第9章中心对称图形——平行四边形（求角度问题） （综合练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 第9章中心对称图形——平行四边形 （求角度问题） （综合练习） 【典型例题】 【例1】如图，在中，，则的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 【例2】如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（　　） A. 45° B. 40° C. 35° D. 30° 【例3】如图，在平行四边形中，过点C作，交的延长线于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于_______． 【例5】如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则的度数是_________． 【例6】如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数． 【举一反三】 【变式1】如下图，□ABCD中，∠A比∠D大40°，则∠C等于（ ） A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 【变式2】如图，点是菱形的边上一点，且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【变式3】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【变式4】如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为________． 【变式5】如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______． 【变式6】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点. （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【巩固练习】 1.如图，已知，绕着点A逆时针旋转后能与重合，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 2.如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BD=BE，则∠E的大小为（　　） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 3.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 55° D. 65° 4.如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　） A. 55° B. 75° C. 65° D. 60° 5.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是_________度． 6.如图，中，，绕点B顺时针旋转一定的角度得到，若点C恰好在线段上，，则的度数为________． 7.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，已知，，则______°． 8.如图，在▱ABCD中，E是边BC上一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°，则∠D=____°． 9.如图，在中，的平分线交于点E，若，求、的度数． 10.如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 11.在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD＝AF； （2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形 ADCF 为正方形； ②连接 DF，当∠ACB＝ °时，四边形 ABDF 为菱形． 12.如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，． （1）若，求度数； （2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由； （3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，在中，，则的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 【答案】A 【例2】如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（　　） A. 45° B. 40° C. 35° D. 30° 【答案】D 【例3】如图，在平行四边形中，过点C作，交的延长线于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于_______． 【答案】130° 【例5】如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则的度数是_________． 【答案】111° 【例6】如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数． 【答案】在菱形中，， ，， 于点，于点， ， 在和中，， ． 【举一反三】 【变式1】如下图，□ABCD中，∠A比∠D大40°，则∠C等于（ ） A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】C 【变式2】如图，点是菱形的边上一点，且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式3】如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【变式4】如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为________． 【答案】 【变式5】如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______． 【答案】 【变式6】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点. （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）∵四边形矩形， ∴，， 由旋转性质，得：，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， 在和中， ， ∴， （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的度数为． 【巩固练习】 1.如图，已知，绕着点A逆时针旋转后能与重合，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 2.如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BD=BE，则∠E的大小为（　　） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 【答案】B 3.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 55° D. 65° 【答案】A 4.如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　） A. 55° B. 75° C. 65° D. 60° 【答案】B 5.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是_________度． 【答案】120． 6.如图，中，，绕点B顺时针旋转一定的角度得到，若点C恰好在线段上，，则的度数为________． 【答案】 7.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，已知，，则______°． 【答案】 8.如图，在▱ABCD中，E是边BC上一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°，则∠D=____°． 【答案】56 9.如图，在中，的平分线交于点E，若，求、的度数． 【答案】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴． 10.如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 【答案】∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 11.在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD＝AF； （2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形 ADCF 为正方形； ②连接 DF，当∠ACB＝ °时，四边形 ABDF 为菱形． 【答案】（1）∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， ∵AD=CD=BD， ∵点E为AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵∠AEF=∠DEB， ∴△AEF≌△DEB(AAS)， ∴AF=BD， ∴AD=AF； (2)①当∠ACB=45°时，四边形ADCF为正方形； ∵AD=AF， ∴AF=CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是菱形， 要使四边形ADCF是正方形， 则∠DCF=90°， ∴∠ACD=∠ACF=45°； ②当∠ACB=30°时，四边形ABDF为菱形； 由(1)得AF=BD，AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， 要使四边形ABDF为菱形， ∴AB=BD， 又∵AD =BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∴∠ACB=30°． 故答案为：45，30． 12.如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，． （1）若，求度数； （2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由； （3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：当变化时，的大小不变，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：线段与的数量关系为，理由如下： 过C作交延长线于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 由（2）知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$