易错02 代数式、分式与二次根式（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错02 代数式、分式与二次根式 易错陷阱一、混淆代数式中各公式的应用 幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：； ③积的乘方：；④同底数幂的除法：. 完全平方公式： 平方差公式： 易错总结:整式的运算中，需要记忆的公式比较多，如：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、平方差公式等。前面三个公式常一起出选择题，做题中一定要分清楚对应公式，最好四个选项都判断完再做出选择。后两个公式常在整式的化简计算中出现，并且正向逆向应用都有可能，所以就更需要考生对这些公式有足够的熟悉才行 例1.（2024·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． ( 易错警示： 1 、整式的化简求值其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以需要多熟记去括号法则和合并同类项法则； 2 、平方差公式和完全平方公式可以正向应用，也可以逆向应用，出现对应格式，就往对应公式去想或凑； ) 【变式1-1】（2024·浙江·一模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 易错陷阱二、十字相乘法、因式分解的应用 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解 一般步骤： “一提”【提取公因式】:, “二套”【套用乘法公式】:平方差公式和完全平方公式 “三分组”【分组分解因式】: 多项式项数一般在四个及以上 “二次三项想十字”【十字相乘法】: 例2.（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解： ． ( 易错警示： 1 、由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算； 2 、分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；在提公因式时就需要把公因式提彻底； ) 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）因式分解： ． 【变式2-2】（2024·浙江·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ①              ②                ③ 小禾的检验： 当，时，                   ∵ ∴分解因式错误 任务： (1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 易错陷阱三、分式的分母不能为0 一、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子 二、分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 易错总结：求分式值时要主要到隐藏条件，即分式的分母不能为零，否则原分式无意义． 例3.（2024·浙江杭州·二模）若分式的值是0，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． ( 易错警示： 分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体= 0 即可；而分式值为 0 ，则需要分子= 0 的同时，满足分母≠ 0 ) 【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式3-3】（2024·浙江·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 易错陷阱四、分式的化简易出错 分式的基本性质只有乘除，没有加减，并且要同乘一个相同的非零代数式。分式混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分。 例4.（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ． ( 易错警示：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简 ) 【变式4-1】（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）小孙同学化简分式，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） 你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程． 【变式4-3】（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 易错陷阱五、二次根式有意义 二次根式:被开方数要使非负数。 易错总结：被开方数是非负数． 例5.（2024·浙江嘉兴·一模）二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． ( 易错警示： 分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体= 0 即可；而分式值为 0 ，则需要分子= 0 的同时，满足分母≠ 0 ) 【变式5-1】（2024·浙江台州·模拟预测）若式子有意义，则a的值可以是（    ） A．0 B．3 C．5 D．7 【变式5-2】（2024·浙江金华·二模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 易错陷阱六、二次根式的运算 1.二次根式的混合运算：乘方，乘除，加减顺序运算 2.最简二次根式的判断：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，以及分母中不含有根号的分式。学生常常会忽略这一点，导致答案错误 易错总结：最后一定要化成最简二次根式． 例6.（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． ( 易错警示： 分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体= 0 即可；而分式值为 0 ，则需要分子= 0 的同时，满足分母≠ 0 ) 【变式6-1】（2023·浙江台州·一模）计算：． 【变式6-2】（19-20八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式6-3】（2023·浙江嘉兴·二模）化简：，以下是小曹同学的解答过程． 思考并完成以下任务． 解：原式        ①                 ②                             ③ 任务： (1)小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因； (2)请尝试写出正确的化简过程． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江湖州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·一模）下列计算或变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 二、填空题 7．（2024·浙江·模拟预测）分解因式： ． 8．（2024·浙江·模拟预测）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 9．（2024·浙江温州·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ． 11．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且为正整数，则正整数a的值是 ． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，，则 ． 三、解答题 13．（2024·浙江舟山·一模）（1）计算： （2）因式分解： 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）（1）计算：． （2）因式分解：． 15．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中，． 16．（2024·浙江温州·一模）先化简，再求值：，其中 17．（2024·浙江杭州·二模）化简：． 圆圆的解答下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 18．（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 19．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 20．（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错02 代数式、分式与二次根式 易错陷阱一、混淆代数式中各公式的应用 幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：； ③积的乘方：；④同底数幂的除法：. 完全平方公式： 平方差公式： 易错总结:整式的运算中，需要记忆的公式比较多，如：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、平方差公式等。前面三个公式常一起出选择题，做题中一定要分清楚对应公式，最好四个选项都判断完再做出选择。后两个公式常在整式的化简计算中出现，并且正向逆向应用都有可能，所以就更需要考生对这些公式有足够的熟悉才行 例1.（2024·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． ( 易错警示： 1 、整式的化简求值其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以需要多熟记去括号法则和合并同类项法则； 2 、平方差公式和完全平方公式可以正向应用，也可以逆向应用，出现对应格式，就往对应公式去想或凑； ) 【变式1-1】（2024·浙江·一模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、去括号、幂的乘方运算、合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，去括号等知识点，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、去括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故选项不符合题意； B．，原计算错误，故选项不符合题意； C．，计算正确，故选项符合题意； D．，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项不合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、合并同类项、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则进行判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 易错陷阱二、十字相乘法、因式分解的应用 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解 一般步骤： “一提”【提取公因式】:, “二套”【套用乘法公式】:平方差公式和完全平方公式 “三分组”【分组分解因式】: 多项式项数一般在四个及以上 “二次三项想十字”【十字相乘法】: 例2.（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解本题的关键．直接提公因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． ( 易错警示： 1 、由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算； 2 、分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；在提公因式时就需要把公因式提彻底； ) 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法．先观察多项式的每一项，然后找出两项的公因式，再提取公因式，进行分解因式即可． 【详解】原式 故答案为： 【变式2-2】（2024·浙江·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式，以及单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，最后再把所给的a的值代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：， ， ， 将代入上式有， ． 【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ①              ②                ③ 小禾的检验： 当，时，                   ∵ ∴分解因式错误 任务： (1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)②，y与合并同类项计算错误 (2)，过程见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解时，减去时，合并同类项出错； （2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与合并同类项计算错误； 故答案为：②，y与合并同类项计算错误； （2）解：正确的因式分解过程如下： ． 易错陷阱三、分式的分母不能为0 一、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子 二、分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 易错总结：求分式值时要主要到隐藏条件，即分式的分母不能为零，否则原分式无意义． 例3.（2024·浙江杭州·二模）若分式的值是0，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】分式的值为0， ∴且． 解得：． 故选：A． ( 易错警示： 分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体= 0 即可；而分式值为 0 ，则需要分子= 0 的同时，满足分母≠ 0 ) 【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、分式有意义的条件 【分析】根据分式的定义中分式的分母不能为零即可解答．本题考查了分式的定义及解不等式，理解分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵要使分式有意义，则必须有 ， ∴， 故选． 【变式3-2】（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分母不为0分子为0，据此求解即可. 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， 故选：A 【变式3-3】（2024·浙江·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异分母分式加减法、约分 【分析】本题考查分式的基本性质，分式加减运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，分式加减运算法则，本题属于基础题型．根据分式的基本性质和分式加减运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 易错陷阱四、分式的化简易出错 分式的基本性质只有乘除，没有加减，并且要同乘一个相同的非零代数式。分式混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分。 例4.（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，并因式分解，再约分，然后将数值代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． ( 易错警示：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简 ) 【变式4-1】（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）小孙同学化简分式，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） 你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程． 【答案】小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的，正确解答见解析 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据题意找出错误重新计算即可． 【详解】解：小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的． 正确解答过程如下： 原式． 【变式4-3】（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【知识点】同分母分式加减法、分式的规律性问题 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【详解】（1）； ； （2）； （3） ∴． 易错陷阱五、二次根式有意义 二次根式:被开方数要使非负数。 易错总结：被开方数是非负数． 例5.（2024·浙江嘉兴·一模）二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． ( 易错警示： 分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体= 0 即可；而分式值为 0 ，则需要分子= 0 的同时，满足分母≠ 0 ) 【变式5-1】（2024·浙江台州·模拟预测）若式子有意义，则a的值可以是（    ） A．0 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，得，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 则a的值可以是7． 故选：D． 【变式5-2】（2024·浙江金华·二模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 【变式5-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于”和分式分母不为零进行计算即可得，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件． 【详解】解：由题意得，， 解得且， 故选：． 易错陷阱六、二次根式的运算 1.二次根式的混合运算：乘方，乘除，加减顺序运算 2.最简二次根式的判断：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，以及分母中不含有根号的分式。学生常常会忽略这一点，导致答案错误 易错总结：最后一定要化成最简二次根式． 例6.（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误； 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把和化简，再化为，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】解：小滨的解答过程有错误； 正确的解答过程: ． ( 易错警示： 分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体= 0 即可；而分式值为 0 ，则需要分子= 0 的同时，满足分母≠ 0 ) 【变式6-1】（2023·浙江台州·一模）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的平方根、二次根式的加减运算、零指数幂 【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂，再进行加法运算即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【变式6-2】（19-20八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【变式6-3】（2023·浙江嘉兴·二模）化简：，以下是小曹同学的解答过程． 思考并完成以下任务． 解：原式        ①                 ②                             ③ 任务： (1)小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因； (2)请尝试写出正确的化简过程． 【答案】(1)小曹的解答过程是从第①步开始出错的， (2)见解析 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据二次根式的性质可知解答即可； （2）根据二次根式的性质及二次根式的加减混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小曹的解答过程是从第①步开始出错的， 错误原因是：； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减混合运算法则，掌握二次根式的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式分母不为零逐项判断即可． 【详解】解：A、，分式有意义，符合题意； B、，当时，分式无意义，不符合题意； C、，当时，分式无意义，本选项不符合题意； D、时，分式无意义，本选项不符合题意， 故选：A． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，代入代数式化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2024·浙江湖州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，依据各个运算法则依次计算判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. ，原计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选D 5．（2024·浙江杭州·一模）下列计算或变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、异分母分式加减法、合并同类项、同类二次根式 【分析】本考查了分式的加减，二次根式的加减，积的乘方，合并同类项，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 提取公因式后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 原式 ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 二、填空题 7．（2024·浙江·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2024·浙江·模拟预测）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·浙江温州·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件为：分子为0，分母不等于0计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：1 ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了代数式的求值，由求得的值得到两个代数式的关系，并学会灵活运用是解决此题的关键．把，只需将、的值代入求得结果． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：． 11．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且为正整数，则正整数a的值是 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了已知字母的值求代数式的值，根据已知等式变形为，再根据要求得到，，且a是整数，再分别取a的整数值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为正整数，，a是正整数， ∴，且a是整数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为4． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，，则 ． 【答案】/0.6 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于，则，设，则，由可得，，利用勾股定理求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作于， 则， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2024·浙江舟山·一模）（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、平方差公式分解因式、零指数幂 【分析】本题考查实数，因式分解的知识，解题的关键是掌握实数的运算，，，即可． （1）根据平方根，立方根，，进行运算，即可； （2）根据公式法分解因式，，即可． 【详解】（1） ； （2） ． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）（1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（）；（）． 【知识点】实数的混合运算、综合提公因式和公式法分解因式、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（）先进行算术平方根，零指数幂运算和三角函数值的运算，再进行实数的运用即可； （）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可； 本题考查了算术平方根，零指数幂运算，三角函数值的运算及因式分解，熟练掌握运用法则是解题的关键． 【详解】解：（）， ， ； （） ， ． 15．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 16．（2024·浙江温州·一模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】 本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握分式的性质是解题关键．先对括号内通分，再将除法化为乘法，约分即可将分式化简，再将的代入，利用二次根式的混合运算法则计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（2024·浙江杭州·二模）化简：． 圆圆的解答下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】不正确， 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：圆圆的解答不正确， ． 18．（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、整式与分式相加减 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索． （1）由上述等式得，； （2）观察上面的等式可得规律，（n为正整数）； （3）计算是否等于． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴； （2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）； （3）证明： ， 因此归纳正确． 19．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 【答案】(1)②；④ (2)， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可； （2）先化简题中的代数式，再将的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④乘法对加法的分配律； 故答案为：②，④； （2）解： ， 当时，原式． 20．（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 【答案】(1)①1；②， (2)见解析 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减运算、规律型问题等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． （1）①根据分式的加法法则计算即可；②利用（1）得出的规律猜想出结论即可； （2）根据分式的加法法则计算即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ． 故答案为1． ②猜想： 故答案为：，． （2）证明：． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$