2024-2025学年八年级下学期第一次学业质量检测数学试卷（北师大版）2

4. 如图 2，已知 AD是吟ABC的中线援 下列条件 · 一 · 定能使吟ABC是等腰三角形的是（ ） 淤蚁B=蚁C；于蚁B=蚁DAC；盂AD彝BC A援 淤于盂 B援 淤和于 C援 于和盂 D援 淤和盂 5. 如图 3，在吟ABC和吟DFE中，蚁A=蚁D=90毅，AC=DE，若要用“HL”证 明吟ABC艺吟DFE，可补充的条件是（ ） A援 AB=DF B援 蚁B=蚁F C援 蚁ACB=蚁DEF D援 BE=FC 6. 如图 4，在吟ABC中，蚁B=56毅，蚁C=40毅，线段 AC 的垂直平分线分别交 BC，AC 于点 D，E，则 蚁BAD的度数为（ ） A援 50毅 B援 45毅 C援 44毅 D援 36毅 7. 命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45毅”，用反证法证明时应先假设（ ） A援 两锐角都大于 45毅 B援 有一个锐角小于 45毅 C援 有一个锐角大于 45毅 D援 两锐角都小于 45毅 8. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A援 若 x=y，则 x3=y3 B援 若 a跃b，则 a+3跃b+3 C援 全等三角形的周长相等 D援 等边三角形的三条边都相等 9. 下面对小明、小亮的说法判断正确的是（ ） 小明：不等式 a跃2a一定不成立，因为不等式两边同时除以 a，所以会得到 1跃2的错误结论； 小亮：若 a跃b，c跃d，则一定会有 a-c跃b-d A援 只有小明正确 B援 只有小亮正确 C援 小明和小亮都正确 D援 小明和小亮都不正确 10.某商场促销，小明妈妈将促销信息告诉了小明，现假设某一商品的定价为 x元，小明根据信息 列出正确的不等式 0.8伊（2x-150）约1500，那么小明妈妈告诉小明的促销信息是（ ） A援 买两件等值的商品可减 150元，再打八折，最后不超过 1500元 B援 买两件等值的商品可打八折，再减 150元，最后不超过 1500元 C援 买两件等值的商品可减 150元，再打八折，最后不到 1500元 D援 买两件等值的商品可打八折，再减 150元，最后不到 1500元 11.如图 5，在边长为 1的小正方形网格中，点 A，B，M，D均在网格的格点上， 且点 M到吟ABD三边的距离相等，则 · 可 · 以作为点 D的是（ ） A援 D1 B援 D2 C援 D3 D援 D4 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 3分，共 36分. 在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 得 分 评卷人 1. 下列符号中， · 不 · 能使 2x x-5成为不等式的是（ ） A援 约 B援 逸 C援 屹 D援 = 2. 如图 1，已知 PA=PB，O是线段 AB的中点，利用此图（不添加任何辅助线），可证明的 定理是（ ） A援 角平分线上的点到角两边的距离相等 B援 到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上 C援 到角两边的距离相等的点在角平分线上 D援 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 3. 已知-3m约-3n，则 m阴n，“阴”中应为（ ） A援 约 B援 = C援 跃 D援 逸 题号 一 二 三 得分 17 18 19 20 21 22 23 24 注意事项：1援 仔细审题，工整作答，保持卷面整洁. 2. 考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍. 八年级数学（北师大版）第 1页（共 8页） 八年级数学（北师大版）第 2页（共 8页） 本试卷共 8页. 总分 120分，考试时间 120分钟. 选择题答题框 涂卡注意事项：1. 使用考试专用扁头 2B涂卡铅笔填涂，或将普通 2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂. 2. 涂卡时，将答题纸直接置于平整的桌面上，或将答题纸置于硬质垫板上填涂. 一 定不能将答题纸置于软垫或纸张上填涂. 3. 修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选项. 4. 填涂的正确方法： 错误方法： 伊 总 分 核分人 … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … 数学（北师大版） 八年级第二学期第一次学业质量检测 2024~2025学年 班 级 姓 名 考 场 考 号 座位号 学 校 市、区、乡 绎 绎 ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ 1 2 3 4 5 ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ 11 12 ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ 6 7 8 9 10 考试专用试题，禁止一切形式传播，违者必究侵权责任 图 1 P A BO A B M D1 D2 D3D4 图 5 图 4 A B CD E 图 3 A B C D E F 图 2 A B CD 12.题目：“在吟ABC中，蚁B和蚁C均为锐角，DE垂直平分边 AB，分别交 AB，BC于点 D，E，MN垂 直平分边 AC，分别交 AC，BC于点 M，N，EN=4. 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：若蚁B=蚁C=30毅，则 AN=AE=4； 乙：若吟AEN的周长为 16，则边 BC的长为 16或 8 A援 甲和乙都不正确 B援 甲和乙都正确 C援 只有甲正确 D援 只有乙正确 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 3分，共 12分） 得 分 评卷人 13.图 6是驼梁山景区一段索道示意图，已知点 A，B之间的距离为 300米，蚁BAC=30毅，则缆车从 点 A 到点 B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为 米. 14.如图 7，已知吟AOB是等边三角形，延长 AO到点 C，延长 BO 到点 D，连接 CD. 若 AB椅CD， BD=7，AB=4，则 CD的长为 . 15.若不等式（2m-8）x跃3（2m-8）化为“x约a”的形式为 x约3，则正整数 m的个数为 . 16.如图 8，在锐角三角形 ABC中，AB=6，吟ABC的面积为 24，BD平分蚁ABC，动点 E，F分别在 BD和 BC上运动，则 CE+EF的 · 最 · 小 · 值为 . A O B C D 图 7图 6 30毅A B C 爬山通道 索道 图 8 A B C D E F 三、解答题（本大题共 8个小题，共 72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 7分） 得 分 评卷人 根据题意，列出不等关系. （1）m的 2倍与 5的差不大于 0； （2）一辆汽车 8点从 A 地出发，要在 10点前到达距离 A 地 40 km的 B地，设平均车速为 x km/h. 18.（本小题满分 8分） 得 分 评卷人 利用不等式的基本性质将下列不等式化为“x跃a”或“x约a”的形式. （1）x-3跃2； （2）-x+4约-6. 19.（本小题满分 8分） 得 分 评卷人 图 9是某果树树苗基地的平面示意图，A，B，C分别是桃树苗，杏树苗和梨树苗. 已 知工具储存室 D在蚁ABC内部. 按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）. （1）现要修建一条小路 DE（E在射线 BC上），使工具储存室 D到射线 BC的距离最短； （2）现要在蚁ABC的内部修建一处浇灌喷头（点 P），要求浇灌喷头点 P到三棵树苗的距 离相等，请确定点 P的位置. A B 工具储存室 桃树苗 杏树苗 C 梨树苗 D 图 9 八年级数学（北师大版）第 3页（共 8页） 八年级数学（北师大版）第 4页（共 8页） … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … 20.（本小题满分 8分） 得 分 评卷人 如图 10，在吟ABC中，蚁BAC=蚁BCA，线段 BE交 AC于点 P，AD彝BE，CE彝BE，垂 足分别为 D，E，且 BD=CE. （1）求证：Rt吟ABD艺Rt吟BCE； （2）若 AD=5，CE=1.8，求 DE的长. 21.（本小题满分 9分） 得 分 评卷人 某鱼塘规定：每人每天的钓鱼费用为 100元，钓到的鱼按 3元/斤回收. 小王是钓鱼 爱好者，某天他在该鱼塘钓到 x斤鱼，被鱼塘回收后，一算账发现自己不仅没有亏本，反 而还赚了钱，而且赚的钱超过了 20元. （1）根据题意，列出不等式； （2）根据不等式的基本性质将（1）中的不等式化为“x跃a”或“x约a”的形式； （3）已知小王接下来连续三天去该鱼塘钓鱼，钓到鱼的重量分别为 40斤，50斤，45斤，请 · 直 · 接写出这三天中有几天他当天赚的钱超过 20元. 八年级数学（北师大版）第 5页（共 8页） 八年级数学（北师大版）第 6页（共 8页） … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … 22.（本小题满分 9分） 得 分 评卷人 如图 11，在吟ABC 中，点 O 在吟ABC 的内部，BO 平分蚁ABC，且点 O 到边 AC，BC 的距离 相等，连接 OA，OC. （1）求证：AO平分蚁BAC； （2）若蚁BOC=130毅，求蚁OAB的度数； （3）若吟ABC的周长为 36，点 O到边 AB的距离为 4，求吟ABC的面积. A B C O 图 11 A B C D E P 图 10 24.（本小题满分 12分） 得 分 评卷人 已知吟ABC是边长为 10的等边三角形，P是边 AB上一点，点 Q在射线 BC上. 设 BQ的长为 x. （1）如图 13-1，当 x=2，且 AP=2时，求证：吟ABQ艺吟CAP； （2）当 x跃10时，连接 PQ，交边 AC于点 D，且 D是线段 PQ的中点. 淤如图 13-2，作 PE椅BC交 AC于点 E，且 AP=3，求 x的值； 于如图 13-3，作 PF彝AC于点 F. 随着 x的增大，线段 DF的长是否发生变化？若不变， 求线段 DF的长；若发生变化，请说明理由； 盂如图 13-4，长为 1的木条 MN在边 AC上，且 AM=1.5. 若于中的点 F恰好落在木条 MN上（不包括端点），请 · 直 · 接写出 x的取值范围. 图 13-1 Q P A CB 图 13-2 Q P A E D CB 图 13-3 Q P A F D CB 图 13-4 Q P A F D CB M N 23.（本小题满分 11分） 得 分 评卷人 如图 12-1，图 12-2，AE垂直平分线段 BC，交 BC于点 E，点 A 在线段 BC的上方，连接 AB， AC，且蚁B是锐角. D是平面内一点，连接 CD，AF垂直平分线段 CD，交 CD于点 F，连接 AD. （1）求证：AB=AD； （2）如图 12-1，当 AF在直线 AE的右侧时. 淤若蚁B=蚁ACD=50毅，请 · 直 · 接写出蚁EAF的度数； 于猜想蚁EAF，蚁B与蚁D之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 12-2，设蚁B=琢，当点 D恰好在边 AC的垂直平分线上时，请 · 直 · 接用含 琢的代数式表示 蚁BAD的度数. A B C D E F 图 12-1 A B CE 图 12-2 八年级数学（北师大版）第 8页（共 8页）八年级数学（北师大版）第 7页（共 8页） … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 3分，共 36分. 在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 得 分 评卷人 1. 下列符号中， · 不 · 能使 2x x-5成为不等式的是（ ） A援 约 B援 逸 C援 屹 D援 = 2. 如图 1，已知 PA=PB，O是线段 AB的中点，利用此图（不添加任何辅助线），可证明的 定理是（ ） A援 角平分线上的点到角两边的距离相等 B援 到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上 C援 到角两边的距离相等的点在角平分线上 D援 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 3. 已知-3m约-3n，则 m阴n，“阴”中应为（ ） A援 约 B援 = C援 跃 D援 逸 题号 一 二 三 得分 17 18 19 20 21 22 23 24 注意事项：1援 仔细审题，工整作答，保持卷面整洁. 2. 考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍. 八年级数学（北师大版）第 1页（共 8页） 本试卷共 8页. 总分 120分，考试时间 120分钟. 选择题答题框 涂卡注意事项：1. 使用考试专用扁头 2B涂卡铅笔填涂，或将普通 2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂. 2. 涂卡时，将答题纸直接置于平整的桌面上，或将答题纸置于硬质垫板上填涂. 一 定不能将答题纸置于软垫或纸张上填涂. 3. 修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选项. 4. 填涂的正确方法： 错误方法： 伊 总 分 核分人 … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … 数学（北师大版） 八年级第二学期第一次学业质量检测 2024~2025学年 班 级 姓 名 考 场 考 号 座位号 学 校 市、区、乡 绎 绎 ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ 1 2 3 4 5 ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ 11 12 ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ ［A］［B］［C］［D］ 6 7 8 9 10 考试专用试题，禁止一切形式传播，违者必究侵权责任 图 1 P A BO 4. 如图 2，已知 AD是吟ABC的中线援 下列条件 · 一 · 定能使吟ABC是等腰三角形的是（ ） 淤蚁B=蚁C；于蚁B=蚁DAC；盂AD彝BC A援 淤于盂 B援 淤和于 C援 于和盂 D援 淤和盂 5. 如图 3，在吟ABC和吟DFE中，蚁A=蚁D=90毅，AC=DE，若要用“HL”证 明吟ABC艺吟DFE，可补充的条件是（ ） A援 AB=DF B援 蚁B=蚁F C援 蚁ACB=蚁DEF D援 BE=FC 6. 如图 4，在吟ABC中，蚁B=56毅，蚁C=40毅，线段 AC 的垂直平分线分别交 BC，AC 于点 D，E，则 蚁BAD的度数为（ ） A援 50毅 B援 45毅 C援 44毅 D援 36毅 7. 命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45毅”，用反证法证明时应先假设（ ） A援 两锐角都大于 45毅 B援 有一个锐角小于 45毅 C援 有一个锐角大于 45毅 D援 两锐角都小于 45毅 8. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A援 若 x=y，则 x3=y3 B援 若 a跃b，则 a+3跃b+3 C援 全等三角形的周长相等 D援 等边三角形的三条边都相等 9. 下面对小明、小亮的说法判断正确的是（ ） 小明：不等式 a跃2a一定不成立，因为不等式两边同时除以 a，所以会得到 1跃2的错误结论； 小亮：若 a跃b，c跃d，则一定会有 a-c跃b-d A援 只有小明正确 B援 只有小亮正确 C援 小明和小亮都正确 D援 小明和小亮都不正确 10.某商场促销，小明妈妈将促销信息告诉了小明，现假设某一商品的定价为 x元，小明根据信息 列出正确的不等式 0.8伊（2x-150）约1500，那么小明妈妈告诉小明的促销信息是（ ） A援 买两件等值的商品可减 150元，再打八折，最后不超过 1500元 B援 买两件等值的商品可打八折，再减 150元，最后不超过 1500元 C援 买两件等值的商品可减 150元，再打八折，最后不到 1500元 D援 买两件等值的商品可打八折，再减 150元，最后不到 1500元 11.如图 5，在边长为 1的小正方形网格中，点 A，B，M，D均在网格的格点上， 且点 M到吟ABD三边的距离相等，则 · 可 · 以作为点 D的是（ ） A援 D1 B援 D2 C援 D3 D援 D4 八年级数学（北师大版）第 2页（共 8页） … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … A B M D1 D2 D3D4 图 5 图 4 A B CD E 图 3 A B C D E F 图 2 A B CD 12.题目：“在吟ABC中，蚁B和蚁C均为锐角，DE垂直平分边 AB，分别交 AB，BC于点 D，E，MN垂 直平分边 AC，分别交 AC，BC于点 M，N，EN=4. 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：若蚁B=蚁C=30毅，则 AN=AE=4； 乙：若吟AEN的周长为 16，则边 BC的长为 16或 8 A援 甲和乙都不正确 B援 甲和乙都正确 C援 只有甲正确 D援 只有乙正确 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 3分，共 12分） 得 分 评卷人 13.图 6是驼梁山景区一段索道示意图，已知点 A，B之间的距离为 300米，蚁BAC=30毅，则缆车从 点 A 到点 B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为 米. 14.如图 7，已知吟AOB是等边三角形，延长 AO到点 C，延长 BO 到点 D，连接 CD. 若 AB椅CD， BD=7，AB=4，则 CD的长为 . 15.若不等式（2m-8）x跃3（2m-8）化为“x约a”的形式为 x约3，则正整数 m的个数为 . 16.如图 8，在锐角三角形 ABC中，AB=6，吟ABC的面积为 24，BD平分蚁ABC，动点 E，F分别在 BD和 BC上运动，则 CE+EF的 · 最 · 小 · 值为 . A O B C D 图 7图 6 30毅A B C 爬山通道 索道 图 8 A B C D E F 三、解答题（本大题共 8个小题，共 72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 7分） 得 分 评卷人 根据题意，列出不等关系. （1）m的 2倍与 5的差不大于 0； （2）一辆汽车 8点从 A 地出发，要在 10点前到达距离 A 地 40 km的 B地，设平均车速为 x km/h. 八年级数学（北师大版）第 3页（共 8页） … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18.（本小题满分 8分） 得 分 评卷人 利用不等式的基本性质将下列不等式化为“x跃a”或“x约a”的形式. （1）x-3跃2； （2）-x+4约-6. 19.（本小题满分 8分） 得 分 评卷人 图 9是某果树树苗基地的平面示意图，A，B，C分别是桃树苗，杏树苗和梨树苗. 已 知工具储存室 D在蚁ABC内部. 按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）. （1）现要修建一条小路 DE（E在射线 BC上），使工具储存室 D到射线 BC的距离最短； （2）现要在蚁ABC的内部修建一处浇灌喷头（点 P），要求浇灌喷头点 P到三棵树苗的距 离相等，请确定点 P的位置. A B 工具储存室 桃树苗 杏树苗 C 梨树苗 D 图 9 八年级数学（北师大版）第 4页（共 8页） … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … 20.（本小题满分 8分） 得 分 评卷人 如图 10，在吟ABC中，蚁BAC=蚁BCA，线段 BE交 AC于点 P，AD彝BE，CE彝BE，垂 足分别为 D，E，且 BD=CE. （1）求证：Rt吟ABD艺Rt吟BCE； （2）若 AD=5，CE=1.8，求 DE的长. 21.（本小题满分 9分） 得 分 评卷人 某鱼塘规定：每人每天的钓鱼费用为 100元，钓到的鱼按 3元/斤回收. 小王是钓鱼 爱好者，某天他在该鱼塘钓到 x斤鱼，被鱼塘回收后，一算账发现自己不仅没有亏本，反 而还赚了钱，而且赚的钱超过了 20元. （1）根据题意，列出不等式； （2）根据不等式的基本性质将（1）中的不等式化为“x跃a”或“x约a”的形式； （3）已知小王接下来连续三天去该鱼塘钓鱼，钓到鱼的重量分别为 40斤，50斤，45斤，请 · 直 · 接写出这三天中有几天他当天赚的钱超过 20元. 八年级数学（北师大版）第 5页（共 8页） … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … A B C D E P 图 10 八年级数学（北师大版）第 6页（共 8页） … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 22.（本小题满分 9分） 得 分 评卷人 如图 11，在吟ABC 中，点 O 在吟ABC 的内部，BO 平分蚁ABC，且点 O 到边 AC，BC 的距离 相等，连接 OA，OC. （1）求证：AO平分蚁BAC； （2）若蚁BOC=130毅，求蚁OAB的度数； （3）若吟ABC的周长为 36，点 O到边 AB的距离为 4，求吟ABC的面积. A B C O 图 11 23.（本小题满分 11分） 得 分 评卷人 如图 12-1，图 12-2，AE垂直平分线段 BC，交 BC于点 E，点 A 在线段 BC的上方，连接 AB， AC，且蚁B是锐角. D是平面内一点，连接 CD，AF垂直平分线段 CD，交 CD于点 F，连接 AD. （1）求证：AB=AD； （2）如图 12-1，当 AF在直线 AE的右侧时. 淤若蚁B=蚁ACD=50毅，请 · 直 · 接写出蚁EAF的度数； 于猜想蚁EAF，蚁B与蚁D之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 12-2，设蚁B=琢，当点 D恰好在边 AC的垂直平分线上时，请 · 直 · 接用含 琢的代数式表示 蚁BAD的度数. A B C D E F 图 12-1 A B CE 图 12-2 八年级数学（北师大版）第 7页（共 8页） … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 24.（本小题满分 12分） 得 分 评卷人 已知吟ABC是边长为 10的等边三角形，P是边 AB上一点，点 Q在射线 BC上. 设 BQ的长为 x. （1）如图 13-1，当 x=2，且 AP=2时，求证：吟ABQ艺吟CAP； （2）当 x跃10时，连接 PQ，交边 AC于点 D，且 D是线段 PQ的中点. 淤如图 13-2，作 PE椅BC交 AC于点 E，且 AP=3，求 x的值； 于如图 13-3，作 PF彝AC于点 F. 随着 x的增大，线段 DF的长是否发生变化？若不变， 求线段 DF的长；若发生变化，请说明理由； 盂如图 13-4，长为 1的木条 MN在边 AC上，且 AM=1.5. 若于中的点 F恰好落在木条 MN上（不包括端点），请 · 直 · 接写出 x的取值范围. 图 13-1 Q P A CB 图 13-2 Q P A E D CB 图 13-3 Q P A F D CB 图 13-4 Q P A F D CB M N 八年级数学（北师大版）第 8页（共 8页） … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … 考试专用试题，禁止一切形式传播，违者必究侵权责任 河北省2024—2025学年八年级第二学期第一次学业质量检测 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分. 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分. 一、（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D D C A C D C B B 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.150 14.3 15.3 16.8 三、17.解：（1）2m-5≤0；（3分） （2） （10-8）x＞40.（4分）（写成＜10-8或x＞均可） 18.解：（1）x＞5；（4分） （2）x＞10.（4分） 19.解：（1）如图，线段DE即为所求；（4分） （2）如图，点P即为所求.（4分） 20.解：（1）证明：∵∠BAC=∠BCA，∴AB=BC. ∵AD⊥BE，CE⊥BE，∴∠ADB=∠BEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△BCE中，∵∴Rt△ABD≌Rt△BCE；（4分） （2）∵Rt△ABD≌Rt△BCE，∴BE=AD=5，BD=CE=1.8，∴DE=BE-BD=3.2.（4分） 21.解：（1）由题意得3x-100＞20；（3分） （2）x＞40；（4分） （3）这三天中有两天他当天赚的钱超过20元.（2分） 22.解：（1）证明：分别过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F. ∵BO平分∠ABC，∴OD=OE. ∵点O到边AC，BC的距离相等，∴OF=OE，∴OD=OF. 又∵OD⊥AB，OF⊥AC， ∴AO平分∠BAC；（3分） （2）由（1）可得CO平分∠ACB，∴∠ACB=2∠OCB. ∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC. ∵∠BOC=130°，∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠OBC+∠OCB）=80°. ∵AO平分∠BAC，∴∠OAB=∠BAC=40°；（3分） （3）∵△ABC的周长为36，∴AB+BC+AC=36. 由（1）知OD=OE=OF， ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=（AB+BC+AC）×4=72.（3分） 23.解：（1）证明：∵AE垂直平分线段BC，AF垂直平分线段CD，∴AB=AC，AC=AD，∴AB=AD；（3分） （2）①∠EAF=80°；（2分） ②∠EAF+∠B+∠D=180°；（1分） 理由：由（1）知AB=AC，AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠D=∠ACD，∴∠BAC=180°-2∠B，∠CAD=180°-2∠D. ∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=90°-∠B. ∵AF⊥CD，∴∠CAF=∠DAF=∠CAD=90°-∠D， ∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=180°-∠B-∠D，即∠EAF+∠B+∠D=180°；（3分） （3）∠BAD的度数为240°-2α或120°-2α.（2分） 【精思博考：如图1，当点D在线段AC的垂直平分线上，且点D在AC的右侧时，易得AD=CD. ∵AD=AC，∴AD=AC=CD， ∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=180°-2α+60°=240°-2α； 如图2，当点D在线段AC的垂直平分线上，且点D在AC的左侧时，同理可得△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=180°-2α-60°=120°-2α. 综上，∠BAD的度数为240°-2α或120°-2α】 24.解：（1）证明：∵BQ=x=2，AP=2，∴AP=BQ. ∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠PAC=∠B=60°. 在△ABQ和△CAP中，∵∴△ABQ≌△CAP；（3分） （2）①∵D是线段PQ的中点，∴PD=QD. ∵PE∥BC，∴∠EPD=∠CQD. 在△DPE和△DQC中，∵∴△DPE≌△DQC，∴PE=CQ. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠ACB=60°. ∵PE∥BC，∴∠APE=∠ABC=60°，∠AEP=∠ACB=60°，∴△APE是等边三角形，∴PE=AP=3，∴CQ=3，∴x=BQ=BC+CQ=13；（4分） ②线段DF的长不发生变化；（1分） 如图，过点P作PH∥BC，交AC于点H. 由①易知△PDH≌△QDC，∴DH=CD=CH，PH=CQ. 由①易得△APH是等边三角形. ∵PF⊥AC，∴AF=FH=AH， ∴DF=DH+FH=CH+AH=AC=5；（2分） ③x的取值范围是13＜x＜15.（2分） 【精思博考：过点P作PH∥BC，交AC于点H. 由①、②易知CQ=PH=AH=2AF. 当点F恰好在点M处时，AF=1.5，∴CQ=AH=2AF=3，∴x=BQ=BC+CQ=13； 当点F恰好在点N处时，AF=AM+MN=2.5，∴CQ=AH=2AF=5，∴x=BQ=BC+CQ=15； 综上，x的取值范围是13＜x＜15】 八年级数学（北师大版）第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$