8.5 空间直线、平面的平行-2024-2025学年高一下学期数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

8.5 空间直线、平面的平行 考点一 等角性质 【例1-1】（2024湖南）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1-2】（24-25上海）已知空间两个角与，若，，，则 . 【一隅三反】 1．（23-24上海）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 2．（24-25海南）空间中两个角和，若，则的大小是 3．（23-24广东）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 考点二 线面平行的判定定理 【例2-1】（24-25云南昭通）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 【例2-2】（2025福建）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【例2-3】（2024安徽）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【一隅三反】 1．（23-24江西南昌）（多选）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A．B．C．D． 2．（2024江苏）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.    3．（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 4．（2024北京）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    5．（2024浙江）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 考点三 面面平行的判定定理 【例3-1】（24-25广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【例3-2】（2025云南）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 2．（24-25贵州遵义）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 3．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 考点四 线面平行的性质定理 【例4-1】（2024安徽）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【例4-2】（2024湖南）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【例4-3】（23-24甘肃）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 2．（23-24安徽合肥·阶段练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，且，，，点为中点，若上存在一点使得平面，则长度为 . 3．（2024广西）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：. 考点五 面面平行的性质定理 【例5-1】（24-25江西九江）如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2025广西）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【一隅三反】 1．（24-25辽宁）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025北京）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面； 3．（2025安徽）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 考点六 平行判断定理与性质辨析 【例6】（24-25上海）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若、是异面直线，，，，，则； D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则． 【一隅三反】 1．（24-25江西南昌）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（     ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（    ） A． B． 且 C． D． 考点七 平行中的动点 【例7-1】（2024湖北）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为    【例7-2】（2024江西景德镇）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【例7-3】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【一隅三反】 1．（2024河南·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为 . 2．（2025广东）如图，在三棱柱中，，，与为正三角形，动点为侧面四边形内一点，若平面，则动点运动轨迹长度为 . 3（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .    4．（2024湖南衡阳·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 5．（2025北京）如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 . 6．（24-25湖南长沙）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 7（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 1． 单选题 1．（24-25北京）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3（2024上·北京 ）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（    ） ①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行； ③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行. A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 5．（2024·全国· 专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（    ） A．与是异面直线，且平面 B．与是相交直线，且平面 C．与是异面直线，且平面 D．与是相交直线，且平面 6．（2025·海南）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 2． 多选题 7．（22-23高一下·广东·期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（    ）      A．平面平面 B． C．平面 D．与相交  8．（23-24云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 9．（24-25江苏连云港）已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2024湖北）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A．B．C．D． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 3． 填空题 12．（24-25内蒙古兴安盟）如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    13．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 14．（2025·山西吕梁）如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 . 15．（2025湖南）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 16．（2025·四川绵阳 ）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 . 17．（23-24 上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 4． 解答题 18．（2024 河南安阳 ）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 19．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    20．（2024海南）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面； 21．（2024云南）如图，已知三棱柱为直三棱柱，，为AC的中点.证明：平面 22．（2024安徽）如图，在直三棱柱中，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 23．（2024 全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 24．（2025山西）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    26．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 27．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示 (1)求证:平面. (2)平面平面. 28．（2025山东）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面； 29（2024贵州）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 30（2024·河南）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5 空间直线、平面的平行 考点一 等角性质 【例1-1】（2024湖南）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B 【例1-2】（24-25上海）已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【解析】因为，，故或， 故答案为：或 【一隅三反】 1．（23-24上海）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【解析】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 2．（24-25海南）空间中两个角和，若，则的大小是 【答案】或 【解析】因为，所以和相等或者互补，所以或. 故答案为:或. 3．（23-24广东）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 考点二 线面平行的判定定理 【例2-1】（24-25云南昭通）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    （2）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为，所以底面，均为直角三角形． 因为，，所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【例2-2】（2025福建）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在中，点G，F分别为PD，AP的中点， 且. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 且， 且. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 【例2-3】（2024安徽）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】证明见解析 【解析】连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面，所以平面 【一隅三反】 1．（23-24江西南昌）（多选）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A．B．C．D． 【答案】BC 【解析】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接，则， 又,故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 2．（2024江苏）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【解析】连接，，如图所示：    因为为菱形，点为的中点， 所以，且点为的中点， 又点为中点，所以， 而平面，平面， 所以平面. 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 4．（2024北京）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    【答案】证明见解析 【解析】连接，因为，， 所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面.    5．（2024浙江）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为F，G分别为的中点，所以， 又平面CFG，平面，所以平面． 连接HE，在中，，所以，且， 因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以， 又，所以，故C，E，F，G四点共面． 考点三 面面平行的判定定理 【例3-1】（24-25广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴，∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 【例3-2】（2025云南）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】由题意，因为平面，且平面 又因为平面平面，所以由线面平行的性质得. 又因为点为的中点，所以为的中点，即， 因为为的中点，即，又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，平面， 所以平面平面. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，． 由题意知，．平面，平面， 平面．又，，． 又E，F分别是AD，AB的中点，，则， ．． 又，．四边形为平行四边形．． 平面，平面，平面． ，，平面，平面平面． 2．（24-25贵州遵义）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 3．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 考点四 线面平行的性质定理 【例4-1】（2024安徽）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【解析】因为，，所以， 又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面， 所以. 【例4-2】（2024湖南）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【例4-3】（23-24甘肃）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵，∴.故选：B. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【解析】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 2．（23-24安徽合肥·阶段练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，且，，，点为中点，若上存在一点使得平面，则长度为 . 【答案】 【解析】如图所示，连接，，，取中点，连接与交于，取中点，连接，则 ，平面，平面，平面． 为中点，为中点，， 为中点，为中点， ，，四边形是矩形，平面，，，故答案为：． 3．（2024广西）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：. 【答案】证明见解析 【解析】因为为正方形，∴ ， 又∵ 平面，平面. ∴平面， 又 ∵平面，平面平面， ∴. 考点五 面面平行的性质定理 【例5-1】（24-25江西九江）如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作交于，连接．则四边形是平行四边形，， 由，在平面外，可得平面． 又平面，，平面， 所以平面平面． 又平面平面，平面平面，所以， 因此． 故选：C 【例5-2】（2025广西）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 【一隅三反】 1．（24-25辽宁）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 2．（2025北京）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面. 3．（2025安徽）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为四边形是菱形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面 考点六 平行判断定理与性质辨析 【例6】（24-25上海）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若、是异面直线，，，，，则； D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则． 【答案】C 【解析】因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，， 对于A，若，，则与可能相交，故A错误； 对于B，若，，则可能在内，故B错误； 对于C，因为，所以， 又，所以由线面平行的性质定理可知在内存在， 则，进而可得， 因为是异面直线，，所以与相交， 又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确； 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误． 故选：C． 【一隅三反】 1．（24-25江西南昌）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（     ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】D 【解析】对于A： 若时，则不成立，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，，则或与相交，故C错误； 对于D：由面面平行的判定定理可知D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（    ） A． B． 且 C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由可得或与相交，故A错误； 对于B，由可得或或且，故B错误； 对于C，由可得，因，且，由线面平行的性质即得，故C正确； 对于D，如图，在平面内作，因故得，但不成立，故D错误. 故选：C. 考点七 平行中的动点 【例7-1】（2024湖北）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为    【答案】2 【解析】   过点A1作平面的平行平面，即平面， 因为为正方体，所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 所以点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为. 故答案为：2. 【例7-2】（2024江西景德镇）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【答案】A 【解析】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1， ∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1， ∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF； 连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB， 可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形， 则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF． 又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF． 又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上． 在Rt△AA1M中，AM， 同理，在Rt△AA1N中，求得AN，则△AMN为等腰三角形． 当P在MN的中点时，AP最小为， 当P与M或N重合时，AP最大为． ∴线段AP长度的取值范围是． 故选：A． 【例7-3】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【解析】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 【一隅三反】 1．（2024河南·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为 . 【答案】 【解析】如图，取中点，中点，可知， ，故平面平面，故点的轨迹为线段 故答案为： 2．（2025广东）如图，在三棱柱中，，，与为正三角形，动点为侧面四边形内一点，若平面，则动点运动轨迹长度为 . 【答案】3 【解析】 取的中点，连接交于点， 连接，则，所以. 又由，得，所以， 所以.又平面， 平面，所以平面， 由此可知动点运动轨迹为线段. 由题意知， 所以. 故答案为：3. 3（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .    【答案】 【解析】如图，    取的中点，取的中点，连接，，，所以， 又面，面，所以平面， 又为的中点，所以， 又面，面，所以平面， 又，面，面，所以平面平面， 又因为是侧面上一点，且平面， 所以在线段上， 因为正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是 所以平面，因为平面，所以 又M为的中点，所以 所以 则，又 所以线段的最大值为． 故答案为：． 4．（2024湖南衡阳·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 【答案】 【解析】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面，平面. ，，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面， 又，平面平面. 是侧面内一点，且平面，点必在线段上. 在中，.同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，.线段长度的取值范围是. 5．（2025北京）如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接， 因为为所在棱的中点，所以，所以， 又平面平面，所以平面； 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，所以平面， 因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上， 在直角中，， 同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形， 当在中点时，，此时最短，位于处时最长， ，， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25湖南长沙）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【解析】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点，则有∥， 又平面，平面，所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面，同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 7（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【解析】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 1． 单选题 1．（24-25北京）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以“”是“”的必要条件； 因为，，，所以，且，所以， 所以“”是“”的充分条件；则“”是“”的充要条件． 故选：C． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A，由，，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，由，，得与相交或，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 而，，于是，又，，则，因此，D正确. 故选：D 3（2024上·北京 ）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在正方体中， 平面平面，平面平面， 平面平面，. 对于A，，，故A正确； 对于B，因为与相交，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为与不平行，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为与不平行，所以与不平行，故D错误； 故选：A.    4．（2024河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（    ） ①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行； ③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行. A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【解析】对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确； 对于②，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故②错误； 对于③，平行于同一直线的两个平面相交或平行，故③错误； 对于④，平行于同一平面的两个平面平行，故④正确． 故选:D． 5．（2024·全国· 专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（    ） A．与是异面直线，且平面 B．与是相交直线，且平面 C．与是异面直线，且平面 D．与是相交直线，且平面 【答案】B 【解析】根据题意，画出几何体，如图所示， 因为分别是的中点，可得且， 又因为且，所以且， 所以四边形为梯形，所以与为相交直线， 因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，平面，所以平面. 故选：B. 6．（2025·海南）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 2． 多选题 7．（22-23高一下·广东·期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（    ）      A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 【答案】BCD 【解析】依题意，标出各点位置如下图所示， A选项，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面. 根据正方体的性质可知，同理可证得平面. 由于平面，， 所以平面平面，A选项正确. B选项，根据异面直线的知识以及图象可知与异面，B选项错误. C选项，平面即平面，由图可知，与平面相交，所以C选项错误. D选项，根据异面直线的知识以及图象可知与异面，D选项错误. 故选：BCD    8．（23-24云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】BD 【解析】   连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确； 再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误； 由平面，可知点不在平面内，故C错误. 故选：BD. 9．（24-25江苏连云港）已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则的位置关系有：平行、相交或异面；故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则，故D正确； 故选：ACD. 10．（2024湖北）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A．B．C．D． 【答案】BCD 【解析】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】BCD 【解析】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 3． 填空题 12．（24-25内蒙古兴安盟）如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    【答案】①②③④ 【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示， 对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确； 对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题③正确； 对于④，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题④正确.    故答案为：①②③④. 13．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【解析】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 14．（2025·山西吕梁）如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【解析】在棱长为4的正方体中，分别取棱中点，连接， 由点分别是棱的中点，得， 又平面，平面，则平面， 又，则四边形为平行四边形， 于是，又平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又是侧面内一点，且平面，则点的轨迹是线段， 在中，，同理， 即为等腰三角形，当为中点时，最短，为， 当位于、处时，最长，为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 15．（2025湖南）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 【答案】 【解析】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 故答案为：. 16．（2025·四川绵阳 ）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 . 【答案】/ 【解析】如图：补全正四面体，连接, 取分别为大正四面体棱的中点，连接, 由于均为大四面体的棱的三等分点，故. 平面，平面，平面，平面， 故平面, 平面. 且平面， 故平面平面， 由于平面，因此平面， 故点的轨迹为线段， 由于, 故点的轨迹长度为， 故答案为： 17．（23-24 上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【解析】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 4． 解答题 18．（2024 河南安阳 ）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：因为，所以. 又因为平面平面，所以平面. （2）由题意知为四棱锥的高. 因为是圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，所以. 由（1）知，，所以四边形是直角梯形. 在中，，所以. 在等腰直角三角形中，因为，所以. 在直角梯形中，， 所以直角梯形的面积. 所以四棱锥的体积. 19．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【答案】证明见解析 【解析】连接交于，连接，   四边形是矩形,是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 平面. 20．（2024海南）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】在四棱锥中，底面为正方形，连接交于点，连接，如下图所示： 则是的中点，而为中点，于是， 又平面，平面， 所以平面. 21．（2024云南）如图，已知三棱柱为直三棱柱，，为AC的中点.证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】连接交与点，连接， 在直三棱柱中，且，∴四边形为正方形， 在正方形中对角线，相互平分，∴为中点， ∵为AC的中点，∴， 由平面，平面， ∴平面 22．（2024安徽）如图，在直三棱柱中，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接，设，连接，    在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则，因为平面平面， 因此平面. （2）因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以. 在中，为的中点，， 所以. 因此. 23．（2024 全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）过作交于，连接，. 因为，平面，平面，所以平面， 因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点， 因为，，所以为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，并延长，交于点，连接， 因为为的重心，所以为中点，且. 又，所以. 所以，所以，又平面，平面， 所以平面. 24．（2025山西）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【答案】证明见解析 【解析】方法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．    由题意知EF为的中位线， ∴，且． 又∵，， ∴，且， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴． 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，    ∵，，， ∴， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，    ∵E为PC的中点， ∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又由题意知且， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又，BH，平面BHE， ∴平面平面PAD， 又平面BHE，∴平面PAD． 26．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）如图，连接，．    因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 27．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示 (1)求证:平面. (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【解析】（1）由题设得：，， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. （2），， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面.平面. 又平面， ∴平面平面.． 28．（2025山东）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为M，N分别为侧面为矩形的边，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为M，N分别为侧面为矩形的边，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，且，平面，平面， 所以平面平面； 29（2024贵州）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接． 因为，分别为线段，中点， 所以，所以， 所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 证法二：取的中点，连接，， 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 证法三：取的中点，连接，． 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面． 30（2024·河南）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）连接，与交于，连接. 因为平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，所以. 又因为，在和中， 由于平行线分线段成比例定理，可得. 因为，所以. （2）在上取一点，使，连接， 因为，所以四边形即为过三点的截面. 设三棱柱的底面积为，高为，体积为，则. 因为，且，所以与相似，相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为. 对于三棱台，根据体积公式.   因为，，， 所以. 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$