精品解析：山东省青岛市四区部分学校2025届高三下学期零模（期初调研）数学试题

2025高三青岛市零模数学试题（高三下期初调研） 数学 2025年2月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题 1. 设复数，则z的共轭复数为（ ）． A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法，结合共轭复数的定义，可得答案. 【详解】， 则复数的共轭复数. 故选：B. 2. 圆在点处的切线斜率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在圆上，再根据切线和半径的垂直关系求切线斜率. 【详解】如图： 因为，所以点在圆：上. 所以圆在点处的切线与半径所在的直线垂直. 又，所以切线的斜率为：. 故选：C 3. 设，，则的值为（ ）． A 2 B. 3 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式及同角公式求解即得. 【详解】由，，得， ，因此， ，所以. 故选：D 4. 《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（ ） A. B. C. 100 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】由棱台体积公式可得答案. 【详解】由题可得上底面积为，下底面积为，高为， 则棱台体积为：. 故选：B 5. 下表反映了12月份（共21个工作日）中，李华同学在每天的数学课上携带教材的情况，以及数学课上坐在李华同桌位置的同学，只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 教材 无 有 有 无 有 有 无 有 有 无 无 同桌 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 梓晴 梓晴 陈伟 日期（续） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 教材（续） 有 有 有 无 无 有 有 无 无 有 同桌（续） 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 从表格信息，我们可以推断（ ）：（附：） A. 有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B. 有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C. 有不小于95%把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D. 若强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率 【答案】D 【解析】 【分析】完善相应的列联表，求得卡方值，比较临界值，逐项判断即可； 【详解】与梓晴同桌8天，2天带教材，6天没带； 与陈伟同桌7天，5天带教材，2天没带； 与刘瑞同桌6天，5天带教材，1天没带； 带教材 没带教材 合计 梓晴 2 6 8 其他同桌 10 3 13 合计 12 9 21 ， 所以认为有95%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关； ， 所以认为没有99%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关；故AB错误； 带教材 没带教材 合计 刘瑞 5 1 6 陈伟 5 2 7 合计 10 3 13 ，所以没有95%的把握认为李华是否带教材与谁是同桌有关，C错误； 从数据：与梓晴同桌8天，2天带教材，6天没带； 与陈伟同桌7天，5天带教材，2天没带； 与刘瑞同桌6天，5天带教材，1天没带； 可以认为强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率，D正确， 故选：D 6. 四个顶点的坐标均为整数的正四面体体积的最小值为（ ）． A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体与正四面体的关系，求得最小正四面体的体积. 【详解】利用正方体的面对角线构造正四面体，如下图所示， 正方体，正四面体， 要使四个顶点的坐标均为整数的正四面体体积最小， 则对应的正方体的体积最小，所以正方体的边长为， 此时， 四个顶点的坐标均为整数. . 故选：A 7. 设函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 在定义域上单调递减 C. 在点处的切线斜率为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解可判断A，由反例可判断B，，求导可判断C，由，累加求和可判断D； 【详解】由有意义可得：解得且，所以定义域为，A错误； ，由此知在定义域上一定不是单调递减；B错误； 对于C，，，则，C错误； 所以，D正确； 故选：D 8. 设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由奇数一奇数＝偶数，要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可． 【详解】因为A是S的一个子集，记， 而奇数一奇数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，奇数与偶数的差为奇数， 若对任意总有， 要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可， 即，得集合A中元素个数的最大值为：5． 故选：A 二、多选题 9. 已知，其中（）且（），则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式将已知式化简，求出，然后对四个选项逐个分析即可. 【详解】因为，且， 因为（）且（）， 所以，， 所以， 所以， A：，故A正确； B：，故B错误； C：取，，故C错误； D：，故D正确， 故选：AD. 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 零点均分布在内 C. 零点为，， D. 零点为，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求导思想，来研究三次函数的单调性，通过数形结合可判断选项AB，再通过三倍角正弦函数公式，可检验三个零点是否满足，并判断CD，即可. 【详解】对于函数，求导可得：， 令，解得，可得下表： 极大值 极小值 则，，即可作图， 通过图象可知，有三个零点，故A正确； 又因为结合图象可知，函数的三个零点均分布在内，故B正确； 因为 ， 即. 将代入解析式可得， ，故是的一个零点； 再将代入解析式可得， ，故是的一个零点； 再将代入解析式可得， ，故是的一个零点； 故C正确，D错误； 故选：ABC. 11. 设为公比为的等比数列，，其中符号表示不超过x的最大整数，则（ ）． A. 若，，则 B. 若，的最大值为3，则q的取值范围是 C. 若，为常数列，则为常数列 D. 若与为同一个数列，则、q均为非零整数 【答案】ABD 【解析】 【分析】 通过等比数列的通项公式和取整函数的性质即可判断. 【详解】 对于选项A：由等比数列通项公式得，所以. 故A正确； 对于选项B：因为，由题意的最大值为1. 当或均不符合题意，故. 所以，即，解得. 故B正确； 对于选项C：取，，则，，， 显然是各项为的常数列；故C错误； 对于选项D：因为的项都是整数，而与为同一个数列，所以、q均需为非零整数. 故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知函数的图象为双曲线，则其焦点坐标为________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据给定的双曲线求出其渐近线方程，求出实轴所在直线的方程，由此求出实半轴长，结合双曲线的几何性质求出虚半轴长，进而求出半焦距，再求出焦点坐标. 【详解】双曲线的渐近线为直线，令双曲线的顶点， 直线为直线所夹锐角的平分线，直线的倾斜角为， 斜率， 直线：，由，得， 令双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则， 过分别作直线的垂线交直线分别于， ， 半焦距，设焦点坐标为， 则，解得， 所以焦点坐标为，. 故答案为：， 13. 在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到四个球的球心构成的几何体，然后求出该几何体的外接球半径，加上小球半径即可得到大球半径，然后求得表面积. 【详解】由题意可知，四个小球圆心的距离均为， 如图正四面体，且， 由中线的三等分点得到底面的重心，然后连接， 则球心必在线段上， ∵，∴，则，， 则， 在中，令，则，解得， 又∵小球与大球相切，∴大球半径为， ∴大球表面积. 故答案为：. 14. 小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设每次投进的概率为，利用独立重复试验的概率公式表示出投进次数恰好为的概率，通过求其最大值确定的值，再计算恰好投进次的概率. 【详解】设每次投进的概率为（），因为小张同学在罚球线投篮次，这是次独立重复试验. 所以投进次数恰好为的概率. 设（），. 令，即，解得，. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以当时，取得最大值，即投进次数恰好为的概率取得最大值. 此时. 根据独立重复试验的概率公式，投进次数恰好为次的概率. 故答案为： 四、解答题 15. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从，（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)(2) 【解析】 【详解】（1）因为X满足=0的是两个垂直的向量有8个，从8个向量中任取2个乘积共有种，所以小波参加学校合唱团的概率为 （2）由题意知X可能取值有-2，-1,0,1， X的分布列如下： X -2 -1 0 1 P 考点：该题主要考查离散型随机变量X的概率分布、期望，平面向量的概念和运算，随机变量的概率等基础知识，考查综合分析能力和运算能力. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设是的两个极值点，是的一个零点，且.是否存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数祭计算可得函数的极值点为，零点为，结合等差数列定义计算即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，故， 又，所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 由于，故， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的两个极值点为， 不妨设， 因为，且是的一个零点，故. 又因为， 故， 此时依次成等差数列， 所以存在实数满足题意，且. 17. 设三角形满足，其中分别为的对边． （1）证明：； （2）设三角形中，为边靠近的三等分点，且，，将三角形向上翻折（如图），若平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由和正弦定理可得，进而可得，进而可证； （2）利用空间向量法求二面角. 小问1详解】 因，由正弦定理可得， 得，即，故， 即. 【小问2详解】 由（1）知，又，，故，， 由题意可知， 由余弦定理可得， 故，又，故， 由题意，故，故， 如图，取的中点，连接，则， 又平面平面，平面平面，故平面， 又平面，故， 又，，平面，故平面， 在平面上，过作交于，则两两垂直， 由题意，故， 如图建立空间直角坐标系，则， 则，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则为锐角，故 故二面角的余弦值为. 18. 已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②16 【解析】 【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹； （2）①设线段的中点为，利用向量证明G，E，F三点共线，同理H，E，F三点共线，进而可得结论；②将四边形面积转化为四边形GAHB面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【小问1详解】 设，与直线的切点为N，则， 所以 化简得，所以C的方程为：； 【小问2详解】 ①设线段的中点为， 因为，所以可设，， 又因为， 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②设，，，，AB中点为E，中点为F， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线上） 因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等； 所以四边形的面积等于四边形GAHB的面积， 设，， 直线，即 整理得：直线，又因为，所以， 同理，直线，，所以 所以 所以四边形GAHB面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将四边形的面积转化为四边形GAHB的面积，还有充分利用第一问中的点共线求出的横坐标，可以给求面积带来便利. 19. 给定正整数，设集合，若集合，且T中存在元素（是为了区分元素而设置的角标），对任意的满足，则称集合T为集合的“典范子集”． （1）写出集合的所有“典范子集”； （2）设集合的子集均不是集合的“典范子集”，且，求s的最小值； （3）若集合的任意元素个数为m的子集都是集合的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）正确理解“典范子集”的定义，求出，根据定义分析即可； （2）正确理解“典范子集”需要存在3个元素满足的条件，据此可以尝试按第二个坐标的值将元素分组，将元素分为3组，证明每个均不是“典范子集”，证明不可能即可求解； （3）求出限制所有元素的每个坐标分量均不超过的子集个数，证明这样的子集不包含“典范子集”，证明当子集大小超过，即，必存在至少一个元素在某个坐标上的分量为，再利用反证法即可求解. 【小问1详解】 根据题意，“典范子集”满足存在3个元素、和，使得对于，前1个元素的第1位相同且小于后2个元素的第1位，对于，前2个元素的第2位相同且小于后1个元素的第2位， ， 第一种可能性：， ：第一位为 1，2，2，满足前1个（1）等于自己，且 ， ：第二位为，，，满足前两个等于自己，且， 第二种可能性：包含个元素的集合， 因为存在候选1中的3元组，所以也是“典范子集”， 其他组合均不符合题意， 所以所有“典范子集”和； 【小问2详解】 因为“典范子集”需要存在3个元素满足：对第一个坐标，前1个元素的第1位相同且小于后2个元素的第1位，对第二个坐标，前2个元素的第2位相同且小于后1个元素的第2位， 如果某个子集中所有元素的第二个坐标都相同（例如全为1），则无法满足第二个坐标的条件（所有元素的第二个坐标相等，不可能有“前2个相同且小于后1个”）， 因此，可以尝试按第二个坐标的值将元素分组， 因为的第二个坐标可取1、2、3，所以将元素分为3组：（所有第二个坐标为1的元素），，（所有第二个坐标为2的元素），，（所有第二个坐标为3的元素）， 对于任意，因为所有元素的第二个坐标相同， 所以无法满足第二个坐标的条件（需要前2个相同且小于后1个）， 对于第一个坐标，虽然可能存在不同的值（例如包含、、）， 但典范子集需要同时满足两个坐标的条件， 仅第一个坐标满足条件并不能构成典范子集， 因此每个均不是“典范子集”， 假设，即用两个子集和覆盖所有元素， 因为共有9个元素，至少有一个子集包含至少个元素， 考虑这个包含5个元素的子集， 因为由于第二个坐标只有3种可能（1、2、3）， 若中包含至少两个不同的第二个坐标（例如包含和）， 则可能存在满足第二个坐标条件的元素， 因此不可能，最小； 【小问3详解】 限制所有元素的每个坐标分量均不超过， 这样的子集共有，若其中存在典范子集， 则需存在个元素，使得在每个坐标 上，前个元素的分量相同且小于后个元素的分量， 但由于所有分量均不超过， 在最后一个坐标上，前个元素的分量最多为而后 11 个元素的分量必须更大（即至少为）， 这与分量不超过矛盾， 因此，这样子集不包含“典范子集”， 设子集大小为， 由于总共有个元素，而个元素的分量均不超过， 因此至少有一个元素的分量在某个坐标上为， 对于每个坐标，选择前个元素的分量均为某个固定值， 后个元素的分量均为， 由于存在分量，可逐步调整其他坐标的分量，使得所有坐标的条件均被满足， 所以当子集大小超过，即，必存在至少一个元素在某个坐标上的分量为， 假设存在大小为的子集不包含典范子集， 该子集至少包含一个元素在某个坐标上的分量为， 通过递归调整其他坐标的分量，必能构造出满足条件的个元素，导致矛盾， 所以最小. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确理解“典范子集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高三青岛市零模数学试题（高三下期初调研） 数学 2025年2月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题 1. 设复数，则z的共轭复数为（ ）． A. B. C. 1 D. 2. 圆在点处的切线斜率是（ ）． A. B. C. D. 3. 设，，则值为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 7 4. 《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（ ） A. B. C. 100 D. 140 5. 下表反映了12月份（共21个工作日）中，李华同学在每天的数学课上携带教材的情况，以及数学课上坐在李华同桌位置的同学，只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 教材 无 有 有 无 有 有 无 有 有 无 无 同桌 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 梓晴 梓晴 陈伟 日期（续） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 教材（续） 有 有 有 无 无 有 有 无 无 有 同桌（续） 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 梓晴 陈伟 刘瑞 从表格信息，我们可以推断（ ）：（附：） A. 有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B. 有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C. 有不小于95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D. 若强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材概率 6. 四个顶点的坐标均为整数的正四面体体积的最小值为（ ）． A. B. C. 1 D. 7. 设函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 在定义域上单调递减 C. 在点处的切线斜率为 D. 8. 设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题 9. 已知，其中（）且（），则下列结论一定正确是（ ） A. B. C D. 10. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 零点均分布在内 C. 零点为，， D. 零点为，， 11. 设为公比为的等比数列，，其中符号表示不超过x的最大整数，则（ ）． A. 若，，则 B. 若，的最大值为3，则q的取值范围是 C. 若，为常数列，则为常数列 D. 若与同一个数列，则、q均为非零整数 三、填空题 12. 已知函数的图象为双曲线，则其焦点坐标为________． 13. 在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为________． 14. 小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是________． 四、解答题 15. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从，（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X的分布列和数学期望. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设是的两个极值点，是的一个零点，且.是否存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求；若不存在，说明理由. 17. 设三角形满足，其中分别为的对边． （1）证明：； （2）设三角形中，为边靠近的三等分点，且，，将三角形向上翻折（如图），若平面平面，求二面角的余弦值． 18. 已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 19. 给定正整数，设集合，若集合，且T中存在元素（是为了区分元素而设置的角标），对任意的满足，则称集合T为集合的“典范子集”． （1）写出集合的所有“典范子集”； （2）设集合的子集均不是集合的“典范子集”，且，求s的最小值； （3）若集合的任意元素个数为m的子集都是集合的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $