3—4 中心对称、简单的图案设计 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

3—4 中心对称、简单的图案设计 一、中心对称 1.定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2.性质： a.关于中心对称的两个图形能够完全重合。 b.关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 二、中心对称图形 1.定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 2.注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点。常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等。 三、关于原点对称的点的坐标 1.特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P'(-x,-y)。 2.应用：关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，具有中心对称的所有性质。 四、利用旋转设计图案 1.方法：由一个基本图案可以通过旋转等方法变换出一些复合图案。利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）设计图案。 2.应用：通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，可以设计出美丽的图案。 巩固课内例1:对称中心 1．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ． 3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 巩固课内例2:中心对称图形 1．下列乐谱符号，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在“线段、平行四边形、圆、等边三角形”中，是轴对称图形，不是中心对称图形的 ． 3．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 巩固课内例3:图案形成的过程 1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 2．如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 3．如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 类型一、成中心对称 1．在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 2．在平面直角坐标系中点，则点关于原点成中心对称的点坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 类型二、关于原点对称的坐标 1．已知点，，则点P关于原点对称的点在（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是 (1)画出将向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的． (2)画出关于原点中心对称的，并直接写出点坐标． 类型三、画出两个图形的对称中心 1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点， (1)画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． (2)画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 类型一、中心对称图形求长度 1．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为 ． 3．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)线段的长为______； (2)画出绕原点O点顺时针旋转的图形，并写出、、的坐标； (3)求的面积． 类型二、中心对称图形求角度 1．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为 °．    3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图①中，作关于点O对称的，并写出点的坐标为________； (2)在图②中，作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 类型三、在方格纸补成中心对称图形 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（   ） A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处 2．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 3．图①、图②均为的正方形网格，点、、在格点上．在图①、图②中确定格点，并作出以点、、、为顶点的四边形，使图①中的四边形为轴对称图形，图②中的四边形为中心对称图形．（各作一个即可） 类型一、中心对称图形求周长 1．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为 cm． 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)请你画出关于原点对称的； (3)在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______． 类型二、中心对称图形求面积 1．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．1 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 类型三、中心对称图形的规律 1．已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 3．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 类型四、设计图案 1．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 2．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分）拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为 . 3．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 1．中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 3．如图，已知等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且，连接．则下列关于图形变换的说法正确的是（   ） A．可看作是由绕点B顺时针方向旋转所得 B．和关于过点B且垂直于的直线成轴对称 C．可看作是沿方向平移所得 D．和关于点B成中心对称 4．平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 5．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 6．如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ． 7．如图，已知坐标系中． (1)画出关于原点O对称的； (2)直接写出各顶点的坐标． 8．画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 9．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的图形，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，并写出点的坐标为______； (2)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出点的坐标． 10．我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…    (1)观察以图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数 图1 1 7 图2 2 12 图3 3 17 图4 4 ___________ 猜想：在图（n）中，特征点的个数为___________（用n表示）； (2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心的坐标为，则___________；图（2023）的对称中心的横坐标为___________．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3—4 中心对称、简单的图案设计 一、中心对称 1.定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2.性质： a.关于中心对称的两个图形能够完全重合。 b.关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 二、中心对称图形 1.定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 2.注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点。常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等。 三、关于原点对称的点的坐标 1.特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P'(-x,-y)。 2.应用：关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，具有中心对称的所有性质。 四、利用旋转设计图案 1.方法：由一个基本图案可以通过旋转等方法变换出一些复合图案。利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）设计图案。 2.应用：通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，可以设计出美丽的图案。 巩固课内例1:对称中心 1．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，连接对应点，与的交点D即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点D，点D即为对称中心，由图可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质，理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键，也是本题的难点． 3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键. （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，，． （2）解：如图，为所求作的三角形； （3）解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 故答案为：． 巩固课内例2:中心对称图形 1．下列乐谱符号，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．在“线段、平行四边形、圆、等边三角形”中，是轴对称图形，不是中心对称图形的 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在“线段、平行四边形、圆、等边三角形”中，是轴对称图形，不是中心对称图形的等边三角形， 故答案为：等边三角形． 3．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【分析】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 巩固课内例3:图案形成的过程 1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 2．如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 【答案】 平移 【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心. 【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到； 根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A. 故填平移；A. 【点睛】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心. 3．如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【答案】见解析． 【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明． 【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下， 先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°； ：向下平移1个单位长度； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一） 【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键． 类型一、成中心对称 1．在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ，两点关于原点对称． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中点，则点关于原点成中心对称的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是中心对称，关于原点对称的点的坐标的知识，熟练掌握两对称点的坐标之间关系是解题的关键；分别找出已知点A的横、纵坐标的相反数，即可作答． 【详解】解：依题意，关于原点成中心对称的点坐标为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)否 【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （3）依次连接交于一点，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称． 类型二、关于原点对称的坐标 1．已知点，，则点P关于原点对称的点在（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．根据已知条件推知x、y同号，则点P位于第一或第三象限，然后由关于原点对称的点的坐标特征进行解答． 【详解】解：∵点，， ∴x、y同号， ∴点P位于第一或第三象限， ∴点P关于原点对称的点在第一或第三象限． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是 (1)画出将向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的． (2)画出关于原点中心对称的，并直接写出点坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查平移作图，中心对称作图，解题关键是熟练掌握平移的坐标变换特征：“左减右加”；关于原点对称的坐标变换特征：横坐标与横向坐标互为相反相成数，纵坐标与纵坐标互为相反数． （1）将向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位，根据得到，从而在坐标系中描出点、、，再顺次连接这三点即可； （2）根据得到，从而在坐标系中描出点、、，再顺次连接这三点即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求，． 类型三、画出两个图形的对称中心 1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选C 【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点， (1)画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． (2)画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，平移作图， （1），将三个顶点绕点O顺时针旋转得到点，再依次连接得到三角形，然后得出坐标即可； （2），按照要求平移，作出图形即可； （3），连接三对对应点，对应点连线的交点即为答案． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示，点D为对称中心，其坐标为． 故答案为：． 类型一、中心对称图形求长度 1．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再根据中心对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵B与关于A中心对称， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确求出是解题的关键． 3．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)线段的长为______； (2)画出绕原点O点顺时针旋转的图形，并写出、、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析，，， (3) 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由旋转的性质作图，然后根据关于原点对称的点坐标的特征作答即可； （3）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由旋转的性质作图如下即为所求； ∴、、的坐标分别为，，； （3）解：由题意知，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转作图，关于原点对称的点坐标的特征，坐标与图形等知识．熟练掌握勾股定理，旋转作图，关于原点对称的点坐标的特征，坐标与图形是解题的关键． 类型二、中心对称图形求角度 1．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， 故选：D． 2．如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为 °．    【答案】90 【分析】分别考虑“正放的图形”和“斜放的图形”旋转多少度能与自身重合即可求解． 【详解】解：由图可知：“正放的图形”和“斜放的图形”旋转之后能与自身重合 故该图形绕着中心顺时针旋转后能与自身完全重合 故答案为： 【点睛】本题考查中心对称的概念．掌握相关内容是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图①中，作关于点O对称的，并写出点的坐标为________； (2)在图②中，作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)点的坐标为，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的基本作图要领画图即可． （2）把绕点A旋转90°，得到的顶点在格点上． 本题考查了尺规作图，熟练掌握中心对称图形，旋转作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据中心对称图形的基本作图要领，作图如下： 则即为所求，且点的坐标为， 故答案为：． （2）根据题意，作图如下： 则即为所求． 类型三、在方格纸补成中心对称图形 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（   ） A．点M处 B．点N处 C．点P处 D．点Q处 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：当放入白子的位置在点M处时，是中心对称图形． 故选：A． 2．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 3．图①、图②均为的正方形网格，点、、在格点上．在图①、图②中确定格点，并作出以点、、、为顶点的四边形，使图①中的四边形为轴对称图形，图②中的四边形为中心对称图形．（各作一个即可） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质性质．本题应先思考什么四边形是轴对称图形，再画，比如可画一个等腰梯形，或画一个平行四边形． 【详解】解：如图．（答案不唯一） 类型一、中心对称图形求周长 1．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】试题分析：如图， ， ∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，∴AB=A′B′，∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽，∴①②的周长和等于原长方形的周长，∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②，其余的图形的周长不用测量无法判断．故选A． 考点：1．中心对称；2．应用题；3．综合题． 2．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为 cm． 【答案】13． 【分析】由题意可知O、E、F均为中点，则由OE、OF、EF均为△ABC的中位线，据此进行解答. 【详解】解：由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线， ∴OE=，OF=，EF=， ∴△OEF的周长=， 故答案为13cm 【点睛】本题考查了三角形中位线的知识. 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)请你画出关于原点对称的； (3)在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点即为所求． 由图可知，点的坐标为． 故答案为：． 类型二、中心对称图形求面积 1．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， 正方形的边长分别为3和2， 面积分别为9和4， 正方形和正方形的对称中心都是点， ． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情形点在线段上，点在线段上，点在点上方分别求解即可． 【详解】解： 如图，分以下三种情况讨论： 点在线段上，时，的面积等于面积的一半． 此时； 点在线段上，时，的面积等于面积的一半， 此时点； 点在点上方，由题意与关于点对称， ∴． 综上所述，点的坐标是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内中点坐标的求法、中线平分三角形的面积、中心对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 类型三、中心对称图形的规律 1．已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质等知识；根据是边长为2的等边三角形，可得，同理可求得，，从而总结出点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是，即可求解． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵与关于点成中心对称， ∴，即， ∵与关于点成中心对称， ∴，即， 以此类推，点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是， ∴ ∴的顶点的坐标是， 故答案为：． 3．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)、的坐标分别为，； (3)；或或或． 【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标； （2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标； （3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， 同理可得：，，，， 即点、的坐标分别为，， 故答案为：，； （3）解：，，，，，，，； 的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环， ， 的坐标与的坐标相同，即； ∴， 设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D， 当时，点D坐标为或； 当时， ∵， ∴，点D坐标为； 当时，点D在的垂直平分线上， ∴点D与原点重合，点D坐标为； 综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键． 类型四、设计图案 1．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】由题意画出图形可求解。 【详解】B选项拼图如下： C选项拼图如下： D选项拼图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用． 2．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分）拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为 . 【答案】10 【分析】如图所示可将正六边形分为12个全等的直角三角形，阴影部分由两个直角三角形组成，剩余部分由10个直角三角形组成，故此可求得剩余部分的面积． 【详解】如图所示： 将正六边形可分为12个全等的直角三角形， ∵拼成的四边形的面积为2，即阴影部分的面积为2， ∴每一个直角三角形的面积为1， ∴剩余部分的面积为10． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查的是图形的剪拼，将正六边形分割为12个全等的直角三角形是解题的关键． 3．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照轴对称的意义得出答案即可； （2）按照轴对称的定义和中心对称的定义设计，所设计的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【详解】（1）解：（1）参考图案，如图所示： （2）（2）参考图案，如图所示： 【点睛】本题考查利用轴对称或中心对称设计图案，关键是理解轴对称和中心对称的定义． 1．中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查图形设计，根据长方形、等腰直角三角形、平行四边形性质设计图形即可得到答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、用四个相同的等腰直角三角形可以组成长方形，如图所示：    B、用四个相同的等腰直角三角形可以组成三角形，如图所示：    C、用四个相同的等腰直角三角形不可以组成梯形，符合题意； D、用四个相同的等腰直角三角形可以组成平行四边形，如图所示：    故选：C． 3．如图，已知等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且，连接．则下列关于图形变换的说法正确的是（   ） A．可看作是由绕点B顺时针方向旋转所得 B．和关于过点B且垂直于的直线成轴对称 C．可看作是沿方向平移所得 D．和关于点B成中心对称 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质，中心对称的性质，根据通过平移，旋转，翻折得到的图形一定是全等图形，进行判断即可． 【详解】解：∵等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴可看作是由绕点B顺时针方向旋转所得；故A选项正确； ∵， ∴，形状和大小不一样，故B，C，D选项的说法均错误； 故选:A． 4．平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键：关于某点中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．在直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反，即：点关于原点对称的点的坐标为． 根据关于原点对称的点的坐标特征即可直接得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 5．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 6．如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，勾股定理等知识，利用中心对称的性质得，，，，利用直角三角形30度角的性质求出，，进而可得，再由勾股定理可得结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 7．如图，已知坐标系中． (1)画出关于原点O对称的； (2)直接写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中心对称的相关知识点，熟记相关结论是即可． （1）确定各顶点关于原点O的对称点即可完成作图； （2）关于原点O对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）解：由（1）中图可得： 8．画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；和 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形． 【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； （2）解：如图所示    【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键． 9．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的图形，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，并写出点的坐标为______； (2)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查作图旋转变换，一次函数的应用，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）连接交轴于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，． 故答案为：； （2）解：如图，点即为所求． 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 令，可得， ． 10．我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…    (1)观察以图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数 图1 1 7 图2 2 12 图3 3 17 图4 4 ___________ 猜想：在图（n）中，特征点的个数为___________（用n表示）； (2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心的坐标为，则___________；图（2023）的对称中心的横坐标为___________．    【答案】(1)22， (2)， 【分析】（1）根据正六边形的性质，结合图形规律，转化为代数的形式． （2）求得对称中心的坐标，探究规律问题. 【详解】（1）解：由题意，可知图1中特征点有7个； 图2中特征点有12个，； 图3中特征点有17个，； 所以图4中特征点有个； 由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：； 故答案：22，． （2）解：如图，过点作轴于点M，    又∵正六边形的中心角，， ∴， ∴， ∴， ∴图（1）总的横坐标为， 图（2）总的横坐标为， 图（3）总的总横坐标为， ∴图（n）的总横坐标为， ∴图（2023）共有2023个正六边形，总的横坐标是， ∴图（2023）的对称中心的横坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查知识点：新运算、图形规律、正六边形性质、等边三角形性质；把图形信息转化为代数形式的信息是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$