第05讲 不等式的定义、性质、解集（3个知识清单+3类热点题型讲练+分层练习）2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第05讲 不等式的定义、性质、解集 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01不等式的定义....................................................................................................................................................................3 题型02不等式的性质....................................................................................................................................................................5 题型03不等式的解集....................................................................................................................................................................7 分层练习..........................................................................................................................................................................................9 夯实基础..........................................................................................................................................................................................9 能力提升.........................................................................................................................................................................................20 知识点1．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 知识点2．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点3．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 题型01不等式的定义 1．（24-25·全国·随堂练习）下列各项中，蕴含不等关系的是（   ） A．小明与小强一样高 B．王老师的年龄比小红年龄的3倍还大2岁 C．铅球的质量比篮球的质量大 D．明天可能下雨 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据不等关系的概念，一一判断即可． 【详解】解：A、是等量关系，故错误； B、是等量关系，故错误； C、铅球的质量比篮球的大，属于不等关系，正确； D、属于随机事件问题，故错误； 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）机关公车改革实施后，小明坐着爸爸新买的小车，在闹市区街道发现一块标志牌（如图所示）．小明知道这表示车速不超过这个数字，请你用式子表示在该车道上车辆行驶的速度的数值范围： ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义．根据图标可得出行驶速度的范围即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的数值范围， 故答案为：． 3．（八年级下·全国·课后作业）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空： （1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________； （2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________； （3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：______________________________； （4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________； 【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x>240 【知识点】不等式的定义 【分析】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围； （2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m； （3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m； （4）由题意可得5+3x>2.4×100. 【详解】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围； 故答案为生长年份，树围； （2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm； 故答案为5+3x； （3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m； 故答案为这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m； （4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x>2.4×100， 故答案为5+3x>240 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 题型02不等式的性质 4．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以，所以，故A不符合题意； B、因为，所以，故B符合题意； C、因为，所以，故C不符合题意； D、因为，所以，故D不符合题意． 故选：B． 5．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）若，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当 时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 ； (3)知识拓展：若 ，求的最小值． 【答案】(1), (2), 大, (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、不等式的性质 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大. （1）配方后即可确定最小值； （2）配方后即可确定当x取何值时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后配方确定最小值即可． 【详解】（1） ∴当 时，有最小值； 故答案为： ， ； （2）， ∴当时有最大值 ； 故答案为： ， 大， ； （3） ∴当 时， 的最小值为 题型03不等式的解集 7．（22-23八年级下·全国·假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【知识点】不等式的解集 【解析】略 8．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（20-21八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【知识点】不等式的解集 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 夯实基础 一、单选题 1．下列说法正确的是(   ) A．x＝1是不等式－2x＜1的解集 B．x＝3是不等式－x＜1的解集 C．x＞－2是不等式－2x＜1的解集 D．不等式－x＜1的解集是x＞－1 【答案】D 【分析】根据不等式的解集的定义依次分析各项即可. 【详解】 故A选项错误； 故B选项错误； 故C选项错误； 故本选项正确； 故答案选：D. 【点睛】本题考查的是不等式的解集,解题的关键是熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 2．下面列出的不等式中，正确的是（　　） A．x是负数，可以表示为 B．x－2是正数，可以表示为 C．大于1，可以表示为 D．x不等于，可以表示为 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 直接根据题意分别得出不等式，进而判断得出答案． 【详解】A.x是负数，可以表示为，不符合题意； B.是正数，可以表示为，符合题意； C.大于1，可以表示为或，不符合题意； D.x不等于，可以表示为，不符合题意． 故选B． 3．如果b>0，那么a+b与a的大小关系是(    ) A．a+b<a B．a+b>a C．a+b≥a D．不能确定 【答案】B 【详解】试题解析：根据不等式基本性质1，不等式两边都加上，得 故选B. 4．如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据天平列出不等式组，确定出解集，用数轴表示即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：2＜m＜3， 用数轴表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，掌握用数轴表示不等式组解集的方法是解题的关键：“≥”，“＞”向右画；“≤”，“＜”向左画；“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（    ） A．480 B．479 C．448 D．447 【答案】D 【详解】由a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，可知d=19，c＜4×19=76，代入可得c=75，b＜3×75=225，再次代入b=224，a＜2×224=448，因此可求出a=447， 故选：D． 点睛：此题主要考查了不等式的解集，根据题意取最大值，分别代入不等式即可求解. 6．若x>y，则下列不等式不一定成立的是( ) A．x＋1>y＋1 B．2x>2y C．> D．x2>y2 【答案】D 【详解】A选项：两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意； B选项：两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意； C选项：两边都除以2，不等号的方向不变，故C不符合题意； D选项：0＞x＞y时，x2＜y2，故D符合题意； 故选D． 7．下列说法中，错误的是(　　) A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个 C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解 【答案】C 【分析】对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误； 对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误. 【详解】A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意； B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意； C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误. D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解； 8．已知m、n均为非零有理数，下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】分析：A、根据平方运算的定义计算即可判定； B、根据算术平方根的定义即可判定； C、根据倒数的定义即可判定； D、根据平方运算的定义即可判定． 详解：A、若m≠n，则m2可能等于n2，例如2≠-2，但是22=（-2）2，故选项错误； B、若m2=n2，则m不一定等于n，例如22=（-2）2，但是2≠-2，故选项错误； C、若m＞n＞0，则，故选项错误； D、若m＞n＞0，则m2＞n2，故选项正确． 故选D． 点睛：此题主要考查了平方的定义和性质及不等式的性质，解题的关键要求熟练掌握相关的基础知识即可解决问题． 二、填空题 9．利用不等式的性质解简单的不等式，就是将不等式逐步化为 或 的形式． 【答案】 x>a, x<a 【分析】根据不等式的解法的最后一步将未知数系数化为1解答即可. 【详解】利用不等式的性质解简单的不等式，就是将不等式逐步化为x>a或x<a的形式． 故答案为x>a，x<a. 【点睛】本题考查了不等式的解法，熟知解不等式就是根据不等式的基本性质将不等式逐步化为x>a或x<a的形式是解答本题的关键. 10．由得到的条件是c 0(填“”“”“”） 【答案】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：根据不等式的性质3，由得到的条件是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：1、不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；2、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 11．(1)不等式2x－3≥x的解集是 ； (2)不等式x－4>3x的解集是 ； (3)不等式>5的解集是 ． 【答案】 x≥3 x<－2 x<－ 【分析】(1)解不等式2x－3≥x即可(2)解不等式x－4>3x即可(3)解不等式>5即可. 【详解】（1）2x－3≥x (2)x－4>3x (3)>5 故答案为(1). x≥3    (2). x<－2    (3). x<－ 【点睛】此题重点考查学生对解不等式的应用，掌握不等式的解法是解题的关键. 12．如果a是有理数，那么－8a＞－5a．（） 【答案】× 【分析】已知－8＜－5，两边同时乘以a，a可能为正可能为负，对a的正负进行讨论，从而判断正误. 【详解】由题意可知a为有理数，则a有可能为正数、负数、0.当a为负数时，题目中的不等式成立，而当a为正数的时候，－8a＜－5a，当a为0时，－8a＝－5a，都与题意相违背，所以题目的说法是错误的. 【点睛】根据本题题干及题意可知，本题考查的是学生对于有理数的熟练程度. 13．若>0，<0，则ac 0. 【答案】< 【分析】根据有理数的除法判断出a、b同号，再根据有理数的除法判断出b、c异号，然后根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【详解】解：∵>0， ∴a、b同号， ∵<0， ∴b、c异号， ∴a、c异号， ∴ac＜0． 故答案为＜． 【点睛】本题考查有理数的乘法，有理数的除法，熟记运算法则是解题关键． 14．若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝ ，b＝ ． 【答案】 -2 -3 【分析】先求出每个不等式的解集, 再求出不等式组的解集, 即可得出关于a、b的方程, 求出即可. 【详解】解：由题意得： 解不等式 ① 得: x>1+a , 解不等式②得:x≤ 不等式组的解集为: 1+a＜x≤，又不等式组的解集是﹣1＜x≤1, 1+a=-1, =1, 解得:a=-2,b=-3 故答案为: -2, -3. 【点睛】本题主要考查解含参数的不等式组. 三、解答题 15．下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 【详解】解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键． 16．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 17．学校要购买2000元的图书，包括名著和辞典，名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买几本辞典？(列式即可) 【答案】20×65＋40x≤2000. 【详解】试题分析： 设最多可买本辞典，由购买名著和辞典的总费用不超过2000元列出不等式即可. 试题解析： 设最多可买本辞典，根据题意可得： . 18．比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据算术平方根得，由不等式的性质得，继而得到，即可得解．掌握算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 即． 19．x取何值时，代数式的值，不小于代数式的值． 【答案】x≤3 【分析】根据题意得到不等式≥，根据不等式的性质求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得：≥， 2（x+1）-3（x-1）≥x-1， 2x+2-3x+3≥x-1， 2x-3x-x≥-1-2-3， -2x≥-6， ∴x≤3． 答：当x≤3时，代数式的值，不小于代数式的值． 【点睛】本题考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得到不等式是解题关键． 20．对于下列问题：，是有理数，若，则.如果结论保持不变，怎样改变条件，这个问题才是正确的？下面给出两种改法： （1），是有理数，若，则； （2），是有理数，若，则. 试利用不等式的性质说明这两种改法是否正确． 【答案】见解析 【分析】根据不等式基本性质对两种改法进行逐一判断即可． 【详解】解：这两种改法都正确，理由如下： （1）由，且，均为正数，利用不等式的性质2得，所以. （2）由，且，均为负数，利用不等式的性质3得，所以. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 能力提升 一、单选题 21．已知a>b，则下列不等式中不一定成立的是( ) A．a－2>b－2 B．a>b C．－5a<－5b D．a2>ab 【答案】D 【详解】根据不等式的性质，易得：当a>b时，A. a－2>b－2 ; B. a>b;C.－5a<－5b都正确.对于D选项， a2>ab，当a>0时成立，否则不成立. 故选D. 22．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 解： 有①得：x＞﹣1； 有②得：x≤1； 所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1， 在数轴上表示为： 故选C． 点评：本题考查的是数轴上表示不等式组的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点． 二、填空题 23．若a>－a，则a 0；若a＋b<a－b，则b 0. 【答案】 ＞ ＜ 【分析】根据不等式的基本性质1求解即可. 【详解】∵a>－a， ∴a+a>-a+a，即2a>0， ∴a＞0； ∵a＋b<a－b， ∴2b<0， ∴b<0. 【点睛】本题考查了不等式的性质1，解决本题的关键是熟记不等式的性质1． 24．用不等号填空，并说明根据的是不等式的哪一条基本性质： (1)若x＋2＞5，则x 3，根据不等式的基本性质 ； (2)若－x＜－1，则x ，根据不等式的基本性质 ． 【答案】 （1）＞ 1 （2）＞ 2 【分析】根据不等式的性质，即可解答． 【详解】（1）若x+2＞5，则x＞3，根据不等式的性质1； （2）若−x＜-1，则x＞，根据不等式的性质3； 故答案为（1）＞，1；（2）＞，3． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质． 三、解答题 25．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：； （2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得； （3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：； （4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 26．解方程组 老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知． （1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值； （2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式． ①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值； ②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知，据此求解即可； （2）①根据题意列出算式，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可； ②根据题意列出不等式，求解此不等式即可． 【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式， 则， ∴； （2）①， ∵结果为常数， ∴， 解得； ②由①知丙卡片上的代数式为，要使其为非负数，则， 则，解得． 【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 不等式的定义、性质、解集 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01不等式的定义....................................................................................................................................................................3 题型02不等式的性质....................................................................................................................................................................5 题型03不等式的解集....................................................................................................................................................................7 分层练习..........................................................................................................................................................................................9 夯实基础..........................................................................................................................................................................................9 能力提升.........................................................................................................................................................................................20 知识点1．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 知识点2．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点3．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 题型01不等式的定义 1．（24-25·全国·随堂练习）下列各项中，蕴含不等关系的是（   ） A．小明与小强一样高 B．王老师的年龄比小红年龄的3倍还大2岁 C．铅球的质量比篮球的质量大 D．明天可能下雨 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）机关公车改革实施后，小明坐着爸爸新买的小车，在闹市区街道发现一块标志牌（如图所示）．小明知道这表示车速不超过这个数字，请你用式子表示在该车道上车辆行驶的速度的数值范围： ． 3．（八年级下·全国·课后作业）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空： （1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________； （2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________； （3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：______________________________； （4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________； 题型02不等式的性质 4．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）若，则 ．（填“”或“”） 6．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当 时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 ； (3)知识拓展：若 ，求的最小值． 题型03不等式的解集 7．（22-23八年级下·全国·假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 8．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 9．（20-21八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 夯实基础 一、单选题 1．下列说法正确的是(   ) A．x＝1是不等式－2x＜1的解集 B．x＝3是不等式－x＜1的解集 C．x＞－2是不等式－2x＜1的解集 D．不等式－x＜1的解集是x＞－1 2．下面列出的不等式中，正确的是（　　） A．x是负数，可以表示为 B．x－2是正数，可以表示为 C．大于1，可以表示为 D．x不等于，可以表示为 3．如果b>0，那么a+b与a的大小关系是(    ) A．a+b<a B．a+b>a C．a+b≥a D．不能确定 4．如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 5．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（    ） A．480 B．479 C．448 D．447 6．若x>y，则下列不等式不一定成立的是( ) A．x＋1>y＋1 B．2x>2y C．> D．x2>y2 7．下列说法中，错误的是(　　) A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个 C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解 8．已知m、n均为非零有理数，下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 9．利用不等式的性质解简单的不等式，就是将不等式逐步化为 或 的形式． 10．由得到的条件是c 0(填“”“”“”） 11．(1)不等式2x－3≥x的解集是 ； (2)不等式x－4>3x的解集是 ； (3)不等式>5的解集是 ． 12．如果a是有理数，那么－8a＞－5a．（） 13．若>0，<0，则ac 0. 14．若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝ ，b＝ ． 三、解答题 15．下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 16．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 17．学校要购买2000元的图书，包括名著和辞典，名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买几本辞典？(列式即可) 18．比较和的大小． 19．x取何值时，代数式的值，不小于代数式的值． 20．对于下列问题：，是有理数，若，则.如果结论保持不变，怎样改变条件，这个问题才是正确的？下面给出两种改法： （1），是有理数，若，则； （2），是有理数，若，则. 试利用不等式的性质说明这两种改法是否正确． 能力提升 一、单选题 21．已知a>b，则下列不等式中不一定成立的是( ) A．a－2>b－2 B．a>b C．－5a<－5b D．a2>ab 22．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 23．若a>－a，则a 0；若a＋b<a－b，则b 0. 24．用不等号填空，并说明根据的是不等式的哪一条基本性质： (1)若x＋2＞5，则x 3，根据不等式的基本性质 ； (2)若－x＜－1，则x ，根据不等式的基本性质 ． 三、解答题 25．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 26．解方程组 老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知． （1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值； （2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式． ①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值； ②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$