8.6.2 空间角与空间距离-2024-2025学年高一下学期数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 空间角与空间距离 考点一 线面角 【例1-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据正方体性质，平面，就是与平面所成的角， 在中，，， ，和平面所成的角是． （2）连接，与相交于点，连接，如图所示．设正方体的棱长为． 平面，平面，， 又，，，平面，平面， 为斜线在平面上的投影，为和平面所成的角． 在中，，， ．． 直线和平面所成的角为． 【例1-2】（24-25北京）如图，在多面体中，为等边三角形，，，.点为的中点，平面平面； (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）平面平面,且交线为， ,平面，故平面, 平面，故平面平面， 由于平面平面， 为等边三角形，为的中点,故, 平面，故平面， （2）由于平面，平面，故， 平面,平面，故， 由于，,, 故,设到平面的距离为，则，故,故， 设直线与平面所成角为,则， 【一隅三反】 1．（2024·陕西）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取是的中点，连接，如下图所示： 设三棱柱底面边长为，可得， 由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角， 易知，由勾股定理可得， 所以； 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 2．（2024北京 ）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接，如图， 在正三棱柱中，是正三角形，， 底面底面，， 又平面，平面， 为与平面所成角， 平面平面，， 由题意，， 在中，. 故选：A. 3（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【解析】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥， 由，得，则，取的中点，连接，， 则，且，四边形为平行四边形. 因此，又平面，平面， 所以平面.    （2）①由（1）得，， 又等腰梯形的高，其面积， 设到平面距离为，则，得， 而，平面，平面，则平面， 因此点D到平面的距离等于点C到平面的距离， 所以平面. ②在等腰梯形中，过作于，连接，，， 由①知，平面，则是与平面的夹角， ，则， 所以与平面夹角的正弦值. 考点二 面面角 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90°(2)45°． 【解析】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 【一隅三反】 1．（24-25广东清远）在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由于平面平面，且两平面的交线为, ，.,故，因此, 平面，故平面， 平面，故， （2）取的中点为，过作于点，连接, 由于为等边三角形，故, 由于平面平面，且两平面的交线为,平面， 故平面， 平面，故， 又，平面， 故平面，平面，故,因此为二面角的平面角， , 故, 2．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 3．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 考点三 点面距 【例3】（24-25宁夏银川）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）    取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以在中， 根据三角形中位线定理，，且. 已知底面是直角梯形，，，，所以，且. 由此可得，且，所以四边形是平行四边形. 那么. 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，所以平面. （2）因为平面，平面,所以. 在直角梯形中，，， 根据勾股定理可得. 又，，， 所以，则. 因为平面，平面，所以，又，所以平面. 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半. 计算，，则. 设点到平面的距离为，，. 由，即，解得. 所以点到平面的距离. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故, 又底面，底面，故, 平面， 故直线平面 （2）由，可得, 所以, 设到平面的距离为， 则 2．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，E为棱中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：设AC与BD交于点O，连结OE，如图所示： 因为是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点． 又E为中点，可知； 又平面AEC，平面， 所以平面AEC， （2）设点D到平面AEC的距离为d，则由图可知： 在中，，，可得， 由可得， 即， 解得， 即点D到平面AEC的距离为． 3．（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接． 因为底面是菱形，分别为的中点， 所以，，所以． 又，，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为，是的中点，所以． 又，，所以平面． 由题意得是边长为2的等边三角形，且为的中点， 所以， 又，所以． 在中，可得，， 所以． 设点到平面的距离为，则． 因为，所以，解得． 所以点到平面的距离为. 考点四 线面距 【例4】（24-25上海·阶段练习）如图，在正方体中，，求：求直线到平面的距离. 【答案】 【解析】连接交于，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，则点到平面的距离为. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【答案】(1)(2)． 【解析】（1）如图，过点作于点． 由题意知平面，且平面，． 平面，平面，线段的长即为所求． 在中，， 点到平面的距离为． （2），且平面，平面， 平面．点到平面的距离即为所求， 直线到平面的距离为． 2．（2025湖南）已知三棱锥中，平面，，， M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)2 【解析】（1）如图：连接，. 因为平面，所以为所求直线与平面所成的角. 在中：因为，所以， 又为中点，所以. 所以：. （2）因为：平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设为. 则. 又，， 所以. 所以：直线到平面的距离为2. 3．（24-25 四川成都·阶段练习）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点， ∴.点到平面的距离为. ∴平面， ∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.    法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面， ，且， ， ∵， 因为是中点，平面， 所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为， ， ∴，故， ∵平面， ∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 考点五 面面距 【例5】（2023·河南）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    【一隅三反】 1．（2024山东潍坊·期中）如图，四边形是正方形，平面，且. (1)求平面与平面的距离； (2)若，求直线与直线所成的角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【解析】（1）因为四边形是正方形，所以，平面， 平面，所以平面， 因为，同理平面，又， 所以平面平面. 所以点到到平面的距离即为平面与平面的距离. 因为，且为点到到平面的距离， 所以平面与平面的距离为3. （2）如图所示，在上取一点使得，连接，则四边形为平行四边形，所以四边形为平行四边形，所以， 则为直线与直线所成的角， 在中，，由余弦定理可得： . 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 2（2024广东揭阳 ）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 3（2024江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点， 所以，，故为平行四边形， 所以，又E是AA1的中点，易知：， 所以， 正方体中，而，面， 由面，则面，同理面， 又，面，故平面EB1D1平面FBD； （2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离， 而，而，，故△中BD的高为， 所以， 而，到面的距离， 所以，可得， 故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为. 考点六 综合运用 【例6】（2024海南）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 【一隅三反】 1．（2024湖北）三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为. (1)求证：面； (2)求三棱台的体积； (3)问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【解析】（1）连接， 在梯形中，过作交于， 由， 则为等边三角形,则， 四边形为菱形，则， 所以，即， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面， 过作，连接，平面， 平面平面， 则平面， 故几何体的高为， 如图，延长侧棱交于点，作于，连接， 由已知为中点，， 由（1）得，平面， 因为与底面所成角的正弦值为，则余弦值为， ，，， ， 由（1）得，则， 又因为与底面所成角的正弦值为， 所以， 故三棱台体积为. （3）如图， 作交于，过作于，则， 由（2）可得，平面， 则即为二面角的平面角， 又平面，则， 设，则， 则， 由，得，又， 所以， 若，则， 解得，所以，即为中点， 即侧棱上是存在点，使二面角成， 则. 2．（24-25山东）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 3（24-25重庆）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【解析】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 1． 单选题 1．（24-25甘肃）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面，    ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 2．（24-25 北京西城 ）正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接相交于点，取的中点，连接，，， 则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，⊥，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为侧面与底面所成角， 正四棱锥的所有棱长均为2，故， 由勾股定理得， 由， 故. 故选：D 3．（23-24 北京海淀 ）正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】连接，相交于点，则为正方形的中心， 故⊥底面， 取的中点，连接，则，， 故为二面角的平面角，所以， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故选：D 4．（24-25 浙江 ）在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可得是等腰直角三角形，且， 故， 所以, , 设P到直线的距离为h， 则由, 可知, 设所求距离为d， 因， 则， 解得：. 故选：D. 5．（24-25 安徽 ）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接交于，连接， 因为长方体中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以是直线与平面所成的角，所以， 又，所以，由，可得 所以点D到平面的距离为. 故选：A. 6．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 7．（2023·广东）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别取的中点，连接，    根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B 8（2023·湖南长沙 ）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面与平面间的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】A 【解析】】对于A选项，连接、、， 在平行六面体中，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，则，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证且， 因为且，、分别为、的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，故且， 所以，且，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以，平面. 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，所以，平面，A对； 对于B选项，连接、、， 由题意可知，，，则为等边三角形， 所以，，同理可得，故三棱锥为正四面体， 设点在平面内的射影点为点，则为等边的中心， 易知点不在直线上， 若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 但过点作平面的垂线，有且只有一条，矛盾，假设不成立，B错； 对于C选项，连接，则，且， 因为平面，平面，则， 故， 故平面与平面间的距离为，C错； 对于D选项，连接，因为平面， 所以，与平面所成的角为，且， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为，D错. 故选：A. 2． 多选题 9．（2025·全国·模拟预测）设长方体的中心为，点为棱的中点，则点到平面的距离等于（    ） A．点到平面的距离 B．点到平面的距离 C．点到平面的距离的 D．点到平面的距离的 【答案】ACD 【解析】连，取中点，由点为棱的中点，可得，易证平面， 点到平面的距离相等，又线段的中点在平面上， 所以点到平面的距离相等； 因为，所以点到平面的距离相等，而，， 且点都在平面上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的； 过作交于，延长至点，使得，延长至点， 使得，则三点共线，，且，所以， ，且点都在平面上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， 即点到平面的距离等于点到平面的距离的. 故选：ACD 10．（2025·广东）已知正四面体的棱长为，则（    ） A． B．与的距离为 C．二面角的正弦值为 D．正四面体的体积为 【答案】ABD 【解析】A.把棱长为的正四面体放在棱长为的正方体中， 因为，所以，A选项正确； 取中点，，所以与的距离为，B选项正确； C.设中点为T，连接，因为则， 则为所求二面角的平面角，， 所以，所以正弦值为，所以C错. D. ，所以D对. 故选：ABD. 11．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．所成的角为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】对A：在△中，因为分别为的中点，故//， 又面面，故//面，故A正确； 对B：因为△为等腰直角三角形，又为中点，故可得； 又//，故； 又面面，故； 又面，故面； 又面，故，故直线所成的角为，故B错误； 对C：记，连接，如下所示： 由B可知，面，故即为所求直线与平面的夹角； 在△中，； 因为面面，故， 则，； 在△中，因为面，面，故， 则△为直角三角形， 故，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确； 对D：连接，如下所示： 由图可知，二面角的平面角和的平面角互补，故先求二面角； 由B可知，面，又面，故， 则即为二面角的平面角； 在直角三角形中，， 故，故二面角的余弦值为， 则二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD. 12．（23-24 山西吕梁·阶段练习）正方体中，，下列说法正确的是（    ） A．直线到平面的距离为1. B．到的距离为. C．点B到直线的距离为 . D．平面到平面的距离为. 【答案】ACD 【解析】对选项A：如图1，平面，平面，， 故直线到平面的距离为1，故A正确； 对选项B：如图2，设，是上下底面的中心，则，， 则平面，平面，故， 平面，平面，故， 是异面直线，的公共垂线段，，故B错误； 对选项C：如图3，连接，作于，平面，平面， 故，直角三角形中： ，，， 故，故C正确； 对选项D：如图4，连接，，平面，平面，故平面， 同理平面，，平面， 故平面平面， 平面，平面，，又， ，平面，故平面， 平面，故，同理可得， ，平面，故平面， 同理平面， 到平面的距离为，则，， 到平面的距离也为， 故两平面的距离为，故D正确； 故选：ACD 3． 填空题 13．（24-25广东）棱长为3的正方体中，点到平面距离为 【答案】 【解析】在正方体中，，， 令点到平面距离为，由，得，解得， 所以点到平面距离为. 14．（24-25云南）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为 【答案】45° 【解析】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 15．（24-25黑龙江）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为 【答案】 【解析】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ，所以， 16．（24-25 ·吉林四平 ）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，.故答案为：. 4． 解答题 17．（2025哈尔滨）如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，点D是线段的中点．求点C到平面的距离． 【答案】 【解析】利用等体积法，， 设点C到平面为，则， 因为所以 ，则， 所以，， 所以，解得：， 即点C到平面的距离为. 18．（24-25湖北）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 19．（24-25甘肃）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为中点，证明见解析 【解析】（1）所以,故， 又，，所以，又，平面, 所以平面， 又平面，所以． （2）设为的中点，过作于，连接， 在中，，为中点，所以， 因为平面平面，且其交线为，又，平面， 所以平面，所以平面， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以，所以， 又，所以， 在中，，所以， 所以二面角的余弦值为． （3）存在的中点使得平面平面，理由如下： 的中点为，所以为的中位线，所以, 又，故,故共面， 因为平面平面，且其交线为，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，      20．（24-25上海）如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥. (1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值； (2)若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）过点作的垂线交于点，交于点，如下图所示： 翻折后仍有， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以为二面角所成的平面角. 由在面上的射影恰好在上得平面， 所以， 由可知，因为， 所以； 又易知， 所以，可得，所以； 所以， 即二面角平面角的余弦值为 （2）过点作的垂线交于点，如下图所示： 设， 由二面角为直二面角可知平面平面， 平面平面，， 又平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 则有， 可得， 又， 所以，； 当时，取到最小值； . 所以，可得，所以 （注：，，由角平分线定理得也可） 则有, ，解得. 即点到平面的距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.2 空间角与空间距离 考点一 线面角 【例1-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 【例1-2】（24-25北京）如图，在多面体中，为等边三角形，，，.点为的中点，平面平面； (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【一隅三反】 1．（2024·陕西）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024北京 ）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 考点二 面面角 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【一隅三反】 1．（24-25广东清远）在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值. 2．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 3．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 考点三 点面距 【例3】（24-25宁夏银川）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 2．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，E为棱中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 3．（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 考点四 线面距 【例4】（24-25上海·阶段练习）如图，在正方体中，，求：求直线到平面的距离. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 2．（2025湖南）已知三棱锥中，平面，，， M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求直线到平面的距离． 3．（24-25 四川成都·阶段练习）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 考点五 面面距 【例5】（2023·河南）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【一隅三反】 1．（2024山东潍坊·期中）如图，四边形是正方形，平面，且. (1)求平面与平面的距离； (2)若，求直线与直线所成的角的余弦值. 2（2024广东揭阳 ）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 3（2024江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 考点六 综合运用 【例6】（2024海南）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【一隅三反】 1．（2024湖北）三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为. (1)求证：面； (2)求三棱台的体积； (3)问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2．（24-25山东）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 3（24-25重庆）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 1． 单选题 1．（24-25甘肃）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25 北京西城 ）正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24 北京海淀 ）正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（   ） A．4 B．2 C． D． 4．（24-25 浙江 ）在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25 安徽 ）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023·广东）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 8（2023·湖南长沙 ）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面与平面间的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 2． 多选题 9．（2025·全国·模拟预测）设长方体的中心为，点为棱的中点，则点到平面的距离等于（    ） A．点到平面的距离 B．点到平面的距离 C．点到平面的距离的 D．点到平面的距离的 10．（2025·广东）已知正四面体的棱长为，则（    ） A． B．与的距离为 C．二面角的正弦值为 D．正四面体的体积为 11．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．所成的角为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 12．（23-24 山西吕梁·阶段练习）正方体中，，下列说法正确的是（    ） A．直线到平面的距离为1. B．到的距离为. C．点B到直线的距离为 . D．平面到平面的距离为. 3． 填空题 13．（24-25广东）棱长为3的正方体中，点到平面距离为 14．（24-25云南）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为 15．（24-25黑龙江）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为 16．（24-25 ·吉林四平 ）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 4． 解答题 17．（2025哈尔滨）如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，点D是线段的中点．求点C到平面的距离． 18．（24-25湖北）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 19．（24-25甘肃）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由． 20．（24-25上海）如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥. (1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值； (2)若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$