7.3.2 离散型随机变量的方差（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2 离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 离散型随机变量的均值: 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量 的均值或数学期望，数学期望简称期望； 两点分布的数学期望： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 0 1 权数 加权平均数 前情回顾 0 数学期望的性质: 若 是两个随机变量, 且, 则：， 即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. 特殊地： (1)当a=0时, E(b)=b (2)当b=0时,E(aX )=aE(X ) . 学习目标 1 2 3 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法． 能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 0 新课引入 0 思考：你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的方差及其意义吗？ 期望反映了随机变量取值的平均水平或分布的 “集中趋势”； 当两组数据的期望相同时，那还能通过探究这组数据的什么数字特征呢？ 方差用于体现数据的两极分化程度， 即反映这组数据相对于平均值的集中程度。 还可以考察数据的方差 读教材 0 阅读课本P67-P70，5分钟后完成下列问题： 1.什么是随机变量的方差和标准差及其意义？ 我们一起来探究“离散型随机变量的方差”吧！ 2.方差和数学期望的数量关系和方差的性质分别是什么？ 01 03 02 目录 1 离散型随机变量的方差 学习过程 2 方差的性质 3 题型训练 1 新知探究 探究1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y的分布列如下表所示： 问题1：可以通过均值判断两名同学的射击水平吗？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 由于E(X)= 8 ，E(Y)=8；所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 1 新知探究 探究1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y的分布列如下表所示： 问题2：还可以从哪个角度来评价射击水平呢？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 ①环数的均值，即集中趋势； ②稳定性，即击中环数的离散程度. 如何定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 随机变量的方差 1 新知探究 探究1 X 和Y 的概率分布图如下图，分析甲乙两名击中环数的离散程度： 问题3：怎么从数据上反映乙同学射击成绩更稳定？ 同学的射击成绩更集中于8环， 即 同学的射击成绩更稳定. 概率分布图 乙 乙 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来体现的，所以我们可以用能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度. 1 新知探究 样本均值： 样本方差： 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 离散型随机变量取值的方差： 所有可能取值与的偏差的平方，，，. 取每个值的概率不同，故可用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称： 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 类比 1 新知1－－离散型随机变量的方差 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 方差或标准差越小， 随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大， 随机变量的取值越分散. 1 新知探究 探究1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y的分布列如下表所示： 问题4：如何定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 D(X)=(6-8)2×0.09+(7-8)2×0.24+(8-8)2×0.32+(9-8)2×0.28+（10-8)2×0.07 = 1.16 D(Y)=(6-8)2×0.07+(7-8)2×0.22+(8-8)2×0.38+(9-8)2×0.30+（10-8)2×0.03 = 0.92 D(X)>D(Y)，可得随机变量Y的取值相对更集中即乙同学的射击成绩相对更稳定. 学以致用 例1 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，得样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计（ ） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 B 解：由题意得，D(X甲)＝11 > D(X乙)＝3.4， 所以乙的数据更集中，即水稻分蘖更整齐，故选B。 学以致用 例2 由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为     现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ） A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 解：∵E(X1)＝E(X2)＝1.1， D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，故派甲运动员参加较好，故选A. X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 A 学以致用 例3 设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，求E(X)，D(X)？ 解: X的所有可能取值有0,1， 故X的分布列为: 故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p， 1 写分布列 2 求均值E(X) 3 求方差D(X) 0 1 ∴D(X)＝p2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p). 学以致用 例4 已知随机变量X的分布列如表所示：则a＝____，D(X)＝_____？ 解: 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5， E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2， D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56. 1 3 5 0.4 0.1 a 0.5 3.56 思路点拨 求离散型随机变量的方差的步骤： 求方差：D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋‧ ‧ ‧＋(xn－E(X))2pn . 4 1 确定取值：根据随机变量的意义，写出可能取得的全部值； 2 求概率：求随机变量的每个取值对应的概率P(X＝k)； 3 求均值：写出的分布列，由均值(数学期望)的定义求出； 01 03 02 目录 学习过程 1 离散型随机变量的方差 2 方差的性质 3 题型训练 1 新知探究 探究2 方差的公式与均值密切联系，那么用E(X)表示D(X)还有其他公式吗？ =1 = 1 新知探究 问题1 离散型随机变量Y=aX+b，D(aX＋b)(其中a,b为常数)与D(X)有何联系？ Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 所以：D(aX＋b)=a2D(X) D(aX+b)=(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋… ＋(axi+b－E(aX+b))2·pi ＋…＋ (axn+b－E(aX+b))2pn =(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi ＋… ＋ (axn－aE(X))2pn =a 2[ (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi ＋… ＋ (xn－E(X))2pn] =a 2D(X) 2 新知2－－方差的性质 方差的性质: 1. 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X ) 特殊地： (1)当a=0时, D(b)=0 (2)当b=0时,D(aX )=a2D(X ) 2. D(X )=E(X2)－E(X)2 学以致用 例1 判断正误： 1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(　　) 2.若a是常数，则D(a)＝0.(　　) 3.离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(　　) × √ √ × 解：(1)离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定，错误； (2)常数的方差是0，正确； (3)由方差的定义及其意义可知，正确； (4)D(aX＋b)=a2D(X )，当a是负数时，说法错误. 学以致用 例2 设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 C 解：D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4. 故选C. 例3 已知随机变量ξ的分布列如下表：设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)？ 思路点拨 离散型随机变量分布列的性质： (1)离散型随机变量X的概率和等于1； (2)； (3)； (4). 01 03 02 目录 学习过程 1 离散型随机变量的方差 2 方差的性质 3 题型训练 3 例1 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1， 则a＝___ ，b＝___ . 题型1－－离散型随机变量的方差 X －1 0 1 2 P a b c 3 题型1－－离散型随机变量的方差 解：设P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b， 3 题型1－－离散型随机变量的方差 例3 (多选)已知X的分布列如下表：则（ ） AC 3 例4 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为____，此时p＝____. 题型1－－离散型随机变量的方差 解：随机变量X的所有可能的取值是0,1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p. 从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p， D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2；∵0<p<1： 3 例5 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下表： (1)求a，b的值；(2)计算X，Y的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况? 题型2－－离散型随机变量的具体应用 解：E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(X)>E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D(Y)， 说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣. X 1 2 3 P a 0.1 0.6 Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 3 例6 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 试评定这两个保护区的管理水平? 题型2－－离散型随机变量的具体应用 解：甲保护区：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些. X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 课堂小结 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 课堂小结 方差的性质: 1. 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X ) 特殊地： (1)当a=0时, D(b)=0 (2)当b=0时,D(aX )=a2D(X ) 2. D(X )=E(X2)－E(X)2 4.若a，b为常数，则＝a.(　　) ξ －1 0 1 P 解：E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，且 D(ξ)＝， 所以：E(η)＝2E(ξ)＋3＝，D(η)＝4D(ξ)＝. 解：由题意知解得 则解得 所以D(X)＝＋×0＋×1＝. 例2 随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝____. X 1 2 3 4 P 解：∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， ∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. A.E(X)＝ B.D(X)＝ C.D(X)＝ D.E(X)＝ ∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是. $$