专题09 正弦定理8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题09 正弦定理8题型分类 1.正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 3．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 4．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. （一） 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 题型1：已知两角及任意一边解三角形 1．（2025高一·海南海口月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 . 2．（2025高三·全国月考）在中，已知，，，则 ； ； ． 3．（2025高三·内蒙古通辽月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 4．（2025高一·河北邯郸·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 5．（2025高一·江苏南京·期中）在中，，，，点在的延长线上，且，则 . （二） 已知两边及其中一边的对角解三角形 这一类型题目的解题步骤: ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 6．（2025高二·河南省直辖县级单位月考）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 7．（2025高三·甘肃平凉月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求的值； (2)求c的值． 8．（2025高三·山西太原·期中）在中，，，，在上，且． (1)求的值； (2)求的面积． 9．（2025高二·安徽·期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国月考）在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ． 11．（2025高二·湖南湘潭·期末）在中，，则 . 12．（2025高一·重庆渝中月考）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C． D． （三） 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 题型3：利用正弦定理判断三角形的解的个数 13．（2025高三·全国月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 14．（2025·江苏南通模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025高三·上海嘉定·期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·河北石家庄·期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 17．（2025·浙江模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． （四） 三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 题型4：三角形形状的判断 18．（2025高二·河南省直辖县级单位月考）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 19．（2025高三·北京月考）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 20．（2025高三·黑龙江七台河月考）在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）. 21．（2025高一·浙江嘉兴·期中）若，且，那么是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 22．（2025高三·广东广州月考）在中，，则的形状为 三角形． 23．（2025高二·陕西西安·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形 24．（2025高一·全国月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 （五） 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 题型5：正弦定理的应用 25．（2025高一·吉林月考）已知分别为三个内角的对边，且，则为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·黑龙江模拟预测）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ． 27．（2025高一·吉林通化月考）在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 28．（2025·青海模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 29．（2025高三·广东肇庆月考）记的内角的对边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·山东青岛·期中）在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：三角形的外接圆问题 31．（2025高二·云南曲靖·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，. (1)求； (2)若的外接圆半径为，求的周长. 32．（2025高三·甘肃白银月考）已知在中，内角的对边分别为． (1)求A； (2)若为的中点，求的外接圆的面积． 33．（2025高二·广西南宁月考）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 34．（2024·四川眉山模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若的面积为，求外接圆的直径. 35．（2025高三·山东济南月考）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求外接圆的半径； (2)若，求的面积． 题型7：正余弦定理的综合应用 36．（2025高一·江西南昌·期末）在中，若满足，则（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 37．（2025高三·辽宁锦州月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，．则的值（    ） A． B． C． D． 38．（2025高三·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且. (1)求角A的大小； (2)若，且，求的面积. 39．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）在内，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若的面积为，，求的周长． 40．（2025高三·福建泉州月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 41．（2025高三·山西吕梁月考）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______． (1)求角C的大小； (2)若，的内心为I，求周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． （六） 三角形的面积、周长问题 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 题型8：三角形的面积、周长问题 42．（2025高三·贵州黔东南月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积. 43．（2025高三·广东深圳月考）在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求的值； (2)求的面积； 44．（四川省内江市2024届高三一模数学（文）试题）的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 45．（2025高三·天津东丽月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求：的值． (2)求：的值． (3)若，求：的面积． 46．（2025·贵州铜仁模拟预测）在中，已知，，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求的面积. 47．（2025高三·江苏南通月考）设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 48．（2025高二·浙江·期中）在中，角所对的边分别为且. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 49．（2025高三·江苏苏州月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若的面积为，求的周长． 50．（2025高二·云南昆明·期末）在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值. 51．（2025高一·广东清远·期中）在中，若，，，则的周长等于（    ） A．8 B．16 C．10 D．20 52．（2025高一·吉林白山·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，且，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 53．（2025高一·四川内江·期中）已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（2025高一·辽宁抚顺月考）记的内角，，的对边分别为，，，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）在三角形中，，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·重庆·一模）已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·四川南充·二模）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）在中的平分线交边于点，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 8．（24-25高三下·北京·开学考试）在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．3 C． D． 10．（广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题）在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A． B． C． D． 11．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，若，，，则a等于（   ） A． B． C． D． 13．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高三下·河南·开学考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 15．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A．若，则 B．若为锐角，则 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 16．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B．外接圆半径 C．， D．若是边中点，则 17．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在中，，，，的角平分线交于，则（   ） A．是钝角三角形 B． C． D． 18．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 三、填空题 19．（24-25高三下·河南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则 ． 20．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，点分别在边上，，且，则 . 21．（2025高二·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为 ． 22．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）在中，若，则的外接圆半径为 . 23．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知中内角满足，若在边上各取一点，满足，，则角 ，三角形的面积的最大值是 . 24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）在中内角的对边分别为，已知，则 ． 25．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 四、解答题 26．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积. 27．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 28．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，，为的中点，求. 29．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，，求的面积． 30．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)三角形的内角的对边分别为，若，求的面积. 31．（24-25高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，求的最小值. 32．（2025高三·全国·专题练习）在①，；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 已知的内角所对的边分别为，______，角的平分线与边交于点，且． (1)求； (2)求的取值范围． 33．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)若，求a； (2)求A的最大值． 34．（2025·江西上饶·一模）已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题09 正弦定理8题型分类 1.正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 3．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 4．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. （一） 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 题型1：已知两角及任意一边解三角形 1．（2025高一·海南海口月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理可得结果. 【解析】由正弦定理，得，所以， 故答案为：. 2．（2025高三·全国月考）在中，已知，，，则 ； ； ． 【答案】 【分析】借助计算即可得，借助正弦定理即可计算、. 【解析】由，故， 则， 由正弦定理得，. 故答案为：；；. 3．（2025高三·内蒙古通辽月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理即可得解. 【解析】在中，， 因为，所以， 则由正弦定理得. 故选：B． 4．（2025高一·河北邯郸·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，求得角C，再利用正弦定理，建立方程，可得答案. 【解析】由三角形内角和定理，可得， 由正弦定理，可得， 解得. 故答案为：. 5．（2025高一·江苏南京·期中）在中，，，，点在的延长线上，且，则 . 【答案】14 【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求得的长，得到答案. 【解析】如图所示，在中，因为， 由正弦定理知，可得，解得， 在中，由，且， 由余弦定理得，所以. 故答案为：. （二） 已知两边及其中一边的对角解三角形 这一类型题目的解题步骤: ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 6．（2025高二·河南省直辖县级单位月考）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的值，结合的范围得出结果. 【解析】因为中，，，， 所以，， 因为，可得，即， 所以或. 故选：D. 7．（2025高三·甘肃平凉月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求的值； (2)求c的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由正弦定理求得结果； （2）由余弦定理求得结果. 【解析】（1）由正弦定理可得，，即， 解得. （2）由余弦定理可得，， 即， 解得或(舍去)，所以. 8．（2025高三·山西太原·期中）在中，，，，在上，且． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦定理，即可求解； （2）在中，列出方程，求得或，分类讨论，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解析】（1）解：因为，且，可得， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）解：在中，由余弦定理得， 可得，解得或， ①当时，的面积为； ②当时，的面积为． 9．（2025高二·安徽·期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【解析】根据正弦定理，即，则， ，，则，所以. 故选：B 10．（2025高三·全国月考）在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ． 【答案】或 【分析】借助正弦定理可算出的值，又，可得的值. 【解析】由正弦定理得， 因为，，所以或． 故答案为：或. 11．（2025高二·湖南湘潭·期末）在中，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【解析】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以 故答案为： 12．（2025高一·重庆渝中月考）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由正弦定理求得，可得为等腰直角三角形，可求得. 【解析】由，得，即， 所以，则，则为等腰直角三角形， 所以， 故选：B． （三） 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 题型3：利用正弦定理判断三角形的解的个数 13．（2025高三·全国月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】A 【分析】运用正弦定理计算出，结合有，计算出即可得. 【解析】由，得， 又 ，，故只能为锐角，即， 故该三角形只有一解． 故选：A. 14．（2025·江苏南通模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解. 【解析】对于A：由正弦定理可知， ∵，∴，故三角形有一解； 对于B：由正弦定理可知，， ∵，∴，故三角形有两解； 对于C：由正弦定理可知， ∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解； 对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解. 故选：B. 15．（2025高三·上海嘉定·期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求，对的取值进行讨论，求出使得B唯一时的取值范围，此时有唯一值. 【解析】由可得：，且， 若，则，由正弦定理可得, 则，所以B为锐角， 此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值. 当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值. 当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立. 故选：C 16．（2025高一·河北石家庄·期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【解析】由正弦定理可知，即，所以， 因为有两个解，即有两解，又，则， 由正弦函数的性质，可得且， 所以，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 17．（2025·浙江模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理推出，根据三角形有两解，确定角A的范围，从而结合的取值范围求得答案. 【解析】由正弦定理得，所以, 因为该三角形有两解，故, 故，即， 故选：B （四） 三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 题型4：三角形形状的判断 18．（2025高二·河南省直辖县级单位月考）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解. 【解析】由，得， 而，又， 所以. ，由正弦定理得， 即，得， 所以或，得或（舍去）， 所以，即为等边三角形. 故选：B 19．（2025高三·北京月考）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理化简为，然后在分析，即，或，从而得到结论. 【解析】，， 根据正弦定理可知：， ， 在中，，或，即，即. 为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 20．（2025高三·黑龙江七台河月考）在中，有，试判断的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）. 【答案】直角三角形 【分析】注意到在中，有（），结合二倍角公式即可求解. 【解析】由二倍角公式可知，， 且注意到在中，有， 因此可将已知转换为，解得， 因为是的一个内角，所以，即是直角三角形. 故答案为：直角三角形. 21．（2025高一·浙江嘉兴·期中）若，且，那么是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论. 【解析】因为，则，可得， 由余弦定理可得，因为，所以，， 因为，则，整理可得. 所以，为等边三角形. 故选：A. 22．（2025高三·广东广州月考）在中，，则的形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式、余弦定理化简作答. 【解析】在中，由，得，即， 由余弦定理得，整理得， 所以是直角三角形. 故答案为：直角 23．（2025高二·陕西西安·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论. 【解析】，由正弦定理，得， 即 ∴，可得， 又，∴， 则的形状为等腰三角形. 故选：A. 24．（2025高一·全国月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】将结合正弦定理可得到，与联立可得到，继而得到答案 【解析】解：由及正弦定理得，即①， 又，即②， 将②代入①可得即③，将③代入①得， 所以，从而为等边三角形， 故选：C （五） 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 题型5：正弦定理的应用 25．（2025高一·吉林月考）已知分别为三个内角的对边，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角可化简求得，由此可得. 【解析】由正弦定理得：， ，，，即， ，. 故选：D. 26．（2025·黑龙江模拟预测）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可. 【解析】根据余弦定理由， 而，因此有， 因为，所以， 由正弦定理可知的外接圆半径为， 故答案为： 27．（2025高一·吉林通化月考）在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解. 【解析】因为，， 所以. ， 由正弦定理，得. 故选：B. 28．（2025·青海模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【解析】根据正弦定理可知，，， 则，得. 故选：A 29．（2025高三·广东肇庆月考）记的内角的对边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理变形等式，可得三角形为等边三角形，即得答案. 【解析】因为， 有正弦定理得， 则， 所以，故，即， 代入上边等式可得，， 则三角形为等边三角形， 故 故选： 30．（2025高一·山东青岛·期中）在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理得边长关系，再利用三角形成立条件列不等式求解即可. 【解析】由正弦定理及得 ，不妨记， 因为，所以，解得，即的取值范围是. 故选：B 题型6：三角形的外接圆问题 31．（2025高二·云南曲靖·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，. (1)求； (2)若的外接圆半径为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量数量积的定义可求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值； （2）由正弦定理可求出的值，利用余弦定理求出的值，由此可求得的周长. 【解析】（1）因为，由平面向量数量积的定义可得， 则，所以，为锐角， 所以，. （2）由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 所以，， 故的周长为. 32．（2025高三·甘肃白银月考）已知在中，内角的对边分别为． (1)求A； (2)若为的中点，求的外接圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式求出，然后求解角的大小； （2）由正弦定理可得，可求，利用正弦定理可求外接圆的半径，进而求得面积. 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 因为，所以． （2）因为，所以． 因为，所以． 因为D为的中点，所以， 在中，． 设外接圆的半径为R，则， 故的外接圆的面积为． 33．（2025高二·广西南宁月考）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解； （2）根据，利用两角和的余弦得到，进而得到，结合外接圆半径为2可求出三角形的边长，在中利用正弦定理即可求解. 【解析】（1）因为， 所以, 即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而， 所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 34．（2024·四川眉山模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若的面积为，求外接圆的直径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，设，，进而结合余弦定理即可求解； （2）结合题意，由三角形的面积公式可得，进而（1）所设，求出，进而结合正弦定理求解即可. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，， 不妨设，， 则由余弦定理得，， 又，则. （2）设外接圆的半径为， 由题意，，即， 由（1）知，设，， 则，解得， 则，所以， 则外接圆的直径为. 35．（2025高三·山东济南月考）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简，即可得解 ，再由正弦定理求外接圆半径； （2）根据余弦定理求出，再由面积公式得解. 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以，即 所以，即 （2）由（1）可知：，或， 因为， 所以为锐角，故， 由余弦定理得， 所以， 所以． 题型7：正余弦定理的综合应用 36．（2025高一·江西南昌·期末）在中，若满足，则（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】利用正弦定理将已知条件角化边，然后再利用余弦定理即可求解. 【解析】解：在中，因为， 所以由正弦定理得，即， 所以由余弦定理有， 因为，所以， 故选：C. 37．（2025高三·辽宁锦州月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，．则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到，确定，根据余弦定理得到，再根据二倍角公式计算得到答案. 【解析】，则，，则， ，，故， . 故选：C. 38．（2025高三·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且. (1)求角A的大小； (2)若，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，从而得到，求出角A的大小； （2）在（1）基础上得到，结合正切和角公式得到，得到方程组，求出，得到为等边三角形，求出三角形面积. 【解析】（1）， 由余弦定理得， 由正弦定理得， ， 即， 故， 因为，所以， 所以，化简得， 因为，所以； （2）由（1）知， 故， ∵，故， 联立，解得， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 39．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）在内，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角； （2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长. 【解析】（1）由，得 由正弦定理，得． ． ． 又， ． 又， ． 又， ． （2）由（1）知， ① 又，故， ，② 又， 由①②，得，故， ∴， 故，周长为. 40．（2025高三·福建泉州月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； （2）根据正弦定理先得出，根据三角形内角和性质及余弦函数的单调性计算即可. 【解析】（1）由正弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又，所以 （2），，由正弦定理， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以， 所以 41．（2025高三·山西吕梁月考）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______． (1)求角C的大小； (2)若，的内心为I，求周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正余弦定理进行边角互化，借助于三角形的边角关系即可求得； （2）先求出，在中，通过设角，利用正弦定理求出三边得出三角形周长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围. 【解析】（1）选择条件①，， 在中，由正弦定理得， 整理得，则由余弦定理，， 又，所以． 选择条件②，， 于是， 在中，由正弦定理得，， 因为，则，即， 因为，因此，即，又，所以． （2）    如图，由（1）知，，有， 因为的内心为，所以，于是． 设，则，且， 在中，由正弦定理得，， 所以， 所以的周长为， 由，得，所以， 所以周长的取值范围为． （六） 三角形的面积、周长问题 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 题型8：三角形的面积、周长问题 42．（2025高三·贵州黔东南月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形中即可求解； （2）由两三角形面积比关系可得两边之比，再用向量方法表示，两边平方建立方程解得边长，再利用三角形面积公式即可求解. 【解析】（1）由及正弦定理知： 所以 由得， 由，所以则， 由，所以. （2）如图，由， 且，AD平分， 得， 令，则，又，且， 因为， 所以 ， 即：， 化简得，所以，即，， 故的面积.    43．（2025高三·广东深圳月考）在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求的值； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求得正确答案. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得正确答案. 【解析】（1）. . 由正弦定理可得. （2）， 所以的面积. 44．（四川省内江市2024届高三一模数学（文）试题）的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果； （2）分别在，和中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果. 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理可得,，，即， 所以，，， 故，即. （2）因为为的重心，的延长线交于点，且， 所以点为中点，且，在中，，，即， 在和中，,化简得， 所以，故， 所以的面积为． 45．（2025高三·天津东丽月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求：的值． (2)求：的值． (3)若，求：的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，等量代换及整式化简，可得答案； （2）根据二倍角公式，结合差角公式，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，可得答案. 【解析】（1），由正弦定理得： 将这入上式得，由余弦定理可得. （2），由，则， 又，即，，又， 又. （3），由知：，由（2）可知， 又， 的面积为. 46．（2025·贵州铜仁模拟预测）在中，已知，，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出，再利用正弦定理求出角； （2）根据得到点为三角形重心，由直接求解即可. 【解析】（1）， 在三角形中，， ，，， 在中，， ， 又， ，， 由正弦定理，得， ，或； （2）因为为锐角三角形，所以， ， 点为三角形重心， 所以， 又， 所以， 所以的面积为. 47．（2025高三·江苏南通月考）设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角，结合诱导公式和二倍角公式变形即可得到角； （2）在中根据面积公式求得边，再由角平分线分得的两个三角形的面积之和等于大三角形的面积，列式求解. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得, 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以，所以， 所以，即； （2）因为，，所以, 即， 设的角平分线交于，因为， 所以，所以. 48．（2025高二·浙江·期中）在中，角所对的边分别为且. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得，可求出； （2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出，再由面积计算可得，即可求得边上的高为. 【解析】（1）利用正弦定理由可得， 又在中，易知，可得，所以； 即， 可得，显然，所以， 所以，又，可得； （2）由余弦定理可得， 代入整理可得， 解得或（舍）； 所以的面积为，解得，所以； 设边上的高为，则，可得， 即边上的高为. 49．（2025高三·江苏苏州月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）用正弦定理边化角，结合二倍角公式和两角和的正弦公式即可； （2）利用面积求ab，再用余弦定理求，即可得结果. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，则， 即， 因为，所以，所以，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，得． 所以的周长为. 50．（2025高二·云南昆明·期末）在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理，，据此可得答案； （2），又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案. 【解析】（1）由正弦定理， ， 又在三角形中，. 则，又， 得，结合，知. （2）由正弦定理，可知. 则. 又由（1）可知， 则. ，因，则， 故当，即时，取最大值. 51．（2025高一·广东清远·期中）在中，若，，，则的周长等于（    ） A．8 B．16 C．10 D．20 【答案】C 【分析】由已知条件利用余弦定理求出，从而可求出的周长 【解析】因为，，， 由余弦定理得， 所以. 所以的周长为. 故选：C. 52．（2025高一·吉林白山·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，且，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由面积公式求出，最后由余弦定理及完全平方公式求出，即可得解； 【解析】解：因为，所以． 由，得． 由余弦定理，得， 得，即，所以的周长为． 故选：D 53．（2025高一·四川内江·期中）已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将周长表达为关于B的函数，然后利用△ABC为锐角三角形求出定义域，再算值域即可. 【解析】由正弦定理，又A＝60°，BC=4 所以 因为△ABC为锐角三角形，所以 所以，所以 所以周长的取值范围是. 故选：A. 54．（2025高一·辽宁抚顺月考）记的内角，，的对边分别为，，，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理、面积公式及函数的单调性可求解. 【解析】由题意得，因为，所以．由余弦定理，得，得，则．因为函数在上单调递增，所以当最小时，的周长最小．又（当且仅当时，等号成立），所以．故当的周长取到最小值时，． 故选：A 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）在三角形中，，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 2．（2025·重庆·一模）已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再由代入三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， 所以， 则， 可得：. 故选：B. 4．（2025·四川南充·二模）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角，进而利用正弦定理得解. 【详解】由于三角形的内角和为，即：,已知，所以：， 代入到中，得到：， 展开并化简：,即， 整理得到：，即， 根据正弦定理：,即. 故选：D. 5．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）在中的平分线交边于点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理得到，再利用平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】由题意，，为的平分线， 根据正弦定理知①，②， 结合，， 得，即， 则， 即， 故选：B. 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，， 即，得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去），则， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以， 由对勾函数在上单调递减， 可得：在单调递减； ，， 所以． 故选：A． 7．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 8．（24-25高三下·北京·开学考试）在中，若的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式可得出的值. 【详解】在中，因为，则，故，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 由三角形的面积公式可得，可得. 故选：B. 9．（山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为，，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故选：D. 10．（广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题）在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角平分线的性质可得出，设，则，由可得出，然后在中应用余弦定理可求得的长，利用正弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等， 因为，设，则， 由可得， 可得， 在中，由余弦定理可得 ，故， 由正弦定理可得，所以，， 易知为锐角，则， 所以，. 故选：A. 11．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为成等差数列，即， 则，， 所以，即，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用余弦定理得到，进而利用两角差的正切公式结合基本不等式求解. 二、多选题 12．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，若，，，则a等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理可得，据此可得或，然后可得答案. 【详解】由正弦定理得，即，所以． 又，所以或．故或， 当时，，； 当时，． 故选：AB 13．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理可得.结合，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，，所以或. 故选：AB. 14．（24-25高三下·河南·开学考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 【答案】BCD 【分析】应用正弦定理及两角和差公式化简，再结合诱导公式得出或计算判断即可. 【详解】由题意可得 所以 由正弦定理可得 所以 即 即 等价于 所以则或即 若则c是最大边，a，b可能是最小边； 若则b是最大边，a，c可能是最小边. 综上，选项B，C，D正确. 故选： 15．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A．若，则 B．若为锐角，则 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】对于A，根据余弦定理与正弦定理，利用和角公式整理等式，结合三角形边与角的大小关系，可得答案；对于B，根据三角形内角的取值，由A所得等式，则可得等角，根据正弦定理，可得答案；对于C，利用余弦二倍角公式，可得答案；对于D，利用正切的二倍角公式，可得答案. 【详解】由得，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以， 若，则，易知，从而，所以，A错误； 若为锐角，由及得，所以，由正弦定理得，B正确； 因为，所以为锐角，，C正确； 当为锐角三角形时，由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 16．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B．外接圆半径 C．， D．若是边中点，则 【答案】ABD 【分析】由已知条件求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，可判断A选项；利用正弦定理可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；由平面向量的线性运算可得出，结合平面向量数量积的运算可求得的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，所以，，故，A对； 对于B选项，由正弦定理可知，B对； 对于C选项，因为，所以，设，则， 由余弦定理可知， 所以，，C错； 对于D选项，因为为的中点，则， 所以，，则， 所以 ，则，D对. 故选：ABD. 17．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在中，，，，的角平分线交于，则（   ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角形内角和为可求出角，即可判断选项A，根据正弦定理可判断B和D，根据三角形的角度可到选项C. 【详解】对于A，因为，， 所以， 三个角度都小于，所以是锐角三角形，选项A错误； 对于B，根据正弦定理， 因为，，， 得，选项B正确； 对于C，因为的角平分线交于，，所以， 由选项A可得，则， 因为，所以，选项C正确； 对于D，在中，根据正弦定理可得， 因为，，，， 所以，故选项D错误. 故选：BC. 18．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理化角为边即可判断A；利用同角三角函数的关系即可判断B；利用余弦定理求出，即可判断C；根据三角形的面积公式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 由正弦定理得，整理得，即，A正确； 对于B，由可得， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 又，可得， 整理得的周长为，故C错误； 对于D，由上知：，，可得， 则的面积为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 19．（24-25高三下·河南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 20．（2025·山东聊城·模拟预测）在中，点分别在边上，，且，则 . 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式以及等面积和余弦定理，解方程组可得结果. 【详解】记，如下图所示： 则； 因，， 则； 故①， 在中，由余弦定理，， 可得②， 将①代入②得， 即，解得或（舍）； 即. 故答案为：2. 21．（2025高二·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理边角转化得，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】∵，∴由正弦定理得， ∴，即， ∴，即， 由正弦定理得， ∵，∴， 由余弦定理得，得， ∴的面积． 故答案为：． 22．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）在中，若，则的外接圆半径为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可得外接圆半径. 【详解】易知，即， 解得， 由余弦定理可知， 可得， 设外接圆半径为，所以， 可得. 故答案为： 23．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知中内角满足，若在边上各取一点，满足，，则角 ，三角形的面积的最大值是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理，利用基本不等式结合三角函数的值域得到，在中，由余弦定理求得，从而，设，在和中利用正弦定理求得，利用辅助角公式求得最大值，从而得到三角形的面积的最大值. 【详解】由，得，又因为，代入上式中，，整理可得，故，当时，等号成立，由于，所以，因为，所以，又此时，故为等边三角形，故角；如图，在中，由余弦定理得，所以，所以，从而，设，则，，，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，其中，所以的最大值为，当时取得最大值，所以. 故答案为：；. 24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）在中内角的对边分别为，已知，则 ． 【答案】3 【分析】根据同角关系以及和差角公式化简可得，即可利用正弦定理边角互化求解. 【详解】由可得, 故, , 由正弦定理可得， 故答案为：3 25．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数性质求出范围. 【详解】在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则， 而，解得，， 由正弦定理得 ，锐角由确定， 而为锐角三角形，则，即，， 显然，而， ，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 四、解答题 26．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）经判断可知选择①③时存在，利用正弦定理和余弦定理计算可得结果； （2）由可得，代入三角形面积公式计算可得结果. 【详解】（1）若选择①②， 由可知，或，因此或， 结合可知，选择①②时，不存在； 若选择②③ 由利用正弦定理可得， 又，可得，显然不成立， 即选择②③，也不存在 若选择①③，利用正弦定理可得，即， 又，可得，此时存在； 所以可得； （2）由可得， 由可得； 所以的面积为. 27．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式计算可得； （2）利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或, 当时，又，所以，又，， 所以，则，与矛盾，所以舍去； 所以． 28．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，，为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式得到求解； （2）法一：由的面积为得到，再利用余弦定理得到，然后由两边平方即可求解；法二，根据得，再结合余弦定理即可求解；法三：利用中线定理得到求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 故， 即， 又，所以， 所以，得， 又，所以. （2）法一：由，得. 由余弦定理得， 即，得. 由题知， 两边同时平方得， 故. 法二，同法一得. 易知， 则， 即， 得，得； 法三，同法一得.所以由中线定理得到， 所以，所以. 29．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和与差的三角函数公式将展开，得到，再利用正弦定理或余弦定理求，可得三角形内角. （2）利用（1）的结论，结合，可判断的形状，进而求其面积，在此过程中，要注意分情况讨论. 【详解】（1）解法一: 由， 得， 得． 由正弦定理得， 得， 得． 因为，所以，所以，得． 解法二：由解法一得：． 由正弦定理得， 由余弦定理得，（另解：也可由射影定理得） 所以，所以， 因为，所以． （2）解法一:由（1）得，所以， 由，得， 得， 得， 因为，所以， 所以或，得或． 当时，，又，所以， 故的面积为． 当时，，又，所以． 故的面积为． 综上，的面积为． 解法二：由（1）得， 所以由得， 得． 当时，，，得， 故的面积为． 当时，，由正弦定理得， 由余弦定理及已知条件可得， 联立得，得， 故的面积为． 综上，的面积为． 30．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)三角形的内角的对边分别为，若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据最小正周期公式即可得到答案； （2）根据正弦函数的性质求其单调增区间； （3）由题设有，结合三角形内角的性质得，再由正弦定理求得，应用和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求三角形ABC的面积． 【详解】（1）的最小正周期. （2）令，， 解得， 的单调递增区间为. （3）由， 又，则，故，解得， 由正弦定理，即得，又，则， 则，则. 故. 31．（24-25高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，求的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 可得， 因为，所以. （2）由可得， 即， 可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 32．（2025高三·全国·专题练习）在①，；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 已知的内角所对的边分别为，______，角的平分线与边交于点，且． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1)任选一条件，都有； (2) 【分析】（1）选条件①．利用已知可得，可得，可求得；选条件②．由正弦定理得，进而得，可求得；选条件③．由正弦定理得，利用三角恒等变换可得，可求得； （2）法一：利用正弦定理写出关于角的表达式，利用三角知识将的表达式化为一角一函数的形式，根据角的范围及三角函数的图象与性质得到结果，法二：利用三角形的面积公式得到关于的等式，利用基本不等式求出结果. 【详解】（1）选条件①． 因为，所以， 故， 因此或． 由于，所以不合题意， 因此， 即，故． 选条件②． 因为，所以由正弦定理得， 易知，所以， 所以，得，又，所以． 选条件③． 因为，所以由正弦定理得， 易知，所以，即， 所以， 因为，，所以， 因此，故． （2）法一：由（1）知，． 在中，由正弦定理可得，即， 所以． 在中，由正弦定理可得，即， 所以． 于是 ， 由于，所以，则， 于是，从而，当且仅当，即时等号成立， 故的取值范围是． 法二：由题意可知， 故， 故， 得，当且仅当时等号成立， 故的取值范围是． 33．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)若，求a； (2)求A的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再用余弦定理计算即可； （2）根据正弦定理边角互化，再用余弦定理，结合基本不等式和三角函数解题即可. 【详解】（1）因为，所以． 不妨设， 则，即． ，解得，此时． （2）因为，所以． ，当且仅当时，等号成立．根据在上单调递减，故的最大值为． 34．（2025·江西上饶·一模）已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合二倍角公式求角. （2）根据，可求，根据正弦定理可得的数量关系，再结合余弦定理，可求的值，进而可求的周长. 【详解】（1）由， 所以. 由正弦定理可得：，因为，所以. 所以，又，所以. （2）因为，边上的高为， 所以. 根据正弦定理：. 由余弦定理：， 所以或（舍去），所以. 所以的周长为：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$