专题10.3 几个三角恒等式（六个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题10.3 几个三角恒等式 一、和差化积公式的应用 四、恒等变换判断三角形形状 二、积化和差公式的应用 五、三角恒等变换与三角函数的结合 三、半角公式与万能公式 六、三角恒等变换的实际应用 知识点1积化和差公式与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和差化积公式 、 知识点2半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 重难点一、和差化积公式的应用 【例1】 ． 【答案】/ 【详解】 ， 故答案为：. 【例2】已知，，求的值． 【答案】． 【详解】∵，∴①， ，∴②， ，①②可得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）因为， 所以. 【变式1-2】已知，，求的值． 【答案】． 【详解】，① ，② 由得． 故 ． 【变式1-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 积化和差公式主要用于将两个三角函数的乘积转换为和差形式，从而简化复杂运算。其典型应用场景：在三角恒等变换中处理乘积项以合并同类项或降次化简 重难点二、积化和差公式的应用 【例3】把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式. （2）原式 【例4】已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 【变式2-1】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式． 故选：B. 【变式2-2】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以. 故选：C. 【变式2-3】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C 必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 重难点三、半角公式与万能公式 【例5】若，且，是的两个根，则 . 【答案】/ 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为： 【例6】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 【变式3-1】（多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 【变式3-2】已知，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 故选：B． 【变式3-3】已知， ，则 【答案】2 【详解】由，，则，， 又，所以，解得或（舍）， ，所以； 故答案为：2. 重难点四、恒等变换判断三角形形状 【例7】在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 【例8】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 . 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【详解】由得， 则， 所以，所以， 所以或， 因为，，所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 【变式4-1】在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由， 则， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：A. 【变式4-2】在中，，，.求证：为直角三角形； 【答案】证明见解析 【详解】由于， 即， 化简得， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以为直角三角形. 【变式4-3】在中，若，则是 三角形； 【答案】等腰 【详解】由，得， 所以，，即， 由于为三角形内角，故， 所以，即， 则是等腰三角形， 故答案为：等腰 在三角形中，，常用公式有 重难点五、三角恒等变换与三角函数的结合 【例9】已知函数，则函数在上的单调递增区间为： . 【答案】 【详解】 ， 由，， 可得，，令，则， 又因为，则其在上单调增区间为. 故答案为：. 【例10】（多选）关于的函数，下列结论正确的有（    ） A．函数的最小正周期 B．若，则是奇函数 C．若，则是图象的一条对称轴 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为， 对于选项A：例如， 则， 此时函数无最小正周期，故A错误； 对于选项B：若，即， 可得， 可知函数为奇函数，故B正确； 对于选项C：若，即， 可得， 则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：若，， 可得，， 因为， 即，整理可得，故D正确； 故选：BCD. 【变式5-1】已知函数，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】， 令，解得． 因为，所以或2，此时，故在区间内有2个零点． 故选：B 【变式5-2】已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为（    ） A．16 B． C． D．8 【答案】B 【详解】将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半， 此时函数解析式为， 再向左平移个单位长度，得， 则， 所以的最大值为． 故选：B. 【变式5-3】已知，函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则, 因为，所以， 所以，即， 因为恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故选：B ①看三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ②看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” ③分析结构特征，找到变形的方向,常见的有 “整式因式分解”“次式配方”等 重难点六、三角恒等变换的实际应用 【例11】如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF. （1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围； （2）求四边形MEOF的面积S的最大值. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）， ， 由题意要得到四边形MEOF，则. （2）由（1）知：，因为，所以， 所以当，即时，四边形MEOF的面积S的最大值为. 【例12】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，； (3) 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 【变式6-1】在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大，最大值为 【详解】（1）由题可知，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，． （2）， ， 当，即时， ， 故当时，矩形的面积最大，最大值为． 【变式6-2】某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【详解】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 【变式6-3】如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【答案】最小值为；最大值为. 【详解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 一、单选题 1．已知，且，则满足条件的的个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解法一： ， 故或． 当时，，即， 因为，所以，，，，； 当时，因为，所以，． 所以符合题意的共有7个； 解法二：由和差化积公式得到， 所以， 因为，所以或， 当时，，即， 因为，所以，，，，； 当时，因为，所以，． 所以符合题意的共有7个； 故选：C 2．已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， 解得， 故，所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：B 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 故选：C． 4．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 5．如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 6．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即； 即，故 令，则（当且仅当时等号成立） 故选：B． 二、多选题 7．给出下列四个关系式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A项，因为，， 所以， 所以，故A项错误； 对于B项，因为，， 所以， 所以，故B项正确； 对于C项，因为，， 所以， 所以，故C项错误； 对于D项，因为，， 所以， 所以，故D项正确. 故选：BD. 8．tan（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为tan，故A 正确； ，故B错误； ∵sin2α＝1﹣cos2α ∴tan，故C正确，D错误； 故选：AC. 三、填空题 9．，则 . 【答案】 【详解】由得 由于，故两式相除可得 故答案为： 10．已知，且，则 . 【答案】 【详解】因， 则， 得.则 故答案为： 11．在中，若，则的形状 ． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【详解】因为， 由可得， 即， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 四、解答题 12．求的值． 【答案】 【详解】 13．已知且，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，于是． 设． ． （2） ． 14．某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； (2)（i），；（ii），. 【详解】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，， 解得或，当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.3 几个三角恒等式 一、和差化积公式的应用 四、恒等变换判断三角形形状 二、积化和差公式的应用 五、三角恒等变换与三角函数的结合 三、半角公式与万能公式 六、三角恒等变换的实际应用 知识点1积化和差公式与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和差化积公式 、 知识点2半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 重难点一、和差化积公式的应用 【例1】 ． 【例2】已知，，求的值． 【变式1-1】把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】已知，，求的值． 【变式1-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 积化和差公式主要用于将两个三角函数的乘积转换为和差形式，从而简化复杂运算。其典型应用场景：在三角恒等变换中处理乘积项以合并同类项或降次化简 重难点二、积化和差公式的应用 【例3】把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【例4】已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】计算：（    ） A． B． C． D． 必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 重难点三、半角公式与万能公式 【例5】若，且，是的两个根，则 . 【例6】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则等于（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】已知， ，则 重难点四、恒等变换判断三角形形状 【例7】在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【例8】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 . 【变式4-1】在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-2】在中，，，.求证：为直角三角形； 【变式4-3】在中，若，则是 三角形； 在三角形中，，常用公式有 重难点五、三角恒等变换与三角函数的结合 【例9】已知函数，则函数在上的单调递增区间为： . 【例10】（多选）关于的函数，下列结论正确的有（    ） A．函数的最小正周期 B．若，则是奇函数 C．若，则是图象的一条对称轴 D．若，，则 【变式5-1】已知函数，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为（    ） A．16 B． C． D．8 【变式5-3】已知，函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ①看三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ②看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” ③分析结构特征，找到变形的方向,常见的有 “整式因式分解”“次式配方”等 重难点六、三角恒等变换的实际应用 【例11】如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF. （1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围； （2）求四边形MEOF的面积S的最大值. 【例12】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【变式6-1】在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【变式6-2】某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【变式6-3】如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 一、单选题 1．已知，且，则满足条件的的个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．给出下列四个关系式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．tan（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．，则 . 10．已知，且，则 . 11．在中，若，则的形状 ． 四、解答题 12．求的值． 13．已知且，求： (1)； (2)． 14．某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$