专题10 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题10 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类 一、距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 二、高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 三、角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. （一） 距离问题 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 题型1：距离问题 1．（2025高三·河北·学业考试）如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为 米． 2．（2025高三·河北·学业考试）如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国月考）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离． 4．（2025高三·全国月考）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（    ） A．60米 B．130米 C．150米 D．300米 5．（2025高一·江苏无锡月考）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．    6．（2025·辽宁抚顺模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，． (1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离； (2)求的值． 7．（2025高三·北京·期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km. （二） 高度问题 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 题型2：高度问题 8．（2025高二·陕西咸阳·期中）如图，小明同学在山坡上处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得公路上两点的俯角分别为，且.若山坡高为（点在同一水平面），汽车从点到点历时，则这辆汽车的速度为 .（结果精确到整数，参考数据：） 9．（2025高三·山东东营月考）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东方向上，测得塔顶P的仰角为 ，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为 ． 10．（2025高一·四川成都·期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为 m 11．（2025高三·新疆乌鲁木齐月考）高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线） 测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为和在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为 （   ）（参考数据： ） A． B． C． D． 12．（2025高三·全国月考）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动张角，转动点距离地面的高度为4米．当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为 米． 13．（2025高三·河北承德·期中）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为 m．（参考数据：，结果保留整数） 14．（2025高三·河北邢台月考）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.    （三） 角度问题 根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 题型3：角度问题 15．（2025高一·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 16．（2025高一·全国·随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.      (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 17．（2025高一·河南周口·期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 18．（2025高一·浙江·期中）如图，A，B是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. (1)求B，C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 19．（2025高三·广东广州月考）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    20．（2025高一·河南平顶山月考）位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船在处求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向 由余弦定理得 ， 于是， 由正弦定理得，所以，由图可知为锐角 又，所以 故乙船航行的距离为，方向为南偏西． 21．（2025高一·全国月考）在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行．此时，风向是北偏东方向，风速是；水的流向是正东方向，流速是．若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 方向，大小为 ． （四） 其他应用 正余弦定理应用广泛。判断三角形形状时，能借边角关系定类型；解多边形问题，可分割成三角形求解；处理三角形中最值范围问题，通过定理结合三角函数性质，挖掘条件找临界，就能巧妙化解难题， 题型4：判断三角形形状 22．（2025高二·吉林月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 23．（2025高一·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 24．（2025高一·北京·期末）在中， 则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 25．（2025高一·重庆·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 26．（2025高一·江苏无锡月考）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 27．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）在中，已知，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 28．（2024·安徽模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 题型5：解多边形问题 29．（2024·山东聊城模拟预测）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 30．（2024·河北模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 31．（2025高三·全国月考）在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 32．（2025高一·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 33．（2025高一·福建·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（ ） A．6km B．km C．km D．7km 题型6：三角形中最值范围问题 34．（2025高三·全国月考）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 35．（2025高一·福建三明月考）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 36．（2025高三·河北张家口月考）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 38．（2024·陕西模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 39．（2025高一·福建泉州月考）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 40．（2025高三·安徽马鞍山月考）如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 题型7：正余弦定理的实际应用 41．（2025高一·北京月考）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 42．（2025高一·福建厦门月考）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 43．（2025高三·上海月考）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 44．（2025高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 一、单选题 1．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 7．（2025高三·全国·专题练习）地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期末）甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（2025高三·全国·专题练习）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 12．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 13．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（   ） A．的面积最大值为 B．的取值范围为 C．的值可能为3 D．的最小值为 三、填空题 15．（15-16高二上·山东泰安·阶段练习）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 16．（2025高三下·全国·专题练习）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁（）和临秀亭（）两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的两地之间的距离，某同学任意选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案： ①测量；②测量；③测量． 其中一定能唯一确定两地之间的距离的所有方案的序号是 ． 17．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则 ． 18．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 19．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 四、解答题 20．（24-25高三下·江西·阶段练习）在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 21．（2025高三·全国·专题练习）从条件①；②；③中任选一个作为已知，补充在下面的问题中，在中，已知，______，求面积的最大值． 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？ 23．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 24．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． (1)求岸线上点A与点B之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题10 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类 一、距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 二、高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 三、角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. （一） 距离问题 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 题型1：距离问题 1．（2025高三·河北·学业考试）如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为 米． 【答案】 【分析】通过三角形内角和计算出，再利用正弦定理即可求出答案. 【解析】根据已知条件，，米， 所以，利用正弦定理，则（米）． 故答案为：. 2．（2025高三·河北·学业考试）如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理直接求解即可. 【解析】由余弦定理得：， . 故选：C. 3．（2025高一·全国月考）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离． 【答案】千米 【分析】根据正弦定理和余弦定理求解即可. 【解析】解：因为，， 所以，为等腰直角三角形，， 因为， 所以，在中，，由正弦定理得， 所以，在中，，，， 所以，由余弦定理得， 所以，即之间的距离千米. 4．（2025高三·全国月考）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（    ） A．60米 B．130米 C．150米 D．300米 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【解析】由题设，在中， 由余弦定理， 所以米. 故选：B. 5．（2025高一·江苏无锡月考）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．    【答案】 【分析】利用四点共圆及正余弦定理计算即可. 【解析】由于四点共圆， 所以， 由正弦定理可知， 在中，， 解之得， 显然不合题意. 故答案为：. 6．（2025·辽宁抚顺模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，． (1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，利用正弦定理可得，展开化简即可得其正切值. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 故． 故A，C两点间距离为． （2）设，则由题意可知，，． 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 又，所以， 解得，所以． 7．（2025高三·北京·期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km. 【答案】 【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可. 【解析】， ， ，，， 中，由正弦定理，有，则， 中，由余弦定理， 有， 得，即，两点间的距离为. 故答案为：. （二） 高度问题 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 题型2：高度问题 8．（2025高二·陕西咸阳·期中）如图，小明同学在山坡上处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得公路上两点的俯角分别为，且.若山坡高为（点在同一水平面），汽车从点到点历时，则这辆汽车的速度为 .（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】21 【分析】先计算出，再由余弦定理求解出，即可求解. 【解析】由题意，AB＝，AC＝， 由余弦定理可得 这辆汽车的速度为. 故答案为：21. 9．（2025高三·山东东营月考）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东方向上，测得塔顶P的仰角为 ，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为 ． 【答案】 【分析】解直角求得，在中利用正弦定理，即可求得答案. 【解析】由题意知在 中，,故,即， 解得 ， 在 中， ， 则，而 ， 所以， 所以， 即船的航行速度是每小时千米， 故答案为： 10．（2025高一·四川成都·期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为 m 【答案】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【解析】由题，作出空间图形如下， 则有, 因为到达B处仰角为45°，所以， 在中，， 由正弦定理可得解得m， 所以m， 故答案为: . 11．（2025高三·新疆乌鲁木齐月考）高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线） 测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为和在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为 （   ）（参考数据： ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件先用正弦定理求得，再在中，运用正弦定理可以得到，最后再一次运用正弦定理可得，由两角和的正弦公式结合即可求解. 【解析】如图所示： 由题意，，， 因为在中，有，，， 所以， 在中，运用正弦定理有， 即，化简得， 又因为在中，有，，， 所以有， 因为， 所以， 由题意， 所以， 综上所述：镇国寺塔的高度约为. 故选：C. 12．（2025高三·全国月考）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动张角，转动点距离地面的高度为4米．当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为 米． 【答案】 【分析】通过解直角三角形来求得. 【解析】如图，过点作，由题意的：，， ， ， 在中， ， ， 米． 故答案为： 13．（2025高三·河北承德·期中）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为 m．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】42 【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合的正弦值，求出答案. 【解析】如图，，因为，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 其中， 故， 又，且，所以， 又该同学身高，所以塔高约为. 故答案为：42. 14．（2025高三·河北邢台月考）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.    【答案】26.4 【分析】应用正弦定理得出BD,最后由正切计算即可. 【解析】在中，，， 则米.在中，， 则米. 故答案为：26.4. （三） 角度问题 根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 题型3：角度问题 15．（2025高一·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【解析】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 16．（2025高一·全国·随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.      (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】(1)航行速度为 (2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析 【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解； （2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解. 【解析】（1）   如图设小艇的速度为，时间为相遇， 则由余弦定理得:, 叩:, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为. （2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30 ， 则由(1)可得: , 即:,解得:， 此时, 此时，在中，， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇. 17．（2025高一·河南周口·期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 【答案】(1)海里/时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 【分析】（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离与航行的时间的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度； （2）由余弦定理得，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案. 【解析】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则 ， 当时，（海里），此时（海里/时）. ∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （2）设小艇与轮船在处相遇，则， 故，又， ∴，即，解得. 又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为. 此时，在△中，有海里， 故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 18．（2025高一·浙江·期中）如图，A，B是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. (1)求B，C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】(1)60海里 (2)方向是南偏东，需要的时间为小时. 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【解析】（1）依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为60海里. （2）依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救搜船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ 19．（2025高三·广东广州月考）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    【答案】 2 / 【分析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，即可得到，，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解得到x，从而得到，再利用正弦定理得到. 【解析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.        根据余弦定理得，解得， 故，. 根据正弦定理得，解得， 故答案为：2；. 20．（2025高一·河南平顶山月考）位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船，需要海上加油位于灯塔处北偏东有一与灯塔相距的乙船在处求乙船前往支援处的甲船航行的距离和方向 【答案】乙船航行的距离为，方向为南偏西 【分析】根据题设条件画出示意图，利用余弦定理可得，再利用正弦定理，可求得，即得解． 【解析】解：根据题意，画出示意图如图， 由余弦定理得 ， 于是， 由正弦定理得，所以，由图可知为锐角 又，所以 故乙船航行的距离为，方向为南偏西． 21．（2025高一·全国月考）在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行．此时，风向是北偏东方向，风速是；水的流向是正东方向，流速是．若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 方向，大小为 ． 【答案】 【分析】画出示意图：由，，可得，即可得救生艇在洪水中漂行的速度的方向；再由余弦定理可求出救生艇在洪水中漂行的速度. 【解析】如图，，，， 所以， 所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东， 由余弦定理知， 解得：． 故答案为：；. （四） 其他应用 正余弦定理应用广泛。判断三角形形状时，能借边角关系定类型；解多边形问题，可分割成三角形求解；处理三角形中最值范围问题，通过定理结合三角函数性质，挖掘条件找临界，就能巧妙化解难题， 题型4：判断三角形形状 22．（2025高二·吉林月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形. 【解析】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 23．（2025高一·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理可得答案. 【解析】由余弦定理得， 所以， 可得，所以是直角三角形. 故选：C. 24．（2025高一·北京·期末）在中， 则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用余弦定理推理判断即得. 【解析】在中，，则， 由余弦定理得，即，而， 于是，即， 所以是等边三角形. 故选：C 25．（2025高一·重庆·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理及辅助角公式结合三角形中角的范围计算即可. 【解析】根据正弦定理知 ， 所以， 在三角形中， 所以， 则，即A为直角. 故选：B 26．（2025高一·江苏无锡月考）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【解析】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 27．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）在中，已知，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【解析】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以, 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 28．（2024·安徽模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【解析】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 题型5：解多边形问题 29．（2024·山东聊城模拟预测）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【解析】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B 30．（2024·河北模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【解析】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 31．（2025高三·全国月考）在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式可得，进而在两个三角形中同时利用余弦定理，可得，结合式子平方即可求解.. 【解析】在中，， 中，， 两式相加得，则， 两边平方后得，① 根据余弦定理可知，， 即，得， 两边平方后，，② ①式两边乘以4后得， ③， ，即， 当时，的最大值为， 所以四边形的面积取得最大值为. 故选：C 32．（2025高一·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【解析】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 33．（2025高一·福建·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（ ） A．6km B．km C．km D．7km 【答案】A 【分析】先在中利用余弦定理求出，则可得，再利用同角三角函数的关系求出，然后在中利用正弦定理可求出结果. 【解析】由题意得，在中，， 由余弦定理得, 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，，由正弦定理得 由正弦定理得， 所以. 故选：A 题型6：三角形中最值范围问题 34．（2025高三·全国月考）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【解析】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 35．（2025高一·福建三明月考）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【解析】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 36．（2025高三·河北张家口月考）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定理及三角函数的性质即可得解. 【解析】由， 得，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得， 由，得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 37．（2025高一·安徽阜阳·期中）已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，由余弦定理结合三角形面积公式可得的面积的表达式，结合二次函数性质可求出其最大值，即可求得的面积最大值，从而求解. 【解析】由题意为的中点，设，则， 则在中，, 则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为， 上高的最大值为． 故选：D． 38．（2024·陕西模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【解析】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 39．（2025高一·福建泉州月考）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【解析】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 40．（2025高三·安徽马鞍山月考）如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段上取点E使得，结合已知可得，进而有，设，，再结合相关三角形面积、线段的数量关系得，进而得，即可求最大值. 【解析】线段上取点E使得，又， 则，故， 所以，则， 设，则. 由上易知，且，而， 所以，则， 结合及，且， 由三角形内角性质，所以， 综上，. 故选：C    【点睛】关键点点睛：线段上取点E使得，利用向量加减、数乘整理题设条件为，进而得到相关三角形面积、线段的数量关系，结合及三角形面积公式求最值. 题型7：正余弦定理的实际应用 41．（2025高一·北京月考）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果. 【解析】连接,如图: 由已知条件得:, 因为甲船的速度是每小时海里, 所以, 则是等边三角形, 所以, 因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处, 所以, 则, 即, 所以乙船航行的速度是海里/小时, 即乙船每小时航行海里. 故选:D. 42．（2025高一·福建厦门月考）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【答案】(1)千米 (2) 【分析】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【解析】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. 【点睛】思路点睛：解决本题关键在于熟练掌握正余弦定理及其面积公式基础上抓住已知量和需求量的联系建立等量关系；解决三角形问题核心思想是边角互化，最值或取值范围问题常用理论：基本不等式或边化角利用三角函数值的有界性去解决. 43．（2025高三·上海月考）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到0.1米）；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，长约米，长约米 【分析】 由余弦定理可计算的长，进而求出的面积以及周长，分情况讨论点在上，在上，在上，列方程组计算可求出结果. 【解析】由余弦定理，，可得：，解得：. 所以，周长为20. 由余弦定理可知：，， 则，， 若点分别在上，设，于是有，则，该方程组无解. 若点分别在上，设，于是有，则，解得. 若点分别在上，设，，于是有，则，该方程组无解. 综上，存在上点和上点，其中长约7.2米，长约2.8米满足题意. 44．（2025高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【解析】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 一、单选题 1．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法1，将作为与的夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案； 方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算； 方法3，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦定理，余弦定理结合三角形内角和定理判断每个方案都可以求解距离即可. 【详解】对于①，利用内角和定理先求出， 再利用正弦定理解出； 对于②，直接利用余弦定理即可解出； 对于③，先利用内角和定理求出， 再利用正弦定理解出，故A正确. 故选：A. 4．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得到，求出，由三角形面积公式得，，，根据，求出，由基本不等式，得到，从而求出面积最小值. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【分析】利用和角的正切公式推得判断A；利用正弦定理边化角推理判断BCD. 【详解】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 7．（2025高三·全国·专题练习）地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线AC与BC的交点C即地震的位置，由此构建三角形，解三角形即可. 【详解】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 8．（24-25高二上·重庆·期末）甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】通过电线杆高度以及仰角的正切值来计算甲、乙两人到电线杆底部的距离，进而求出两人在地平面上的最远距离. 【详解】设甲到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，甲测得电线杆顶部仰角为. 根据正切函数，对于仰角，. 所以米.   同理，设乙到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，乙测得电线杆顶部仰角为. 对于仰角，. 所以米.   则两人在地平面上的最远距离为甲到电线杆底部的距离与乙到电线杆底部的距离之和. 即米. 故选：C. 9．（2025高三·全国·专题练习）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长DC与AB的延长线交于点E，根据角的关系得，，设，在中由余弦定理得列式得，从而有，即可求解. 【详解】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E. 由已知得，， 则，则，， 设，则， 又，则在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又因为，所以. 故选：C 10．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】如图，由题可知. 在中，由余弦定理可得海里， 所以乙船至少需要航行的海里数为. 故选：A. 二、多选题 11．（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 12．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 13．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【分析】根据三角形的边角关系可得是正三角形，进而根据余弦定理可得，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD. 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（   ） A．的面积最大值为 B．的取值范围为 C．的值可能为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再逐一分析判断各个选项即可. 【详解】因为为锐角三角形，所以，解得， 同理可得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， A选项，，A错误； B选项，由余弦定理得，即， 所以， 所以 ， 因为，所以，B正确； C选项，因为， 而，所以的值可能为3，C正确； D选项， ，当且仅当时取等号， 但， 而，所以， 故，等号取不到，D不正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、填空题 15．（15-16高二上·山东泰安·阶段练习）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 【答案】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 16．（2025高三下·全国·专题练习）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁（）和临秀亭（）两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的两地之间的距离，某同学任意选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案： ①测量；②测量；③测量． 其中一定能唯一确定两地之间的距离的所有方案的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据各项给定的条件，结合正余弦定理判断边长解的个数，即可得答案. 【详解】对于①，由正弦定理可得，则， 若且为锐角，则， 此时有两解，则也有两解，此时也有两解； 对于②，若已知，则确定，由正弦定理，知唯一确定； 对于③，若已知，由余弦定理得，则唯一确定． 故答案为：②③ 17．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理，先计算出边的长度，然后利用面积等于与的面积的和计算角平分线的长度，或者求出各个角的大小，用正弦定理求出的长度. 【详解】由图可知，记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：． 方法二：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由正弦定理可得，， 解得：，因为， 所以，又， 所以，即． 故答案为：. 18．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 19．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得到，设，由正弦定理表示出，再把的面积表示出来，最后转化为三角函数值域问题，利用三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，，所以，设，则， 在中由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以，显然当，即时，最大值为. 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高三下·江西·阶段练习）在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与三角函数的二倍角公式可得三角形的形状，利用正弦定理以及三角函数恒等变换可得三角函数，根据三角函数的性质，可得答案； （2）由正弦定理整理函数解析式，利用换元法化简函数，根据单调性可得答案. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，所以，从而，则的外接圆直径为． 由，得，， 得． 因为且，所以且， 所以，即的取值范围为． （2）． 设，则，所以． 又是上的增函数，从而在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为． 21．（2025高三·全国·专题练习）从条件①；②；③中任选一个作为已知，补充在下面的问题中，在中，已知，______，求面积的最大值． 【答案】选择见解析， 【分析】若选①，得到，，由余弦定理和基本不等式求出，得到面积最大值； 若选②，由诱导公式和正弦二倍角公式得到，解得，由余弦定理和基本不等式求出，求出面积最大值； 若选③，由正弦定理得到，由余弦定理求出，结合基本不等式求出，求出面积最大值； 【详解】若选择条件①； 由条件可得，即，， 又，，故，即， 由余弦定理得，所以， 由，即，可得， 当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为； 若选择条件②； 由条件可得， 因为，所以，又， 所以， 又，故，， 故，解得， 由余弦定理得， 所以，由，得， 当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为． 若选择条件③； 由条件可得， 由正弦定理得， 由余弦定理得，又，故， 故，由，得， 当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为． 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？ 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用行列式的定义可得，即可利用二倍角公式以及赋值角公式化简，利用周期公式求解得解， （2）根据可求解，即可利用面积公式求解，由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题知 ∴ ∵的最小正周期为，∴，∴ ∴ （2）∵为锐角，∴ ∴，∴， ∵，∴ ∴当且仅当时，取最小值4 23．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 24．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． (1)求岸线上点A与点B之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【答案】(1)千米 (2)万元 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米． （2）在中， ， 则， 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$