8.6.1 空间直线、平面的垂直-2024-2025学年高一下学期数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.1 空间直线、平面的垂直 考点一 异面直线所成角 【例1-1】（24-25重庆秀山）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25上海）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也”，意思是：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【一隅三反】 1．（24-25四川成都）如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 2．（24-25北京）正四面体中，为中点，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点二 线线垂直 【例2-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【例2-2】（23-24河南）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【一隅三反】 1．（23-24上海）空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 2．（2024海南）如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 3．（2025广东）如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 考点三 线面垂直的证明 【例3-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【一隅三反】 1.（2024广东湛江）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，，证明：BD平面    2．（24-25江西景德镇）如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 考点四 面面垂直的证明 【例4-1】（2024陕西）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点. (1)证明： 平面； (2)若四边形是正方形，，求证：平面平面. 【一隅三反】 1．（2024·陕西）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证： (1)平面PAB； (2)平面平面PBC. 2．（2024陕西渭南）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. (1)证明：平面 (2)证明：平面平面； 3（2024河南）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 考点五 判定定理与性质综合运用 【例5-1】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例5-2】（23-24高一下·吉林·期中）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 【一隅三反】 1．（24-25天津）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·河南漯河）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25 上海 ）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 考点六 动点问题 【例6】（2024广东云浮）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【一隅三反】 1．（2024福建福州）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 2．（2024云南大理）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 3．（24-25北京）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1． 单选题 1．（24-25安徽合肥）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 2．（2024湖北）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 3．（2024海南）已知直线、及平面，直线平面，则“直线直线”是“直线平面”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（2024云南）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25甘肃）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 6．（24-25陕西）在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 7．（24-25山东）在正方体中，O为底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 8．（24-25湖南益阳·期末）已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 9．（24-25河南周口）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 10．（24-25浙江宁波）如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（   ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为45° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 11．（2025·广东汕头）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 3． 填空题 12．（24-25辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 13．（24-25 上海·阶段练习）已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 14．（24-25上海·阶段练习）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是 . 4． 解答题 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 15．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，为棱的中点，为棱上的点.证明：； 17．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，为的中点，．证明：． 18．（2024全国·专题练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：； 19．（2025海南）如图，且，，且，且，平面，. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)证明: 20．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 21．（2024湖北）如图，七面体中，菱形所在平面与矩形交于，平面与平面交于直线． (1)求证：； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当为何值时，平面平面？并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 22（2024河南）．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.1 空间直线、平面的垂直 考点一 异面直线所成角 【例1-1】（24-25重庆秀山）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以，所以或其补角是异面直线与所成角， 设正方体棱长为2，则，在等腰中，是中点，所以， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 【例1-2】（24-25上海）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也”，意思是：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】 在CD上取点H使DH=2CH，连接EH，GH，如图所示. 设EF=1，则由题知AD=2，AB=3，DH=2，CH=1. ，底面为矩形，. 又，∴底面为平行四边形，，， 或其补角即为异面直线与所成角. 和是正三角形，为的中点，. 在中，， 由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：. 【一隅三反】 1．（24-25四川成都）如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解析】连接，因为且，    所以四边形为平行四边形， 则可得，所以直线AC与所成的角为或其补角. 在正方体中可知，所以可知. 故选：C 2．（24-25北京）正四面体中，为中点，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，取的中点G,连接,因为分别为的中点， 所以, 所以为异面直线与所成的角， 因为四面体为正四面体，, 过点A作平面,垂足为O，则O为三角形的重心，, 因为,平面,又平面, ,在直角三角形中， ， 故选：C 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，将直三棱柱补成直四棱柱， 其中四棱柱的底面为平行四边形，连接，， 则，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为，，， 且由题意得， 所以，．在中， ，，， 由余弦定理得， 解得(负根舍去)，则， 所以，所以，故C正确. 故选：C 考点二 线线垂直 【例2-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）如图所示，连接，    为正方体，，平面为平行四边形，. 为正方形，，. （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【例2-2】（23-24河南）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，所以AD⊥BC． 【一隅三反】 1．（23-24上海）空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【解析】如图，因为分别为的中点，所以，， 所以为和所成的角. 又，，，所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 2．（2024海南）如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 【答案】见解析 【解析】如图所示：连接.∵四边形为菱形，. 又为直角三角形∴四边形为正方形. 连接交于点O. （或其补角）为异面直线与所成的角. ∵四边形为正方形. 3．（2025广东）如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 【答案】见解析 【解析】如图所示：过点M作交于，连接 则为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为a，计算得到，，， 所以，所以，即. 考点三 线面垂直的证明 【例3-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）平面，平面，． ，． 又，，平面，平面． （2）平面，平面，． ，，，平面，平面． 【一隅三反】 1.（2024广东湛江）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，，证明：BD平面    【答案】证明见解析 【解析】取中点，连，因为，，，， 所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则 得，，故，    因为，，平面， 所以平面 2．（24-25江西景德镇）如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1） 如图，连接，设，连接. 因，，可得，则， 又，则得， 因平面，平面， 故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面平面则， 又平面，故平面. 3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【解析】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得，同理可得：， 且，平面，所以平面. 考点四 面面垂直的证明 【例4-1】（2024陕西）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点. (1)证明： 平面； (2)若四边形是正方形，，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）易知分别为的中点， 是的中位线， ， 平面平面， 平面； （2）底面 平面， 又平面，且， 平面， 又 平面， 四边形是正方形，， 平面， 平面， 又平面平面平面. 【一隅三反】 1．（2024·陕西）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证： (1)平面PAB； (2)平面平面PBC. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）∵底面ABCD为矩形，∴. ∵底面ABCD，底面ABCD ∴. 又∵，平面PAB， ∴平面PAB. （2）∵平面PAB，平面PAB， ∴. ∵，E是PB的中点，∴. 又∵，平面PBC， ∴平面PBC. 又∵平面AEC， ∴平面平面PBC. 2．（2024陕西渭南）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. (1)证明：平面 (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1） 取的中点，连接, 因为，所以, 因为分别是中点，得出 所以四边形是平行四边形， 所以平面,不在平面内, 所以平面. （2）因为平面,平面,, 因为，所以, 所以 因为,所以, 平面,平面, 所以平面,又平面, 所以平面平面. 3（2024河南）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面. 考点五 判定定理与性质综合运用 【例5-1】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：C. 【例5-2】（23-24高一下·吉林·期中）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】如图，长方体中，记平面为.    A项，若，则或. 如：图中设为直线，为直线， 则，但，不满足，故A不正确； B项，由，且，不一定垂直. 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，且，但，不满足，故B不正确； C项，若，，则或， 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，但，不满足，故C不正确； D项，若，，， 由线面平行的性质定理可得，所以D正确. 故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25天津）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·河南漯河）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，两直线平行于同一平面，两直线可能相交，平行，异面，故A错误； 对于B，此时，m有可能在平面内，故B错误； 对于C，此时，m有可能在平面内，故C错误； 对于D，因，，则，故D正确. 故选：D 3．（24-25 上海 ）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】C 【解析】若，则满足，推不出，故A错误； 若，可能，推不出，故B错误； 由 ，必有，所以由可得，由可得， 又，所以，故C正确； 若不相交时，满足，不能推出，故D错误. 故选：C 考点六 动点问题 【例6】（2024广东云浮）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【解析】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 【一隅三反】 1．（2024福建福州）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【解析】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 2．（2024云南大理）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)能，证明见解析 【解析】（1）设为的中点，连接，，如图．    因为为等边三角形，所以， 在菱形中，，为的中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 如图，设为的中点，连接，，，则在中，， 因为平面，平面， 所以平面，在菱形中，， 因为平面，平面，所以平面， 而，平面，， 所以平面平面． 由（1）得平面，而平面， 所以平面平面． 所以平面平面． 3．（24-25北京）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在， 【解析】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，， 又因为N为BC的中点，且ABCD是正方形，则∥，， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB. （2）因为ABCD是正方形，则， 且侧面平面ABCD，侧面平面，平面ABCD， 可知平面，由平面，可得， 且，，平面， 所以平面，由平面，可得， 反之，若，同理可证平面，即可得， 所以等价于， 不妨设，则，可知边上的高为， 由的面积可得，解得， 则，所以在线段PD上是存在一点Q，使得，此时. 1． 单选题 1．（24-25安徽合肥）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解析】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 2．（2024湖北）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 【答案】D 【解析】选项A：如图，取中点，连接,,,， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，,， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D 3．（2024海南）已知直线、及平面，直线平面，则“直线直线”是“直线平面”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】如图：直线平面，直线平面， 所以直线直线，但是直线平面， 所以直线直线不能推出直线平面， 所以“直线直线”不是“直线平面”的充分条件，    如图直线平面，直线平面， 过直线作平面，平面平面， 因为直线平面，直线平面， 所以直线直线，又直线平面，直线平面， 所以直线直线，又直线直线， 所以直线直线， 即直线平面可推出直线直线， “直线直线”是“直线平面”的必要条件，    所以“直线直线”是“直线平面”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2024云南）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与 所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与 所成角的余弦值为. 故选:A. 5．（24-25甘肃）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【解析】因为，，， 且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 由题易知平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面，共5对. 故选：C. 6．（24-25陕西）在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】C 【解析】对于A：由正方体的性质可知， 显然，与不平行，所以与不平行，故A错误； 对于B：由正方体的性质可知，，所以， 由A可知与不平行，且、平面， 所以与不垂直，则与不垂直，故B错误； 对于C：设，则为的中点，连接，又为的中点， 所以，又平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D：若平面，平面，则， 又，所以，又四边形为矩形， 所以四边形为正方形，所以， 又为正方体，所以，显然不满足， 故假设不成立，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：C 7．（24-25山东）在正方体中，O为底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，易得， 在平面中，与不垂直，故与OP不垂直，故A错误，同理，D错误； 在正方体中，平面，平面，所以， 若，则 ,这与矛盾，所以与OP不垂直，故B错误； 因为平面，平面，所以， 又，，可得平面， 又平面，所以，故，C正确． 故选：C 2． 多选题 8．（24-25湖南益阳·期末）已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】BCD 【解析】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：BCD 9．（24-25河南周口）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【答案】ABC 【解析】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误. 故选：ABC. 10．（24-25浙江宁波）如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（   ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为45° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 【答案】BC 【解析】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图， 则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角， 设，则， 在中，， 所以，故A错误，B正确； 对于C、D，易知直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角，同时直线与所成角的最大值为直线与所成角， 故D错误，C正确. 故选：BC 11．（2025·广东汕头）正方体中，，，，，则下列两个平面的位置关系中，不成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【解析】根据向量知识可得：分别为的中点，分别为靠近的三等分点，由与相交知，错误； 因为，平面，平面，则平面， 同理可得：平面，又 ，且 平面， 则平面平面，若平面平面，则平面平面，这与它们相交矛盾，错误；    因为分别为的中点，则，因为，且，平面，平面，    所以平面，正确； 连接，则，又，且，平面， 则平面，则，同理可得：，又， 则平面，若平面平面，注意到平面， 则平面，又平面，所以平面平面，这和与相交矛盾，错误．    故选：. 3． 填空题 12．（24-25辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：    因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．（24-25 上海·阶段练习）已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】正方体中，，则是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14．（24-25上海·阶段练习）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是 . 【答案】 【解析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，异面直线与的夹角. 故答案为：. 4． 解答题 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【解析】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 15．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，为棱的中点，为棱上的点.证明：； 【答案】证明见解析 【解析】因为平面平面，平面平面，， 即，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，为棱的中点，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 17．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，为的中点，．证明：． 【答案】证明见解析 【解析】在平行四边形中， 由已知可得，，， 由余弦定理，得， 则，即．     又，平面PDM，平面．     而平面，．     ，． 18．（2024全国·专题练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：； 【答案】证明见解析 【解析】侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，所以，， 是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， . 19．（2025海南）如图，且，，且，且，平面，. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)证明: 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. （2） 连接，因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面， 所以. 20．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解析】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 21．（2024湖北）如图，七面体中，菱形所在平面与矩形交于，平面与平面交于直线． (1)求证：； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当为何值时，平面平面？并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）菱形中，， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面. ； （2）若选① 当时，平面平面， 设，取的中点，连结如图所示， 平面平面，平面平面， 矩形中，平面， 平面，， 同理可得：， ， 因为菱形中，矩形中， ，，是的中点，， 假设平面平面成立， 平面平面，且， 平面，平面，， 矩形中是的中点，菱形中是的中点， ， 平面，平面，， 又，是的中点，可知△为等腰直角三角形， ， ，故当时，平面平面； 若选② 当时，，矩形中， ，平面，平面， 矩形中，平面， 平面，， 同理可得：， ， 因为菱形中，矩形中， ，，是的中点，， 假设平面平面成立， 平面平面，且， 平面，平面，， 矩形中是的中点，菱形中是的中点， ， 平面，平面，， 又，是的中点，可知△为等腰直角三角形， ， ，故当时，平面平面. 22（2024河南）．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面平面,所以； 又因为M是的中点，所以， 因为平面平面,所以平面. （2）由（1）可知平面，因为平面， 则平面平面， 在平面内过点A作交于点Q，平面平面， 因此平面，于是点Q即为所要找的点, 如图7所示，显然， 因此，即有， 于是，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$