易错03 方程（组）与不等式（组）（七大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错点03 方程（组）与不等式（组） 易错陷阱一：解一元一次方程时遇到括号易出错 解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变． 例1．（2023·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】圆圆解方程有错误，正确解答见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等知识，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤，逐条验证即可知道解答过程的错误之处，从而按步骤求解即可得到答案，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：圆圆解方程有错误， 正确解答为： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式1-1】（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 【变式1-2】（2024·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】解答过程有错误，正确的解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．正确掌握解方程的步骤是解题关键． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下： 去分母，得：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1-3】（2023·浙江杭州·一模）下面是圆圆解方程的过程． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请找出来，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，去分母时；去括号时；见解析． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，解题关键是掌握解一元一次方程的步骤． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误，去分母时；去括号时；正确解答过程如下： 原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 易错陷阱二：一元二次方程的概念及解法时忽略二次项系数为0 解方程失根 一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项 二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根 例2．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下： 解：       ① ，    ② ，       ③ ．        ④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)第②步开始出现错误 (2)见详解 【知识点】等式的性质、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）根据等式的基本性质求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：第②步开始出现错误；原②过程应改为，则或， （2）， ， 则， 或， 解得，． 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）若是方程的一个根，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程得到，得 解得，． 故选：D． 【变式2-2】（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 【变式2-3】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【答案】(1)两位同学均错 (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 易错陷阱三：解分式方程时忽略检验根的存在 分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）； ②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）； ③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解． 例3．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 【答案】从① 步开始出错，正确的解析过程见详解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：去分母时，等式两边的各项都要乘以公分母， ∴在去分母时应为：，故从①步开始出错； 正确的解析过程如下， 方程两边同时乘以，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴是原分式方程的解． 【变式3-1】（2024·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：有两个不同的解， 设另一个解是， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】（2024·浙江台州·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解法．先去分母，两边同时乘，化为整式方程后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：两边同时乘，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 【变式3-3】（2024·浙江·三模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程和分式方程的解法，正确掌握方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先把方程两边乘以，把分式方程转化为一元一次方程求解，然后进行验根即可． 【详解】（1）解： 或, 解得：，； （2） 两边同时乘以得： 解方程得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 易错陷阱四：已知分式方程的增根或无解 考虑不全面致错 一、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根； 二、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等； 易错提醒：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解 例4．（2023·浙江杭州·一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ，时，分式方程的解为 ． 【答案】 且 /2 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解出分式方程，根据解是非负数求出的取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时的值，得到答案再把代入求出，然后检验即可，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵原方程的解是非负数， ∴且， 解得：且； 当时，， 检验：当时，， 故此时原方程的解为， 故答案为：且；． 【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集、解分式方程 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 【变式4-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】或0 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得：，即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【变式4-3】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ． 【答案】1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到，分和两种情况，分别进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 当时，方程无解，故； 当时，时，分式方程无解， 则， ∴关于x 的方程无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 易错陷阱五：解一元二次方程时 运用根的判别式时带入错误 一、一元二次方程根的判别式:. （1）当时,原方程有两个不等的实数根; （2）当时,原方程有两个相等的实数根; （3）当时,原方程没有实数根. 二、求根公式：当时,方程的根为 易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定前面的性质符号． 例5．（2023·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根． (2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 【变式5-2】（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 易错陷阱六：解不等式时忽略了变号 端点取舍易错 一、不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 二、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解 易错提醒：（1）同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号的方向；（2）已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃 例6．（2024·浙江宁波·模拟预测）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步          …………………………第四步 不等式组的解是 ………………第五步 【答案】见解析 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解． 【详解】解：第三步， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解是． 【变式6-1】（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是象限点的坐标特征及解一元一次不等式组，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出的范围． 【详解】解：当点在第一象限时得出不等式组为， 解得：， 所以点不在第一象限时的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式6-2】（2024·浙江·三模）解不等式组 ，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，按照“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则写出不等式组得解集，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 用数轴表示为： 【变式6-3】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的不等式组： (1)当时，求该不等式组的解； (2)若该不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，解不等式组的解集的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解，再根据不等式的解集的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解； （2）根据不等式的性质求解，再根据不等式取值的方法可得解集，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，原不等式组为， 解得，， 解得，， ∴原不等式组的解为：； （2）解：， 解得，， 解得，， ∵该不等式组有且只有三个整数解，即，，， ∴， ∴的最大值为． 易错陷阱7：方程或不等式的应用 找错等量关系致错 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 例7．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【答案】(1)六条板凳总高度为 (2)运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设增加一条板凳将增高，根据五条板凳的总高度为列得，求出一条板凳的高度即可求出六条板凳的高度； （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞，列不等式求解． 【详解】（1）设增加一条板凳将增高，则，解得； 六条板凳总高度：. 答：六条板凳总高度为. （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞， ；解得． 答：运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞． 【变式7-1】（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．    (1)求a的值． (2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． (3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【答案】(1)4 (2)160人 (3)6 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为； 每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，建立等式解答即可． （2）设线段的解析式为，根据题意，得，解方程组，得到解析式，后计算当时的函数值即可． （3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解答即可． 本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为； 每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出， 余下人数为， 根据图象信息，得， 解得， 故a的值为4． （2）设线段的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故线段的解析式为， 当时， ， 故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160． （3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为； 故， 解得， 由x必需是正整数， 故至少开放6个窗口． 【变式7-2】（2023·浙江衢州·模拟预测）常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，品牌总花费元，单价元箱，品牌总花费元，单价元箱，其中品牌双柚汁比品牌多箱． (1)求品牌购进的数量； (2)该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市决定加大销售力度，对品牌按买箱送箱捆绑销售，品牌每箱降价元销售； ①用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额； ②若超市的总利润不低于元，求的最大值． 【答案】(1)100箱 (2)①元；②的最大值为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，能列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据题意，列分式方程解答即可； （2）①根据题意品牌售出一半，品牌售出前后，、品牌销售额加起即可； ②根据超市的总利润不低于元，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，品牌购进箱，品牌购进箱， 品牌双柚汁比品牌多箱， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 品牌购进箱； （2）解：①由（1）可知，品牌购进箱，品牌购箱， 品牌售出一半，即箱，每箱元共销售元，品牌售出即箱，每箱元共销售元， 品牌按买箱送箱， 剩余箱可凑个箱送箱，共销售元， 品牌每箱降价元销售，即每箱售价元， 剩余产品共销售元， 全部售完后的销售额元； ②由题意得： 解得：， 的最大值为10元． 【变式7-3】（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元 (2)总利润的最大值为元 (3)或 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、因式分解法解一元二次方程、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键． （1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可； （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：， 解得：（舍去）或， 经检验：是原方程的根； ∴； 答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元； （2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒， 由题意，得：， 解得：， ∴的最大整数解为：35， 设总利润为，则：， ∴当时，有最大值：； 故总利润的最大值为元． （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和， 由题意，得：， 解得：， ∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元， ∴， 整理，得：， ∵均为正整数， ∴或， ∴或． 一、单选题 1．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，比数轴上点A表示的数小3的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程和数轴，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 先设比数轴上点表示的数小3的数是，根据题意可列，求解即可． 【详解】解：设比数轴上点表示的数小3的数是， ∵数轴上点表示的数为1， ， 解得：， 故选：D． 2．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程的根判别式的值为， 所以， 解得． 故选：B． 3．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及数轴的表示，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出的解集为，由数轴可得不等式组的解集为，故另一个不等式的解集为，，再从选项出发求解即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴可得不等式组的解集为， ∴另一个不等式的解集为，， A、，，故本选项不符合题意； B、，，故本选项不符合题意； C、，，故本选项符合题意； D、，，故本选项不符合题意， 故选：C． 4．（2023·浙江宁波·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 5．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．将值代入等式中检验即可判断． 【详解】解：A．当时， ，不符合题意； B．当时， ，当时，，符合题意； C．当时， ，不符合题意； D．当时， ，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（2024·浙江·二模）不等式组的解是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀确定不等式组的解集． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 7．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相加求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 故答案为：． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 【答案】6 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题， 首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可． 【详解】 去分母得， 解得 ∴ ∴， ∴或 解得或 ∵关于x的方程的根满足， ∴或 解得（舍去），． 故答案为：6． 10．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． ①实数m的取值范围是 ； ②当时，实数m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，关键掌握“”以及“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；” ①根据列式求解即可； ②先将变形后，再根据根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：①关于x的二元一次方程有两个实数根和， ， ， 解得； 故答案为：． ②关于x的二元一次方程有两个实数根和， ， ，， 或， 当时，，解得， ， 不合题意舍去； 当时，， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【知识点】加减消元法、解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了解一元二次方程和解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题的关键. （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用加减法解二元一次方程组即可. 【详解】（1）解： 原方程可变为：， ∴， 则 ∴或 解得， （2） ①＋②得，， 解得，， 把代入①得，， 解得， ∴ 12．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组 （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组与解二元一次方程，正确求解是解题的关键； （1）分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：； （2）方程可化为：， 即或， 故． 13．（2024·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，，（答案不唯一）； (2)． 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2）根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）解：若关于的一元二次方程有实数根， ∴， ， ， ， 当或1时，这个方程有实数根， 当时，原方程为：， ， 或， ∴，； 当时，原方程为：， ， 解得，． （2）解：若关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 【答案】错误的步骤是①、②，正确解答见解析 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可． 【详解】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解为． 15．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 【答案】(1)分 (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出算式和方程是解题的关键． （1）先根据列出得分算式，然后再计算即可； （2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”列关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：小曹第一局的得分为（分）． 答：小曹第一局的得分14分． （2）解：由题意可得：，解得． 答：k的值为3． 16．（2024·浙江温州·三模）如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张． (1)求，两款野餐垫的租赁单价． (2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案． 【答案】(1)款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元 (2)最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张 【知识点】分式方程的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； （1）设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，根据是正整数，得出的范围，设提供人就坐，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解， ∴元， 答：款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元； （2）解：设租款野餐垫张，则租款野餐垫张， ∵是正整数， ∴ 设提供人就坐，根据题意得， ∴当取得最大值时，， ∴ 此时的租赁方案为：租款野餐垫张，则租款野餐垫张． 答：最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点03 方程（组）与不等式（组） 易错陷阱一：解一元一次方程时遇到括号易出错 解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变． 例1．（2023·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【变式1-1】（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【变式1-2】（2024·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【变式1-3】（2023·浙江杭州·一模）下面是圆圆解方程的过程． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请找出来，并写出正确的解答过程． 易错陷阱二：一元二次方程的概念及解法时忽略二次项系数为0 解方程失根 一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项 二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根 例2．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下： 解：       ① ，    ② ，       ③ ．        ④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）若是方程的一个根，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-2】（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【变式2-3】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 易错陷阱三：解分式方程时忽略检验根的存在 分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）； ②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）； ③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解． 例3．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 【变式3-1】（2024·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不同的解，其中一个解是，则该方程的另一个解是 ． 【变式3-2】（2024·浙江台州·二模）解方程：． 【变式3-3】（2024·浙江·三模）解下列方程： (1)； (2)． 易错陷阱四：已知分式方程的增根或无解 考虑不全面致错 一、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根； 二、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等； 易错提醒：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解 例4．（2023·浙江杭州·一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ，时，分式方程的解为 ． 【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【变式4-3】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ． 易错陷阱五：解一元二次方程时 运用根的判别式时带入错误 一、一元二次方程根的判别式:. （1）当时,原方程有两个不等的实数根; （2）当时,原方程有两个相等的实数根; （3）当时,原方程没有实数根. 二、求根公式：当时,方程的根为 易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定前面的性质符号． 例5．（2023·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根． (2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【变式5-2】（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 易错陷阱六：解不等式时忽略了变号 端点取舍易错 一、不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 二、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解 易错提醒：（1）同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号的方向；（2）已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃 例6．（2024·浙江宁波·模拟预测）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步          …………………………第四步 不等式组的解是 ………………第五步 【变式6-1】（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ． 【变式6-2】（2024·浙江·三模）解不等式组 ，并把解在数轴上表示出来． 【变式6-3】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的不等式组： (1)当时，求该不等式组的解； (2)若该不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 易错陷阱7：方程或不等式的应用 找错等量关系致错 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 例7．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【变式7-1】（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．    (1)求a的值． (2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． (3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【变式7-2】（2023·浙江衢州·模拟预测）常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，品牌总花费元，单价元箱，品牌总花费元，单价元箱，其中品牌双柚汁比品牌多箱． (1)求品牌购进的数量； (2)该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市决定加大销售力度，对品牌按买箱送箱捆绑销售，品牌每箱降价元销售； ①用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额； ②若超市的总利润不低于元，求的最大值． 【变式7-3】（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 一、单选题 1．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，比数轴上点A表示的数小3的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 3．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江宁波·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·浙江·二模）不等式组的解是 ． 7．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 10．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． ①实数m的取值范围是 ； ②当时，实数m的值为 ． 三、解答题 11．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 12．（2024·浙江温州·模拟预测）（1）解不等式组 （2）解方程： 13．（2024·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 15．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 16．（2024·浙江温州·三模）如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张． (1)求，两款野餐垫的租赁单价． (2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$