专题12 一元线性回归模型及其应用7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题12 一元线性回归模型及其应用 7考点复习指南 1．一元线性回归模型 把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称 为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 2．线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+ (i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线 y=bx+a的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方 程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二 乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点(,). 3．残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减 去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 4．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用刻画拟合效果 =. 越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 5．回归分析的三大常用结论 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. (3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 考点1 解释回归直线方程的意义 1．（2025高二·河南南阳月考）在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（    ） A．为回归直线的斜率 B．，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少 C．是唯一确定的值 D．回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位 【答案】C 【分析】利用回归直线方程的特点逐项判断即得. 【解析】对于A，线性回归方程中的为回归直线的斜率，A正确； 对于B，，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少，B正确； 对于C，是由总体的一个样本利用一定的方法计算得到的，选择不同的样本 或不同的计算方法得到的一般是不同的，C错误； 对于D，回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位，D正确. 故选：C 2．（2025高二·宁夏银川·期中）给出下列有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线未必过样本数据点的中心； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于. 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项A，B；根据相关系数的性质可判断C，D，进而可得正确选项. 【解析】对于①，线性回归直线一定过样本数据点的中心，故①错误； 对于②，回归直线在散点图中可能不经过任何一个样本数据点，故②错误； 对于③，当相关系数时，两个变量正相关，故③正确； 对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于或，故④错误. 故真命题的个数为1， 故选：A. 3．（2025高二·全国·单元测试）以下关于线性回归的判断，正确的个数是(　　) ①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线； ②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点； ③已知直线方程为，则时，的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用线性回归方程的概念及意义对结论逐一判断． 【解析】对于①，能使所有数据点都在一条直线附近的直线不止一条，只有按最小二乘法求得回归系数得到的直线才是回归方程，故①错误， 对于②，散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不会影响线性回归，故②正确； 对于③，将代入得，故③正确， 对于④，散点图中所有点都在回归直线的附近，因此回归直线方程反映了样本整体的变化趋势，故④正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：D 考点2 求回归直线方程 4．（2025·甘肃兰州模拟预测）某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（万元）之间有如下一组数据： 广告费支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 50 70 (1)求出样本点中心 (2)求回归直线方程（其中，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求，进而可得结果； （2）根据题意先求，，代入公式运算求解即可. 【解析】（1）由题意可得：， ， 所以样本点中心为. （2）由题意可得：， ， 所以，， 所以回归直线方程为. 5．（2025高二·江西赣州·期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1030 并计算得，，． (1)求变量关于的线性回归方程； (2)根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 【答案】(1) (2)轻度污染 【分析】（1）根据公式，求线性回归方程； （2）根据线性回归直线方程，预测空气中的浓度，进行判断. 【解析】（1）由题意得， 又因为， 所以 所以 所以变量y关于x的线性回归方程为． （2）当辆千辆时，可得 因为 所以该城市的空气质量等级为轻度污染． 6．（2025高三·重庆月考）在入室盗窃类案件中，出现频率最高的痕迹物证之一就是足迹． 负重行走对足迹步伐特征影响的规律强，而且较为稳定． 正在行走的人在负重的同时，步长变短，步宽变大，步角变大． 因此， 以身高分别为170cm， 175cm， 180cm的人员各 20名作为实验对象，让他们采取双手胸前持重物的负重方式行走，得到实验对象在负重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg状态下相对稳定的步长数据平均值． 并在不同身高情况下，建立足迹步长s(单位：cm)关于负重x(单位：kg)的三个经验回归方程． 根据身高 170cm组数据建立线性回归方程①： ；根据身高 175cm组数据建立线性回归方程②： 根据身高 180cm 组数据建立线性回归方程③： ． (1)根据身高 180cm组的统计数据，求，的值，并解释参数的含义； 身高 180cm不同负重情况下的步长数据平均值 负重x/kg 0 5 10 15 20 足迹步长s/cm 74.35 73.50 71.80 68.60 65.75 (2)在一起盗窃案中，被盗窃物品重为9kg，在现场勘查过程中，测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值为4.464cm，推测该名嫌疑人的身高，并说明理由． 附： ．为回归方程， ，，， 【答案】(1)，，参数的含义详见解析 (2)嫌疑人身高为175cm，理由详见解析 【分析】（1）根据回归直线相关公式计算可得； （2）根据参数的几何意义计算即可判断. 【解析】（1）由题意可知：，，， 所以，； 的含义表示，负重每增加足迹步长减少. （2）设被盗窃物品重为9kg时，身高170cm的步长误差为，高175cm的步长误差为，高180cm的步长误差为， 由题意可得，，，， 因为与测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值最接近， 所以犯罪嫌疑人身高为175cm. 7．（2025高三·黑龙江牡丹江·期末）近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据： 温度（零下） 7 10 11 15 17 出楼人数 20 16 17 10 7 (1)利用最小二乘法，求变量之间的线性回归方程； 附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：　　　 (2)预测当温度为时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）． (3)为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）．在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)19 (3)分布列见解析；期望为 【分析】（1）由已知求出的值，求出线性回归方程即可； （2）将代入线性回归方程求解即可； （3）先写出随机变量X的可能取值，再列出分布列，最后求出期望即可. 【解析】（1）, , , ，, 回归直线方程为. （2）当时，（人）, 所以，预测当温度为时，该班级在本节课间的出楼人数为19人． （3）随机变量可取0，1，2. , , , 所以的分布列为： 0 1 2 p 所以的数学期望为. 8．（2025高二·辽宁大连月考）在一次抽样调查中测得个样本点，得到下表及散点图.    (1)根据散点图判断与哪一个适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果试建立与的回归方程；（计算结果保留整数） 参考公式： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据散点图即可求解， （2）将非线性转化为线性，即可利用最小二乘法求解. 【解析】（1）由题中散点图可以判断，适宜作为关于的回归方程； （2）令，则，原数据变为 由表可知与近似具有线性相关关系，计算得， ， ， 所以，，则. 所以关于的回归方程是. 考点3 求样本中心（根据样本中心求参数） 9．（2025·山东潍坊模拟预测）具有线性相关关系的变量的一组数据如下： x 0 1 2 3 y -5 -4.5 -4.2 -3.5 其线性回归直线方程为，则回归直线经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】D 【分析】根据x，y呈正相关，得到，再由样本中心在第四象限判断. 【解析】解：由图表中的数据知：x，y呈正相关， 所以， 又， 则样本中心为，在第四象限， 所以回归直线经过第一、三、四象限， 故选：D 10．（2025高三·江苏南京·期中）已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（    ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】A 【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解. 【解析】由题意可知：，， 所以样本中心为， 代入回归方程有：，解得. 故选：. 11．（2025高三·四川成都·期中）某公司一种型号的产品近期销售情况如表： 月份 2 3 4 5 6 销售额（万元） 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（    ） A．18.85万元 B．19.3万元 C．19.25万元 D．19.05万元 【答案】D 【分析】根据题意，由回归直线方程过样本点的中心，即可求得，然后代入计算，即可得到结果. 【解析】由表中数据可得，， 因为回归直线过样本点的中心，所以，解得， 所以回归直线方程为， 则该公司7月份这种型号产品的销售额为万元. 故选：D 12．（2025高一·山东聊城·期末）已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程为必过点　（    ） A．（2，2） B．（1.5，0） C．（1.5，4） D．（1，  2） 【答案】C 【分析】分别求出的均值即得． 【解析】由已知，， 所以回归直线一定过中心点． 故选：C． 13．（2025高二·新疆喀什·期末）变量x，y的数据如下所示： x 5 4 3 2 1 y 2 1.5 1 1 0.5 回归直线恒过点 ． 【答案】 【分析】根据回归直线方程的性质求解变量的平均值，即可确定定点. 【解析】变量的平均值为，变量的平均值为， 故回归直线恒过点. 故答案为：. 14．（2025高三·重庆·期中）已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意求出，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程，即可求得答案. 【解析】由题意知回归方程为过点，则， 即； 又，， 由于回归方程为必过样本中心点， 故， 故选：C 考点4 根据回归直线方程估计数据 15．（2025高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示： 30 40 50 60 70 一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】先求出样本点中心，代入回归方程求出，再将代入计算即可. 【解析】由表中数据可得 ， ， 将代入得，解得， 即， 则当时，. 故选：A. 16．（2025·四川德阳模拟预测）某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表： 温度 4 8 10 18 微生物数量（个） 30 22 18 14 由表中数据算得回归方程为，预测当温度为时，微生物数量为 个. 【答案】9 【分析】求出样本点中心，代入回归方程得到，得回归方程，可进行预测. 【解析】由表格数据可知，，， 因为点在直线上，所以， 即，故当时，， 即预测当温度为时，微生物数量为9个. 故答案为：9 17．（2025高三·江苏镇江月考）如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示，经计算知，y对x的线性回归方程是，预测当时，（    ） x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 A．73.5 B．74 C．74.5 D．75 【答案】B 【分析】根据题意可得样本中心点为，代入回归方程可得，再即可得结果. 【解析】由题意可得：， 即样本中心点为，则，解得， 所以， 令时，， 预测当时，. 故选：B. 18．（2025高二·吉林白城·期末）牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下： 20 30 40 50 60 0.8 1.3 2.2 3.3 4.5 由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第 天． 【答案】110 【分析】由表格求出中心点坐标从而得出，利用回归直线估计即可. 【解析】，， 又过点，所以，即， 当时，，所以此批牛膝采收时间预计是第110天． 故答案为：110 考点5 残差计算 19．（2025·河南模拟预测）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ） A．38.1 B．22.6 C． D．91.1 【答案】C 【分析】对于响应变量，通过观测得到的数据为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 【解析】因为观测值减去预测值称为残差， 所以当时，， 所以残差为. 故选：C. 20．（2024·云南楚雄模拟预测）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 【答案】/ 【分析】利用样本中心在其经验回归方程为上，求出,再计算当时的残差即可. 【解析】经验回归直线过样本点的中心，，， 经验回归方程为．当时，，残差为． 故答案为：. 21．（2025高二·山东淄博·期末）随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号 计算得：，，，，． (1)求变量和变量的样本相关系数（小数点后保留位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度； (2)假设变量关于的一元线性回归模型为. （ⅰ）求关于的经验回归方程，并预测当时的值； （ⅱ）设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：，，． 【答案】(1)答案见解析 (2)①答案见解析；② 【分析】（1）将数据代入相关系数公式，求出的值，判断可得出结论； （2）①将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的经验回归方程，然后将代入经验回归方程，可得出的预测值； ②计算出、、、、，利用方差公式可求得结果. 【解析】（1）解：， 所以，这两个变量负相关，且具有较强的线性相关性. （2）解：①，则， 所以，关于的经验回归方程为， 当时，则， 所以，当时，的预测值为； ②由，计算得该回归模型的残差如下表所示： 所以，残差的方差为. 22．（2025高二·安徽蚌埠月考）根据一组样本数据，，，的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，根据残差定义计算. 【解析】把代入，得， 所以在样本点处的残差. 故选：B. 23．（2025高三·海南省直辖县级单位月考）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如下表： x 165 165 157 170 175 165 155 170 y 48 57 50 54 64 61 43 59 若已知y与x的线性回归方程为，设残差记为观测值与预测值之间的差（即残差）那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为 . 【答案】4 【分析】利用残差的定义直接求解. 【解析】已知y与x的线性同归方程为 当时：，相应的残差为： 故答案为：4 24．（2025高二·山东青岛·期中）高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中，的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点处的残差是 . 【答案】1.5 【分析】利用回归直线方程，求出的估计值，然后求解残差的绝对值. 【解析】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是， 当时，， 此方程在样本处残差为：. 故答案为：1.5. 25．（2025高二·湖北武汉·期中）对于一组具有线性相关关系的样本数据，其样本中心为，回归方程为，则相应于样本点的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据残差的定义可得选项. 【解析】因为残差是实际观察值与估计值（拟合值）之间的差，所以相应于样本点的残差为， 故选：C. 考点6 相关指数计算 26．（2025高二·黑龙江牡丹江·期中）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项. 【解析】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对. 故选：C. 27．（2025高二·广东江门月考）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 建立的回归模型拟合效果最好的同学是 . 【答案】选甲　相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好． 【分析】相关指数越大，相关性越强，拟合效果越好．根据相关指数的大小即可判断． 【解析】相关指数 越大，相关性越强，回归模型拟合效果越好，所以效果最好的是甲． 【点睛】如果两个变量间的关系是相关关系，相关指数 越大，相关系数 越接近1，残差平方和越接近0，都代表拟合效果越好． 28．（2025高二·吉林长春·期末）已知与之间的数据如下表： （1）求关于的线性回归方程； （2）完成下面的残差表： 并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）. 附：，，，. 【答案】（1）；（2）表格见解析，良好. 【分析】（1）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据公式计算并填写残差表；由公式计算相关指数，结合题意得出统计结论． 【解析】（1）由已知图表可得，，，， 则，， 故. （2）∵，∴，，，，，则残差表如下表所示， ∵ ， ∴， ∴该线性回归方程的回归效果良好. 【点睛】本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题． 29．（2025高二·山东青岛·期中）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 物流成本 利润 残差 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为． （1）求的值，并利用已知的线性回归方程求出月份对应的残差值； （2）请先求出线性回归模型的决定系数（精确到）；若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？ （3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程． 附1（修正前的参考数据）： ，，，． 附2：． 附3：，． 【答案】（1），；（2）；线性回归模型拟合程度更好；（3）． 【分析】（1）将代入回归直线方程，可得出的值，利用平均数公式可求得的值，进而可求得月份对应的残差值； （2）计算出线性回归模型的决定系数的值，与比较大小后可得出结论； （3）修正数据后，计算出、的值，代入最小二乘法公式求出、的值，即可得出回归直线的方程. 【解析】（1）因为，，所以 ，解得， 所以月份对应的残差值； （2）由已知公式得， ， 所以线性回归模型拟合程度更好； （3）由（1）可知，第八组数据的利润应为（万元） 此时，又，，， 所以，所以， 所以重新采集数据后，线性回归方程为. 30．（2025高二·宁夏月考）有一组统计数据和，根据数据建立了如下的两个模型：①，②.通过残差分析发现第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若分别是相关指数和残差平方和，则下列结论正确的是 .①＞，②＜，③＜，④＞. 【答案】①③ 【分析】残差平方和越小越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，越大，模型的拟合效果越好，相关指数越大，模型的拟合效果越好． 【解析】解：用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，因为第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好，所以，； 故答案为：①③ 31．（2025高三·重庆月考）混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为，，…，． x 141 152 168 182 195 204 223 254 277 y 23.1 24.2 27.2 27.8 28.7 31.4 32.5 34.8 36.2 以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标作出散点图，如图所示． (1)从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r．结合r值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？ (2)根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①，②．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为，，． （ⅰ）求； （ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为，，经验回归方程①的决定系数，求经验回归方程②的决定系数． 附：相关系数，决定系数，． 【答案】(1)，答案见解析 (2)（ⅰ）0；（ⅱ）0.9847 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可求解，由相关系数的定义结合统计学知识即可求解， （2）根据残差公式以及决定系数的计算公式即可求解. 【解析】（1）不妨设选择的成对数据分别为，，则 ．又由表格数据得，当时，，则． 因为任意两个样本点都在一条直线上，则样本量为2的样本相关系数绝对值都是1（在样本相关系数存在的情况下），显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的． 样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系．一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推新变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小，则越不可靠． （2）（ⅰ）（直线经过数据的中心）． （ⅱ）∵，∴， 则， 越大，越接近于1，则模型的拟合效果越好，因此经验回归方程②的拟合效果更好，为最优模型． 32．（2025高三·重庆月考）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 (1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） (2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 【答案】(1)， (2)②的拟合效果好，预测销售量是千件 【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案. （2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测. 【解析】（1）， 所以， 所以. 由，两边取以为底的对数得，即， ， 所以，所以. （2）， 对于，；对于，， 所以②的拟合效果好，当时，预测值千件. 考点7 非线性回归分析 33．（2025高三·山东月考）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． (1)根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； (3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 【答案】(1)选择更合适． (2)，12.68万人 (3)分布列见解析，2 【分析】（1）观察散点图结合增长速度情况即可求解； （2）两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程； （3）的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期望. 【解析】（1）根据散点图可知，选择更合适． （2）因为，所以两边同时取常用对数，得． 设，则，先求关于的线性回归方程． 因为， ， ， 所以． 把代入上式，得， 故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人． （3）这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以的所有可能取值为1，2，3． ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 34．（2025高二·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2) 【分析】（1）根据相关系数的计算即可比较大小求解， （2）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，进而可求解. 【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得，， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为，可得，即， 可得，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为. 35．（2025·四川内江模拟预测）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？ (2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到0.01） (3)若希望2024年盈利额为800亿元，请预测2024年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01） 附：相关系数，参考数据：，. 回归直线中：，. 【答案】(1)模型的拟合程度更好. (2) (3) 【分析】（1）计算相关系数得到，得到答案. （2）根据公式计算，，得到回归方程. （3）取，解方程得到答案. 【解析】（1）设和的相关系数为，和的相关系数为， ， ， ，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好. （2）先建立关于的线性回归方程，由得，即， ，， 所以关于的线性回归方程为，即. （3），即，， ，解得. 所以2024年的研发资金投入量的约为亿元. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题12 一元线性回归模型及其应用 7考点复习指南 1．一元线性回归模型 把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称 为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 2．线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+ (i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线 y=bx+a的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方 程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二 乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点(,). 3．残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减 去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 4．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法 残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)利用刻画拟合效果 =. 越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差. 5．回归分析的三大常用结论 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心. (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. (3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 考点1 解释回归直线方程的意义 1．（2025高二·河南南阳月考）在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（    ） A．为回归直线的斜率 B．，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少 C．是唯一确定的值 D．回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位 2．（2025高二·宁夏银川·期中）给出下列有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线未必过样本数据点的中心； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于. 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·单元测试）以下关于线性回归的判断，正确的个数是(　　) ①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线； ②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点； ③已知直线方程为，则时，的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A．0 B．1 C．2 D．3 考点2 求回归直线方程 4．（2025·甘肃兰州模拟预测）某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（万元）之间有如下一组数据： 广告费支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 50 70 (1)求出样本点中心 (2)求回归直线方程（其中，） 5．（2025高二·江西赣州·期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1030 并计算得，，． (1)求变量关于的线性回归方程； (2)根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 6．（2025高三·重庆月考）在入室盗窃类案件中，出现频率最高的痕迹物证之一就是足迹． 负重行走对足迹步伐特征影响的规律强，而且较为稳定． 正在行走的人在负重的同时，步长变短，步宽变大，步角变大． 因此， 以身高分别为170cm， 175cm， 180cm的人员各 20名作为实验对象，让他们采取双手胸前持重物的负重方式行走，得到实验对象在负重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg状态下相对稳定的步长数据平均值． 并在不同身高情况下，建立足迹步长s(单位：cm)关于负重x(单位：kg)的三个经验回归方程． 根据身高 170cm组数据建立线性回归方程①： ；根据身高 175cm组数据建立线性回归方程②： 根据身高 180cm 组数据建立线性回归方程③： ． (1)根据身高 180cm组的统计数据，求，的值，并解释参数的含义； 身高 180cm不同负重情况下的步长数据平均值 负重x/kg 0 5 10 15 20 足迹步长s/cm 74.35 73.50 71.80 68.60 65.75 (2)在一起盗窃案中，被盗窃物品重为9kg，在现场勘查过程中，测量得犯罪嫌疑人往返时足迹步长的差值为4.464cm，推测该名嫌疑人的身高，并说明理由． 附： ．为回归方程， ，，， 7．（2025高三·黑龙江牡丹江·期末）近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据： 温度（零下） 7 10 11 15 17 出楼人数 20 16 17 10 7 (1)利用最小二乘法，求变量之间的线性回归方程； 附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：　　　 (2)预测当温度为时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）． (3)为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）．在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求的分布列和期望． 8．（2025高二·辽宁大连月考）在一次抽样调查中测得个样本点，得到下表及散点图.    (1)根据散点图判断与哪一个适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果试建立与的回归方程；（计算结果保留整数） 参考公式： 考点3 求样本中心（根据样本中心求参数） 9．（2025·山东潍坊模拟预测）具有线性相关关系的变量的一组数据如下： x 0 1 2 3 y -5 -4.5 -4.2 -3.5 其线性回归直线方程为，则回归直线经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 10．（2025高三·江苏南京·期中）已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（    ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 11．（2025高三·四川成都·期中）某公司一种型号的产品近期销售情况如表： 月份 2 3 4 5 6 销售额（万元） 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（    ） A．18.85万元 B．19.3万元 C．19.25万元 D．19.05万元 12．（2025高一·山东聊城·期末）已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程为必过点　（    ） A．（2，2） B．（1.5，0） C．（1.5，4） D．（1，  2） 13．（2025高二·新疆喀什·期末）变量x，y的数据如下所示： x 5 4 3 2 1 y 2 1.5 1 1 0.5 回归直线恒过点 ． 14．（2025高三·重庆·期中）已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（    ） A．3 B．2.8 C．2 D．1 考点4 根据回归直线方程估计数据 15．（2025高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示： 30 40 50 60 70 一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 16．（2025·四川德阳模拟预测）某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表： 温度 4 8 10 18 微生物数量（个） 30 22 18 14 由表中数据算得回归方程为，预测当温度为时，微生物数量为 个. 17．（2025高三·江苏镇江月考）如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示，经计算知，y对x的线性回归方程是，预测当时，（    ） x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 A．73.5 B．74 C．74.5 D．75 18．（2025高二·吉林白城·期末）牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下： 20 30 40 50 60 0.8 1.3 2.2 3.3 4.5 由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第 天． 考点5 残差计算 19．（2025·河南模拟预测）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ） A．38.1 B．22.6 C． D．91.1 20．（2024·云南楚雄模拟预测）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ． 21．（2025高二·山东淄博·期末）随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号 计算得：，，，，． (1)求变量和变量的样本相关系数（小数点后保留位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度； (2)假设变量关于的一元线性回归模型为. （ⅰ）求关于的经验回归方程，并预测当时的值； （ⅱ）设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：，，． 22．（2025高二·安徽蚌埠月考）根据一组样本数据，，，的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高三·海南省直辖县级单位月考）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如下表： x 165 165 157 170 175 165 155 170 y 48 57 50 54 64 61 43 59 若已知y与x的线性回归方程为，设残差记为观测值与预测值之间的差（即残差）那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为 . 24．（2025高二·山东青岛·期中）高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中，的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点处的残差是 . 25．（2025高二·湖北武汉·期中）对于一组具有线性相关关系的样本数据，其样本中心为，回归方程为，则相应于样本点的残差为（    ） A． B． C． D． 考点6 相关指数计算 26．（2025高二·黑龙江牡丹江·期中）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 27．（2025高二·广东江门月考）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 建立的回归模型拟合效果最好的同学是 . 28．（2025高二·吉林长春·期末）已知与之间的数据如下表： （1）求关于的线性回归方程； （2）完成下面的残差表： 并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）. 附：，，，. 29．（2025高二·山东青岛·期中）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 物流成本 利润 残差 根据最小二乘法公式求得线性回归方程为． （1）求的值，并利用已知的线性回归方程求出月份对应的残差值； （2）请先求出线性回归模型的决定系数（精确到）；若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？ （3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程． 附1（修正前的参考数据）： ，，，． 附2：． 附3：，． 30．（2025高二·宁夏月考）有一组统计数据和，根据数据建立了如下的两个模型：①，②.通过残差分析发现第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若分别是相关指数和残差平方和，则下列结论正确的是 .①＞，②＜，③＜，④＞. 31．（2025高三·重庆月考）混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为，，…，． x 141 152 168 182 195 204 223 254 277 y 23.1 24.2 27.2 27.8 28.7 31.4 32.5 34.8 36.2 以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标作出散点图，如图所示． (1)从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r．结合r值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？ (2)根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①，②．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为，，． （ⅰ）求； （ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为，，经验回归方程①的决定系数，求经验回归方程②的决定系数． 附：相关系数，决定系数，． 32．（2025高三·重庆月考）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 (1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） (2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 考点7 非线性回归分析 33．（2025高三·山东月考）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． (1)根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； (3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 34．（2025高二·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 35．（2025·四川内江模拟预测）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？ (2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到0.01） (3)若希望2024年盈利额为800亿元，请预测2024年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01） 附：相关系数，参考数据：，. 回归直线中：，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$