2024年安徽省宣城市宁国中学数学自主招生（试题卷）

第1 页 共4页 2024年自主招生素质检测 数学试题 注意事项: 1.本试卷满分为120分,考试时间为100分钟。 2.全卷包括“试题卷”(4页)和“答题卡”(2页)两部分。 3.答题一律要求用0.5 mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B铅笔作答,考 试不使用计算器。 4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卡”一并交回。 一、选择题:共6小题,每小题4分,共24分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.下列因式分解正确的是 A. 2x2+y2+4xy=(2x+y)2 B. x3-2xy+xy2=x(x-y)2 C. x2-(3y-1)2=(x-1+3y)(x+1-3y) D. ax2-ay2+1=a(x+y)(x-y)+1 2.若关于x的不等式组 x+2a<0 3x+a<15 的解集中的任意x的值,都能使不等式x-4<0成立,则实数 a的取值范围为 A. a<-3 B. a<-2 C. a≥-2 D. a≥3 3.如图,已知△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,AB=8,BC=6,AC=10,则DC 的值为 A. 10 3 B. 2 C. 5 3 D. 1 4.定义:用Ma,b,c 表示这三个数的中位数,用Min{a,b,c}表示这三个数的最小数.例如:M{-1, 1 2 ,0}=0,Min{-1,12 ,0}=-1.如果M{4,x2,2x-1}=Min{4,x2,2x-1},则x的值为 A. 2或-2 B. 1或52 C. 2或12 D. 1或12 5.如图,△ABC 中,AB=BC,∠B=120°,E 为平面内一点,若AE=3,CE=2,则BE 的值可能为 A. 2.5 B. 3 C. 0.3 D. 0.5 6.如图,直线AB:y= 1 3x+b 与反比例函数y= k x 相交于点A(3,5),与y轴交于点B,将射线AB 绕点A 逆时针旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点A、B、C 构成的三角形面积为 A. 1 2 B. 11 10 C. 23 2 D. 55 4 第2 页 共4页 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分。 7.黄山景色绝美,景观奇特.“五一”假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季 190元/人,以此计算,“五一”假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为 . 8.若x9+x8+…+x2+x+1=0,则x的值为 . 9.定义:对于函数y=lgx(x>0),y随x的增大而增大,且lg10=1,lg x y =lgx-lgy,lgxy=lgx+ lgy.若 1 2a+ 5 4b=5 ,则lga+lgb的最大值为 . 10.已知二次函数y=2x2+bx+c图象的对称轴为直线x= 3 4 ,且过点(3,10),若其与直线y=3交 于A、B 两点,与直线y=x+5交于P、Q 两点,则 PQ 2AB 值为 . 三、解答题:共5题,共76分。解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤。 11.(10分) (1)若 1 3a+ 2 5b=1 , 2 3a+ 3 5b=3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 求a2-b2+8b-17 2025; (2)先化简再求值:m+2m - m-1 m-2 ÷ m-4m2-4m+4,其中m=2sin30°·tan45°- 32tan30°. 12.(12分) 请按以下要求完成尺规作图. (1)如图1,菱形ABCD 中,点P 在对角线BD 上,请作出一对以BD 所在直线为对称轴的全等 三角形,使交BA 于点M,交BC 于点N,△PBM≌△PBN.你有几种解法? 请在下图中完成;(保 留必要作图痕迹,不写作法) 第3 页 共4页 (2)如图2,点P 是菱形ABCD 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线BA、射线BC 于 点M、N,且BM=BN,聪明的你肯定有多种不同作法? 请在下图中完成两种作法,并选择其中一 种证明:BM=BN.(保留必要作图痕迹,不写作法) 13.(16分) 如图,直角三角形ABC 中,以直角边AB 为直径作圆交AC 于点D,过点D 作DM⊥AB 于点 M,E 为DM 的中点,连接AE 并延长交BC 于点F,BF=EF. (1)求证:CF=BF; (2)求tan∠DEF; (3)若DF=2,求圆的面积. 14.(18分) 已知四边形ABCD,AB=4,点P 在射线BC 上运动,连接AP. (1)若四边形ABCD 为正方形,点M 在AP 上,且∠ADM=∠APD.请判断AM、AP、AC 之 间数量关系,并说明理由; (2)若四边形ABCD 为菱形呢? ∠B=60°,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗? 并说 明理由; (3)若四边形ABCD 为正方形,将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°于PQ,此时DQ 的最小值为 多少? AQ+DQ 的最小值呢? 并说明理由. 第4 页 共4页 15.(20分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为A(1,4),与x 轴交点分别为点B、C(点B 在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=kx+4(k>0)与x 轴所形成的夹角的正切值为4,方程 kx+4=ax2+bx+c有两个相等的实数根. (1)求该抛物线的解析式; (2)点M 是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A、B、M、N 为顶 点的四边形为平行四边形? 若存在,请求出所有满足条件的点N 坐标及该平行四边形的面积;若 不存在,请说明理由; (3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D 关于x轴的对 称点为D',若过点D'的直线与y'交于P、Q 两点(点P 在点Q 左侧),点Q 关于y 轴的对称点为 Q',若△PQO 与△PQQ'面积相等,求直线PQ 的解析式.