15.5三角形的中位线巩固练习 2024-2025学年北京版数学八年级下册

15.5三角形的中位线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为3时，AD的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（    ）    A．5 B．6.5 C．10 D．12 3．如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（　　） A．点A落在BC边的中点 B．∠B+∠1+∠C=180° C．△DBA是等腰三角形 D．DE∥BC 4．如图，在中，分别是的平分线，于点于点，的周长为30，，则的长是（    ） A．15 B．9 C．6 D．3 5．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的（    ） A．中线 B．中垂线 C．中位线 D．中间线 6．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（　　）    A．10° B．15° C．25° D．40° 7．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 8．已知：如图所示：点D，E分别是的边的中点． 求证：，且． 证明：延长到点F，使EF＝DE，连接．∵，∴四边形是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴；②．即；③四边形是平行四边形；④，且．则正确的证明顺序应是（　　） A．①→③→②→④ B．①→③→④→② C．②→③→①→④ D．②→③→④→① 9．已知等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为(　　) A．22 B．26 C．22或26 D．23 10．如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知∠A＝65°，则∠DFE＝（　　） A．60° B．62° C．64° D．65° 12．如图，在矩形中，P，Q分别是，上的点，E，F分别是，的中点．，，则线段的长为（　　）    A．6 B．6.5 C．7 D．5 二、填空题 13．如图，要测量池塘两端A、B间的距离，在平面上取一点O，连结的中点C、D，测得米，则 ． 14．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作于点E，连接，若，，则矩形的面积为 ． 15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为 ． 16．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，BC=8cm，则DE= ． 17．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 三、解答题 18．如图，、分别是不等边三角形（即）的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、． （1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； （2）若连接，且满足，．问此时四边形又是什么形状？并请说明理由． 19．如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 20．如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点． （1）求证：四边形BDEF是菱形； （2）若AB＝12cm，求菱形BDEF的周长． 21．如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 22．已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点． （1）求证：； （2）当是的中点时，四边形是什么样的特殊四边形？请证明你的结论． 23．如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出的中点M，N，并测出的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由． 24．如图，一张四边形纸板的两条对角线互相垂直．若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形的四条边上，可怎样剪？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《15.5三角形的中位线》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C C A C C B 题号 11 12 答案 D B 1．B 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质和已知线段数量关系易证BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1． 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2=CE， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值， ∵矩形ABCD中，AB∶AD=2∶1，E为AB的中点， ∴△CBE，△ADE，△BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC， ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°， ∴∠DP2P1=90°， ∴∠DP1P2=45°， ∴∠P2P1B=90°， 即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长， 在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC， ∴BP1=BC， 又PB的最小值是3， ∴AD=BC=3， 故选B． 【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 2．B 【分析】 根据菱形对角线互相垂直且平分可得为直角三角形，结合勾股定理求得，再根据三角形中位线的判断和性质求得为的中位线即可解答； 【详解】解：∵是菱形， ∴和互相垂直且平分， ∴，，为直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴是边的中点， 同理可得是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质；掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 3．A 【分析】根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确． 【详解】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作． 4．D 【分析】延长AM、AN分别交BC于点G 、F，根据等腰三角形三线合一的性质可得， ，，再根据三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】∵的周长为30，， ∴． 延长分别交于点，如图所示， ∵为的平分线，， ∴， ， ∵为的平分线，， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 5．C 【分析】根据中位线定义连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线即可得解． 【详解】解：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 故选择C． 【点睛】本题考查中位线概念，熟记中位线概念是解题关键． 6．C 【详解】分析：根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数． 详解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC．     ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．     ∵∠MPN=130°，∴∠PMN==25°．     故选C． 点睛：本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识． 7．A 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 8．C 【分析】先正确书写出三角形中位线的证明过程再进行排序． 【详解】先延长到点F，使，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴②，即， ∴③四边形是平行四边形， ∴①， ∴④，且， ∴正确的证明顺序为：②→③→①→④， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线的证明过程是解题关键． 9．C 【详解】当与底边平行的中位线长为3时，底边长为6，腰长为10，三角形的周长为26；当与底边平行的中位线长为5时，底边长为10，腰长为6，三角形的周长为22，故选C. 10．B 【分析】根据中点的定义可得AD、AF的长，根据三角形中位线的性质可得DE、EF的长，即可求出四边形ADEF的周长． 【详解】∵，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴AD=2，AF=，DE、EF为△ABC的中位线， ∴EF=2，DE==， ∴四边形ADEF的周长=2+2+=9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 11．D 【分析】根据三角形中位线定理得到DF∥AC，EF∥AB，得到四边形ADFE是平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点， ∴DF、EF是△ABC的中位线， ∴DF∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴∠DFE＝∠A＝65°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 12．B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，然后勾股定理求得，进而根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵、分别是、的中点 ∴． 故选：B． 13．71米/71m 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵点C、D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴米． 故答案为：71米． 14． 【分析】利用等腰三角形三线合一，以及三角形的中位线定理，求出，利用勾股定理，求出，进而求出，利用即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键． 15．18 【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点， ∴DF＝AB＝8， ∵EF＝1， ∴DE＝9， ∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝18， 故答案为18 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16．4cm 【详解】∵点D是边AB的中点，DE∥BC， ∴DE是△ABC的中位线. ∵BC=8cm， ∴DE=8÷2=4cm. 17． 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，E是，的中点，， ∴， 故答案为：． 18．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF且DE=GF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，DG∥AO，DG=AO，然后求出DG⊥GF，DG=GF，再根据邻边垂直且相等的平行四边形是正方形解答． 【详解】（1）证明：、是、的中点， 且， 、是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：、分别是、的中点， ，， 又，， ，， 四边形正方形． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键． 19．（1）见解析；（2）EF=；（3）． 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可； （3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题． 【详解】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝CF； （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD＝＝， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝； （3）过点D作DH⊥BC于H， ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DH＝DC＝， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 20．（1）证明见解析；（2）24cm. 【分析】（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可． （2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点， ∴DE∥AB，EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形， 又∵DE=AB，EF=BC，且AB=BC， ∴DE=EF， ∴四边形BDEF是菱形； （2）解：∵AB=12cm，F为AB中点， ∴BF=6cm， ∴菱形BDEF的周长为6×4=24cm． 【点睛】本题的关键是判断四边形BDEF是菱形．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 21．（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论． 【详解】解：（1）如图，AF平分， （2）∵，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵AF平分，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理． 22．（1）详见解析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见解析 【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可； (2)根据菱形的判定解答即可． 【详解】(1)∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点， ∴FH∥BE，，BF＝FC， ∴∠CFH＝∠FBG，FH＝BG， ∴△BGF≌△FHC； (2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形． 当E是AD的中点时， AE＝ED， ∵四边形是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D=90， ∴△ABE≌△DCE， ∴BE＝CE， ∵BE＝2FH，CE＝2FG， ∴FH＝FG =， ∴EH＝HF＝FG＝GE， ∴四边形EGFH是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答． 23．用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长，解答见详解． 【分析】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，利用中位线性质可得DE=，MN=，可得AB=2MN=4DE即可． 【详解】解：用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB， ∵点D、E分别为CM，CN的中点， ∴DE=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， 又∵点M，N分别为的中点， ∴MN=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， ∴AB=2MN=4DE． ∴只要测量出DE长便可求AB． 【点睛】本题考查三角形中位线性质在生活中运用，掌握三角形中位线性质是解题关键． 24．见解析 【分析】如图，分别取，，，的中点E，F，G，H，依次连接，，，．根据三角形的中位线性质和垂线定义得出．，，然后根据有三个角是直角的四边形是矩形证明解答即可． 【详解】解  如图，分别取，，，的中点E，F，G，H，依次连接，，，，沿四边形的各条边剪，就能剪出符合要求的矩形．下面给出证明． ∵是的一条中位线， ∴． ∵， ∴． ∵是的中位线， ∴， ∴，即． 同理，，． ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质、垂线定义、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，能运用三角形的中位线性质解决问题是解答的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$