7.4 解一元一次不等式组 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

7.4 解一元一次不等式组 一、一元一次不等式组的定义 每个不等式中含有同一个未知数，且未知数的次数是1的不等式组，叫做一元一次不等式组。 二、一元一次不等式组的解集 不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 三、解一元一次不等式组的步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集。 2.将各不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分，即为不等式组的解集。 四、注意事项 1.在解不等式时，要注意不等号的方向和变化，如同乘同除负数时，不等号要变号。 2.在数轴上表示不等式的解集时，要注意标出原点、定边界和方向。大于（>或≥）向右，小于(<或≤)向左。>、<画空心圆，≥、≤画实心圆。 五、一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组在实际问题中有着广泛的应用，例如： 1.分配问题：在资源有限的情况下，如何合理分配资源，使得某种效益最大化或成本最小化。这通常涉及到设立不等式组，通过求解不等式组找到最优解。 2.比较问题：在比较两个或多个量的大小时，可以通过设立不等式组来描述这些量的关系，进而求解出满足条件的解集。 3.方案选择问题：在面临多种方案选择时，可以通过设立不等式组来描述各种方案的约束条件和目标函数，通过求解不等式组找到最优方案。 4.决策分析：在决策分析中，不等式组可以用来描述决策变量的约束条件和目标函数，通过求解不等式组找到最优决策。 巩固课内例1:一元一次不等式组的应用——污水处理问题 1．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表： 型 型 价格（万元/台） 12 10 处理污水量（吨/月） 240 200 年消耗费（万元/台） 1 1 经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，则可供该企业选择的购买方案有（    ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设购买型设备台，（其中为自然数）则型设备为台，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买型设备台，（其中为自然数）则型设备为台，依题意得：， 解得：， ∵为自然数， ∴x取0，1，2， ∴有三种方案． 故选：C 2．武汉东湖高新开发区某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 月污水处理能力（吨/月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨． 设购买A种型号的污水处理设备x台，可列不等式组_________． 【答案】． 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用． 设购买A种型号的污水处理设备x台，则B种型号的污水处理设备为台，找不等关系，A型和B型的价钱总和不能超过89万元，即小于等于89万元，，A型和B型处理污水的吨数不低于1380吨，即大于等于1380元，建立不等关系列不等式组． 【详解】设购买A种型号的污水处理设备x台，则B种型号的污水处理设备为台， 由题意得： 故答案为：． 3．某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1)企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台 (2)购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱 【分析】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． （1）设购买A型设备x台，则B型设备台，根据“企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨”列出不等式组进行求解即可； （2）求出当和时所需费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买A型设备x台，则B型设备台， 由题意得， 解得 ∵，且x为正整数， ∴x可取3和4， 故当购买A型设备3台，则B型设备5台；购买A型设备4台，则B型设备4台． 答：企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台． （2）解：当时，（万元） 当时，（万元） ∵， ∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱． 巩固课内例2:解一元一次不等式组(移项) 1．不等式组，的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：， 故选：B． 2．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴此不等式组的解集为：， 故答案为：． 3．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：， 由，解得， 由，解得， ∴. 巩固课内例3:解一元一次不等式(去括号) 1．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 分别解两个不等式，求出解集公共部分即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：，解得：， ∴原不等式组的解集为：， 故选：D． 2．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】求出每个不等式的解集，取公共部分即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得 ，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 3．解不等式组：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为：． 巩固课内例4:解一元一次不等式(去分母) 1．不等式组的解集是（　　） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则确定出解集即可． 【详解】解：， 解①得： ， 解②得：， ∴不等式组无解， 故选：D． 2．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为： 故答案为： 3．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 类型一、一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 3．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】见解析 【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式； （2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义； （4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义. 【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； (2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； (3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； (4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； (5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 类型二、求一元一次不等式组的解集 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组.首先分别求出不等式组中各个不等式的解集，由此进一步分析得出不等式组的解集即可. 【详解】解：由不等式可得：， 由不等式可得：， ∴原不等式组解集为：， 故选：C. 2．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 3．解不等式组 解不等式①，得________________． 解不等式②，得_______________． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上． 则原不等式组的解集为_______________ 【答案】；；图见解析； 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再利用数轴直观地表示不等式的解集，确定出公共部分即为不等式组的解集． 按照解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集分别表示在数轴上，如图． 则原不等式组的解集为． 类型三、列不等式组 1．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 2．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】解：根据与和的倍是非正数得：， 根据的倍与的差小于得：， 因此可以列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是根据不等关系列出不等式． 3．张勇从家到学校的路程为3 600m，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，如果用x表示他的速度（单位：m/min），求x的取值范围．试列出能反映上面关系的不等式． 【答案】30≤≤40（90≤x≤120） 【详解】试题分析：早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，即所用的时间是大于等于30分钟并且小于等于40分钟，设速度是x米/分，则时间是分钟，根据以上的不等关系，就可以列出不等式． 试题解析：由题意得，30≤≤40． 即能反映上面关系的不等式为：30≤≤40（90≤x≤120）. 点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，关键是理解要在8点30分到40分之间到达学校，找到所求的量的等量关系． 类型四、一元一次不等式组的解在数轴上表示出来 1．若不等式组的解集为，则在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组解题的表示方法，根据不等式组的解集在数轴上表示即可， 【详解】解：不等式组的解集为在数轴上表示为和3之间的部分且不等于 故选：C ． 2．若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示解集，掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴写出解集即可． 【详解】解：由数轴可知这个不等式组的解集为， 故答案为：． 3．解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 【答案】图形见解析，不等式组的非负整数解为：、 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解答本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集即可解答． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示不等式的解集如下： 不等式组的解集为：， 不等式组的非负整数解为：、． 类型一、一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解决此题的关键． 【详解】解：解不等式得，, 解不等式得，, ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：,即不等式组有个整数解， 故选：． 2．不等式组的整数解有 个． 【答案】5 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4，共5个． 故答案为：5． 3．解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】；整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 类型二、一元一次不等式组与方程组结合 1．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 3．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 类型三、一元一次不等式组有无解 1．若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键． 求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有解，， ∴． ∴． 故选：B． 2．关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解不等式①，得，解不等式②，得不等式组无解，． 3．已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． （1）分别解出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出a的取值范围即可； （2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解， ， 解得： （2）原不等式组有解， ∴不等式组的解集， 又∵不等式组有且只有5个整数解， ， 解得， 故答案为：． 类型一、不等式组的整数解求参 1．若关于的不等式组恰有4个整数解，则字母的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式有意义的条件，解答即可， 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解有， ∴， 故选C． 2．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 3．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了解不等式组、一元一次不等式组的整数等知识点，根据题意判断出的取值范围是解题关键． （1）先求出不等式组的解集为，再根据不等式组的最小整数解为，列出关于a的不等式求解即可； （2）根据不等式组的解集为以及所有整数解的和为14可得整数解为，再列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为， ∴，解得． 类型二、不等式组中的的新定义 1．对，定义新的运算：规定；若关于正数的不等式组恰有四个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是理解题目所给新定义的运算法则． 根据题意进行分类讨论：当时，当时，分别列出不等式组求解即可． 【详解】解：当时， 由得：， 由①得：（舍去）， 当时， 由得：， 由③得：， 由④得：， ∵原不等式组恰有四个整数解， ∴， ∴， 故选∶C． 2．定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，根据已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键． 根据已知条件得一元一次不等式组，解一元一次不等式组求得解集，即可求得． 【详解】根据题意得， ∴ 解得． 故答案为：． 3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：___________；（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组． （1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2）由题意，知，①或，② 由①，得； 由②，得该不等式组无解； 的取值范围为 类型三、一元一次不等式组的应用 1．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设人数为个，则书有本，根据前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设有人，则书有本． 由题意，得， 解得． 因为为整数， 所以， 所以， 即书有21本，人数为5个． 故选：C． 2．某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 【答案】48 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设联系汽车x辆，则参加次活动的团员志愿者有名，根据“如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之取其正整数值即可得出结论． 【详解】解：：设联系汽车辆，则参加此次活动的团员志愿者有名． 根据题意，得 解得． 因为为正整数， 所以． 所以参加此次活动的团员志愿者有（名）． 故答案为：48． 3．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． (1)求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ (2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ (3)为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元 (2)共有8种购买方案 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减中的无关型问题，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得； （2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组即可得； （3）设购买总费用为元，则，再根据（2）中的所有购买方案费用相同可得含的项的系数等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元． （2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶， 由题意得：， 解得， 为正整数， 可能为23，24，25，26，27，28，29，30， 答：共有8种购买方案． （3）解：设购买总费用为元， 则， ∵（2）中的所有购买方案费用相同， ， ． 1．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和解不等式的依据．分别求出每个不等式组的解集，再结合数轴判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴知不等式组的解集为， A选项不等式组的解集为； B选项不等式组的解集为； C选项不等式组的解集为； D选项不等式组无解． 故选：B． 2．若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组求解，掌握不等式的性质，不等式组取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质求解，再结合不等式组的取值方法，结合不等式组的取值方法即可求解． 【详解】解：， 由①得，， ∵关于的不等式组的整数解共有个， ∴， ∴的值可以是， 故选：C ． 3．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟知解一元一次不等式组及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 4．满足的整数是 ． 【答案】，1/， 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，不等式的意义，解题的关键是理解题意，根据，写出满足条件的整数即可． 【详解】解：满足的整数是，1． 故答案为：，1． 5．若关于的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据解不等式，因不等式组无解，故，再写出满足条件的的一个值即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【详解】解不等式，得．因不等式组无解，故， 所以的值可以是 故答案为：（答案不唯一） 6．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 7．求满足不等式组的正整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得正整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴故正整数解为：，． 8．解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别求出各个不等式的解集，再求其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 故不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练运用以上知识式解题的关键． 9．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 10．已知关于x的不等式组 (1)当时，这个不等式组的解集为_______； (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，求出结果即可 （2）先解不等式组求得，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为、0，据此得，解之即可． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组的解集为； （2）解：解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴不等式组的整数解为、0， 则， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4 解一元一次不等式组 一、一元一次不等式组的定义 每个不等式中含有同一个未知数，且未知数的次数是1的不等式组，叫做一元一次不等式组。 二、一元一次不等式组的解集 不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 三、解一元一次不等式组的步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集。 2.将各不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分，即为不等式组的解集。 四、注意事项 1.在解不等式时，要注意不等号的方向和变化，如同乘同除负数时，不等号要变号。 2.在数轴上表示不等式的解集时，要注意标出原点、定边界和方向。大于（>或≥）向右，小于(<或≤)向左。>、<画空心圆，≥、≤画实心圆。 五、一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组在实际问题中有着广泛的应用，例如： 1.分配问题：在资源有限的情况下，如何合理分配资源，使得某种效益最大化或成本最小化。这通常涉及到设立不等式组，通过求解不等式组找到最优解。 2.比较问题：在比较两个或多个量的大小时，可以通过设立不等式组来描述这些量的关系，进而求解出满足条件的解集。 3.方案选择问题：在面临多种方案选择时，可以通过设立不等式组来描述各种方案的约束条件和目标函数，通过求解不等式组找到最优方案。 4.决策分析：在决策分析中，不等式组可以用来描述决策变量的约束条件和目标函数，通过求解不等式组找到最优决策。 巩固课内例1:一元一次不等式组的应用——污水处理问题 1．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表： 型 型 价格（万元/台） 12 10 处理污水量（吨/月） 240 200 年消耗费（万元/台） 1 1 经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，则可供该企业选择的购买方案有（    ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 2．武汉东湖高新开发区某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 月污水处理能力（吨/月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨． 设购买A种型号的污水处理设备x台，可列不等式组_________． 3．某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 巩固课内例2:解一元一次不等式组(移项) 1．不等式组，的解集是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是 ． 3．解不等式组：． 巩固课内例3:解一元一次不等式(去括号) 1．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是 ． 3．解不等式组：． 巩固课内例4:解一元一次不等式(去分母) 1．不等式组的解集是（　　） A． B． C． D．无解 2．不等式组的解集是 ． 3．解不等式组：． 类型一、一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 3．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 类型二、求一元一次不等式组的解集 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．不等式组的解集是 ． 3．解不等式组 解不等式①，得________________． 解不等式②，得_______________． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上． 则原不等式组的解集为_______________ 类型三、列不等式组 1．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 2．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是 ． 3．张勇从家到学校的路程为3 600m，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，如果用x表示他的速度（单位：m/min），求x的取值范围．试列出能反映上面关系的不等式． 类型四、一元一次不等式组的解在数轴上表示出来 1．若不等式组的解集为，则在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 ． 3．解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 类型一、一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．不等式组的整数解有 个． 3．解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 类型二、一元一次不等式组与方程组结合 1．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 3．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 类型三、一元一次不等式组有无解 1．若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 3．已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 类型一、不等式组的整数解求参 1．若关于的不等式组恰有4个整数解，则字母的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 3．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 类型二、不等式组中的的新定义 1．对，定义新的运算：规定；若关于正数的不等式组恰有四个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：___________；（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 类型三、一元一次不等式组的应用 1．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 2．某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 3．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元． (1)求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？ (2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？ (3)为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系． 1．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 4．满足的整数是 ． 5．若关于的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数的值可以是 ． 6．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 7．求满足不等式组的正整数解． 8．解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 9．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 10．已知关于x的不等式组 (1)当时，这个不等式组的解集为_______； (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$