6.1平面向量的概念 题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

【6.1平面向量的概念】 【思维导图】 【题型一：平面向量的概念与表示】 【题型二：向量的模长】 【题型三；零向量与单位向量】 【题型四；相等向量】 【题型五；共线向量（平行向量）】 知识点分析 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小称为向量的模，向量的模记作。这一概念区分了向量与数量，数量只有大小没有方向。例如温度、长度等是数量，而位移、力等是向量。 0. 零向量：长度为的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的。在很多向量问题中，零向量是特殊情况，需要特别考虑，例如在判断向量平行时，零向量与任意向量平行。 0. 单位向量：长度等于个单位长度的向量叫做单位向量。对于任意非零向量，与它同方向的单位向量为。单位向量常用于表示向量的方向。 0. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定零向量与任意向量平行。这里要注意平行向量不一定在同一条直线上，只要方向相同或相反即可。比如在平行四边形中，对边表示的向量就是平行向量。 0. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相等向量可以经过平移后重合，与它们的位置无关。在判断向量是否相等时，要同时考虑模和方向两个因素。 0. 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量的相反向量记作，与互为相反向量，且。 要点诠释 1. 准确把握向量的两个要素：大小和方向是向量的本质特征。在判断向量相关命题时，要从这两个方面入手。例如判断两个向量是否相等，就看它们的大小是否相等以及方向是否一致。 0. 重视零向量的特殊性：零向量的方向任意，这使得它在很多向量关系中有特殊地位。如在向量平行的判定中，因为零向量与任意向量平行，所以在考虑向量平行问题时，不能忽略零向量的情况，否则容易出错。 0. 理解单位向量与原向量的关系：单位向量是为了突出向量的方向而引入的概念。对于一个非零向量，其单位向量是将原向量的模变为，方向不变得到的。通过单位向量，可以更方便地研究向量的方向问题。 0. 明确平行向量与共线向量的等同性：平行向量和共线向量是同一概念的不同表述，它们强调的是向量方向之间的关系。在解决几何图形中向量关系问题时，利用平行向量（共线向量）的性质，可以建立不同向量之间的联系。 0. 注意相等向量与相反向量的区别和联系：相等向量和相反向量都要求长度相等，区别在于方向，相等向量方向相同，相反向量方向相反。它们都反映了向量之间一种特殊的关系，在向量运算和几何问题中经常用到。 【题型一：平面向量的概念与表示】 1．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）． A． B． C． D． 2．（20-21高一下·江苏无锡·期中）分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 二、多选题 3．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列物理量中，不是向量的是（ ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 4．（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 5.（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 四、解答题 6．（21-22高一·湖南·课后作业）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【题型二：向量的模长】 1．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）． A． B． C． D．与不能比较大小 二、解答题 2．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点. (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 三、判断题 7．（2022高一·全国·专题练习）如果 ，那么.（ ） 【题型三；零向量与单位向量】 1．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（ ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（ ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 3．（20-21高一下·广东汕尾·阶段练习）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（19-20高二上·上海嘉定·阶段练习）与反向的单位向量为 ． 6．（20-21高一下·上海·课后作业）若为单位向量，，则可用表示 . 【题型四；相等向量】 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（ ） A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（ ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 5．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 6．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【题型五；共线向量（平行向量）】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．（2023高二·全国·专题练习）下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 6．（2023高一·全国·专题练习）下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 7．（21-22高一下·全国·课后作业）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 . 8．（22-23高一·全国·课后作业），，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是 ． 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ） A．与同向 B． C．且 D． 4．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （ ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 二、多选题 6．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A．若向量与不相等，则 B．若，则向量 C．若向量与不共线，则与都是非零向量 D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 三、填空题 9．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 四、解答题 10．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方. （1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）； （2）求向量的模. 2024-2025学年高一数学重难点题型归纳 2 学科网（北京）股份有限公司 $$【6.1平面向量的概念】 【思维导图】 【题型一：平面向量的概念与表示】 【题型二：向量的模长】 【题型三；零向量与单位向量】 【题型四；相等向量】 【题型五；共线向量（平行向量）】 知识点分析 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小称为向量的模，向量的模记作。这一概念区分了向量与数量，数量只有大小没有方向。例如温度、长度等是数量，而位移、力等是向量。 0. 零向量：长度为的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的。在很多向量问题中，零向量是特殊情况，需要特别考虑，例如在判断向量平行时，零向量与任意向量平行。 0. 单位向量：长度等于个单位长度的向量叫做单位向量。对于任意非零向量，与它同方向的单位向量为。单位向量常用于表示向量的方向。 0. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定零向量与任意向量平行。这里要注意平行向量不一定在同一条直线上，只要方向相同或相反即可。比如在平行四边形中，对边表示的向量就是平行向量。 0. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相等向量可以经过平移后重合，与它们的位置无关。在判断向量是否相等时，要同时考虑模和方向两个因素。 0. 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量的相反向量记作，与互为相反向量，且。 要点诠释 1. 准确把握向量的两个要素：大小和方向是向量的本质特征。在判断向量相关命题时，要从这两个方面入手。例如判断两个向量是否相等，就看它们的大小是否相等以及方向是否一致。 0. 重视零向量的特殊性：零向量的方向任意，这使得它在很多向量关系中有特殊地位。如在向量平行的判定中，因为零向量与任意向量平行，所以在考虑向量平行问题时，不能忽略零向量的情况，否则容易出错。 0. 理解单位向量与原向量的关系：单位向量是为了突出向量的方向而引入的概念。对于一个非零向量，其单位向量是将原向量的模变为，方向不变得到的。通过单位向量，可以更方便地研究向量的方向问题。 0. 明确平行向量与共线向量的等同性：平行向量和共线向量是同一概念的不同表述，它们强调的是向量方向之间的关系。在解决几何图形中向量关系问题时，利用平行向量（共线向量）的性质，可以建立不同向量之间的联系。 0. 注意相等向量与相反向量的区别和联系：相等向量和相反向量都要求长度相等，区别在于方向，相等向量方向相同，相反向量方向相反。它们都反映了向量之间一种特殊的关系，在向量运算和几何问题中经常用到。 【题型一：平面向量的概念与表示】 1．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量. 【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量. 故选：C. 2．（20-21高一下·江苏无锡·期中）分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【分析】由图形一一列出可得答案. 【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共8个． 故选：C． 二、多选题 3．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列物理量中，不是向量的是（ ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 4．（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【答案】④ 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是既有大小，又有方向的量，它不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的. 则只有④正确， 故答案为：④ 四、解答题 6．（21-22高一·湖南·课后作业）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可. 【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： . 【题型二：向量的模长】 1．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 二、解答题 2．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点. (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图： （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【答案】/ 【详解】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解. 【解答】如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：，所以边上的中线向量的模为. 三、判断题 7．（2022高一·全国·专题练习）如果 ，那么.（ ） 【答案】错误 【分析】根据向量的知识确定正确答案. 【详解】向量不能比较大小，所以错误. 故答案为：错误. 【题型三；零向量与单位向量】 1．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（ ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 2．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（ ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 3．（20-21高一下·广东汕尾·阶段练习）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念进行分析即可. 【详解】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确， 故选：C． 4．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，计算即得． 【详解】由题意，． 故选：C． 二、填空题 5．（19-20高二上·上海嘉定·阶段练习）与反向的单位向量为 ． 【答案】 【分析】反向单位向量即为，代入即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：. 6．（20-21高一下·上海·课后作业）若为单位向量，，则可用表示 . 【答案】 【分析】根据单位向量的模和的倍数关系即可得到答案. 【详解】∵为单位向量,∴,又∵,∴, 故答案为: . 【题型四；相等向量】 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（ ） A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误， 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】结合正方形可判断A,D项错误；再根据向量既有大小又有方向的特征排除B项，利用相等向量的定义确定C项正确. 【详解】 对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误； 对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误； 对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确； 对于D，如上图中，，但，故D错误. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（ ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 5．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 6．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示： （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【题型五；共线向量（平行向量）】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【分析】利用向量模的性质判断A，利用向量的终点性质判断B，举反例判断C，D即可. 【详解】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【分析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 4．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 5．（2023高二·全国·专题练习）下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【答案】①④ 【分析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行. 【详解】①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量； ②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量； ③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线. 故答案为：①④ 6．（2023高一·全国·专题练习）下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【答案】1 【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤. 【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，根据共线向量的定义可知，②正确； 对于③，若，则四点可能共线，故③错； 对于④，若，只能说明，的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. ∴正确的命题有1个. 故答案为：1. 7．（21-22高一下·全国·课后作业）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 . 【答案】梯形 【分析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案. 【详解】在四边形ABCD中，因为，所以， 又，所以四边形ABCD的形状是梯形. 故答案为：梯形 8．（22-23高一·全国·课后作业），，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是 ． 【答案】矩形 【分析】由向量关系得到对角线互相平分且相等，进而可得四边形ABCD的形状. 【详解】由已知，， 则且共线反向，且共线反向， 则四边形ABCD为平行四边形， 又，对角线相等， 所以四边形ABCD为矩形. 故答案为：矩形. 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ） A．与同向 B． C．且 D． 4．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （ ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 二、多选题 6．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A．若向量与不相等，则 B．若，则向量 C．若向量与不共线，则与都是非零向量 D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 三、填空题 9．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 2024-2025学年高一数学重难点题型归纳 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C D ABD ABD ABC 1．B 【分析】结合共线向量的定义，分别判断条件①②③④下与是否共线，由此可得结论. 【详解】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 2．B 【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得. 【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 3．A 【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可. 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 4．C 【分析】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：当时，，但，得不出，故A错误； 对于B：若，则与没有关系，故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则和不能比较大小，故D错误． 故选：C． 5．D 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 6．ABD 【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可； 【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确； 对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确； 对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确； 对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确， 故选：ABD. 7．ABD 【分析】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，若，则不一定有， 比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上， 所以这两个向量不一定共线，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误. 故选：ABD. 8．ABC 【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 9．120 【分析】根据且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案. 【详解】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 $$