第9章中心对称图形——平行四边形（求线段问题）专项练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 第9章中心对称图形——平行四边形 （求线段问题） （综合练习） 【典型例题】 【例1】如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 【例2】如图，在平行四边形 中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【例3】 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，分别以F、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，，，则的长为 ___________． 【例4】如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 _____． 【例5】如图，在平行四边形中，点分别在边上，且四边形为正方形，若平行四边形的面积为15，．求的长． 【例6】如图，平行四边形的对角线相交于点，直线经过点与，相交于点E，F，于点，于点，则与是否相等？请说明理由： 【举一反三】 【变式1】如图，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，AE⊥CD，垂足为点E，则AE的长为（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 5 【变式2】如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（　　） A. B. 4 C. D. 5 【变式3】如图，在四边形ABCD中∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是9，则DP的长是________. 【变式4】长方形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则________． 【变式5】如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【变式6】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【巩固练习】 1. 如图，在中，是对角线与的交点，，若，，则的长是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 2.如图，平行四边形的周长为30，，那么的长度是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 3.如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为的中点，则的长度为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 4.如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5.如图，中，，D，E，F分别是，，的中点．若，则的长为____． 6.如图，菱形的对角线、相交于点，于点，，，则的长为 ． 7.如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是___________． 8.如图，在正方形中，，、分别为，的中点，连接，，、分别为、的中点，连接．则的长为 ． 9.如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长． 10.如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 11.如图，将一张矩形纸片沿折叠，使落在点处，且，． （1）图①中，若点落在边上，求的长度； （2）图②中，若点为的中点，的延长线交于点，则的长度为_______． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF． （1）求证：CG＝CE； （2）判断四边形CGFE的形状，并证明； （3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】B 【例2】如图，在平行四边形 中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【例3】 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，分别以F、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，，，则的长为 ___________． 【答案】8 【例4】如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 _____． 【答案】2.5 【例5】如图，在平行四边形中，点分别在边上，且四边形为正方形，若平行四边形的面积为15，．求的长． 【答案】在平行四边形中，， 四边形为正方形， ， 平行四边形的面积为15，， ， 解得， 即正方形的边长为， ， ． 【例6】如图，平行四边形的对角线相交于点，直线经过点与，相交于点E，F，于点，于点，则与是否相等？请说明理由： 【答案】，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【举一反三】 【变式1】如图，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，AE⊥CD，垂足为点E，则AE的长为（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【变式2】如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（　　） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【变式3】如图，在四边形ABCD中∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是9，则DP的长是________. 【答案】3 【变式4】长方形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则________． 【答案】5.8cm 【变式5】如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【答案】四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【变式6】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】（1）∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【巩固练习】 1. 如图，在中，是对角线与的交点，，若，，则的长是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】A 2.如图，平行四边形的周长为30，，那么的长度是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 3.如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为的中点，则的长度为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 4.如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5.如图，中，，D，E，F分别是，，的中点．若，则的长为____． 【答案】1 6.如图，菱形的对角线、相交于点，于点，，，则的长为 ． 【答案】 7.如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是___________． 【答案】 8.如图，在正方形中，，、分别为，的中点，连接，，、分别为、的中点，连接．则的长为 ． 【答案】 9.如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长． 【答案】∵菱形的对角线、相交于点，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴． 10.如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ． 11.如图，将一张矩形纸片沿折叠，使落在点处，且，． （1）图①中，若点落在边上，求的长度； （2）图②中，若点为的中点，的延长线交于点，则的长度为_______． 【答案】（1）矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， ； （2）解：连接， 矩形，，， ，，， 点为的中点， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF． （1）求证：CG＝CE； （2）判断四边形CGFE的形状，并证明； （3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度． 【答案】（1）∵AE平分∠CAB ∴∠CAE＝∠BAE ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90° ∴∠CEG＝∠AGD＝∠CGE ∴CG＝CE （2）四边形CGFE是菱形 理由如下： ∵GF∥BC ∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE ∴∠AGC＝∠AGF 又∵∠CAE＝∠BAE，AG＝AG ∴△AGC≌△AGF（ASA） ∴CG＝FG ∴CE∥FG且CE＝FG ∴四边形CEFG是平行四边形 又∵CG＝CE， ∴四边形CEFG是菱形． （3）∵△AGC≌△AGF ∴AC＝AF＝3cm， ∴BF＝2AF＝6cm，AB＝9cm， ∴BC＝＝6cm ∵四边形CGFE是菱形 ∴EF∥CG，且CD⊥AB ∴EF⊥AB， 设CE＝EF＝x， 在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2， ∴x2+36＝（6﹣x）2， 解得x＝ ∴CE＝CG＝cm 又∵∠ACB＝90°，且CD⊥AB， ∵S△ABC＝×AC×BC＝AB×CD ∴CD＝＝2cm ∴DG＝CD﹣CG＝2﹣＝cm ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$