是偶数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的这两个小球标记的数字之和为11的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果， 其中摸出的这个小球标记的数字是偶数的结果有：4，6，共2种， ∴摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 两数之和 6 7 9 4 10 11 13 5 11 12 14 6 12 13 15 共有9种等可能的结果，其中摸出的这两个小球标记的数字之和为11的结果有2种， ∴摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率为． 20. 某商场试经营某种新产品，进价为每件50元，在试销阶段发现，当售价为每件70元时，每天销售量是200件，如调整价格，每降价1元，就可多售出20件． （1）求销售该新产品获得的利润y（元）与售价为每件x（元）之间的函数关系式； （2）请你帮助商场经理策划这种新产品售价为每件多少元时，每日盈利可达到4500元？ （3）若商场规定该新产品售价为每件不低于67元且不高于70元，则销售该新产品的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元 （3）销售该新产品的最大利润是4420元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意：， 整理，得：； 【小问2详解】 当时： 解得：； 答：这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为：； 答：销售该新产品的最大利润是4420元． 21. 如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线构造平行线和正方形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可证可证，易得即可证明结论； （2）由切线的性质可证四边形是正方形可得，设半径为r，由可得，利用勾股定理求出，再在直角三角形中运用勾股定理计算即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴∠C＝∠OFC， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点E， ∴， ∴四边形是长方形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴． 22. 数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． （1）连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． （2）求证：． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，进而可得， 由等边对等角可得，进而可得，利用可证得，于是可得，即，进而可得，然后由即可得出结论； （2）由（1）得，，由等角对等边可得，进而可得，于是结论得证． 【小问1详解】 解：和是在同一条直线上，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 矩形是由矩形旋转得到的， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， ， 和是在同一条直线上； 【小问2详解】 证明：由（1）得：，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，利用矩形的性质及旋转的性质证明是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， （1）直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． （3）设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立和得：，则①，将代入得：②，得到，再分类求解即可． （3）求出点B、C的坐标分别为：、，由，即可求解． 【小问1详解】 解：令得：或1， 故“平衡点”坐标为或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：联立和得：， 则①， 将代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或m处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 即， 即； 【小问3详解】 解：令，则，则， 即，则，即点； 令， 解得：或， 即点B、C的坐标分别为：、， ∵，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“水涨船高”，④“瓜熟蒂落”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 6. 已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5 10. 如图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线l上，开始时C点与E点重合，直到B点与F点重合为止．设和的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式为______． 12. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______． 13. 抛物线经过点，则_____． 14. 如图，四边形是的内接四边形，为直径，且满足，，则的长为 _____． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于原点对称的； （2）直接写出点，，的坐标； （3）点绕点旋转后与点重合，求它所经过的路径长． 18. 已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根． 19. 计算． 现有红、黄两个不透明的盒子，各装有三个小球，红盒子中的三个小球上分别标记数字4，5，6；黄盒子中的三个小球分别标记数字6，7，9，这六个小球除标记的数字外，其余全相同． （1）将红盒子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为_______； （2）分别将红、黄两个盒子中的小球摇匀，然后从红、黄盒子中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率． 20. 某商场试经营某种新产品，进价为每件50元，在试销阶段发现，当售价为每件70元时，每天销售量是200件，如调整价格，每降价1元，就可多售出20件． （1）求销售该新产品获得的利润y（元）与售价为每件x（元）之间的函数关系式； （2）请你帮助商场经理策划这种新产品售价为每件多少元时，每日盈利可达到4500元？ （3）若商场规定该新产品售价为每件不低于67元且不高于70元，则销售该新产品的最大利润是多少？ 21. 如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． （1）连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． （2）求证：． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， （1）直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． （3）设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $