易错01 实数相关概念及其计算（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错01 实数相关概念及其计算 易错陷阱一：错误理解实数的有关概念 一、实数的分类： 二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。 三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 四、倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立 易错总结：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错； （2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0 例1.（2024·浙江温州·模拟预测）在，，，四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C． D． ( 易错警示：在实数的各种概念里， 0 都是比较特殊的存在，所以遇到理论型问题，都要多想一下 0 适不适用 ) 【变式1-1】（2024·浙江·模拟预测）有4个实数：，0， ，，其中负数是 （   ） A． B．0 C． D． 【变式1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）某日，哈尔滨、北京、西藏、杭州四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，中国古代用算筹记数，有纵式和横式两种．算筹记数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，数位从高到低．如257表示为，则3182可表示为（　　） A． B． C． D． 易错陷阱二、无理数的分类中容易多选或少选 实数的分类： 实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分。具体方法需牢记。 例2.（2024·浙江绍兴·二模）在，0，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． ( 易错警示：实数范围内，所有的分数都是指的有理数；但不是说所有带分数线的数都是分数，如： ) 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D．3.14 【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）下列计算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 易错陷阱三、数轴与实数 实数大小比较的常用方法： 1、根据性质比较：正负＞0＞负数； 2、数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大； 3、差量法：对于任意两个实数，若 例3.（2024·浙江嘉兴·三模）如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段上的是（    ） A． B． C． D．3 ( 易错警示：负数比较的时候要小心，画出数轴进行比较会更准确 ) 【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（   ） A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间 C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧 【变式3-2】（2024·浙江·一模）如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 易错陷阱四、实数的运算顺序错误 实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 例4.（2024·浙江湖州·模拟预测）计算：． ( 易错警示：在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号． ) 【变式4-1】（2024·浙江金华·模拟预测）计算：． 【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）计算：． 【变式4-3】（2024·浙江杭州·三模）计算：． 易错陷阱五、绝对值的化简易出错 1．定义：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作 2．绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 3．总结：（1）（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数.） （2）（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数.） 例5.如果，那么等于（　） A． B． C． D． ( 易错警示： 可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错 ) 【变式5-1】若x为实数，则的值一定（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则 ． 【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 易错陷阱六、混淆有效数字和精确度 一、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数． 二、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位 例6.（2024·浙江嘉兴·一模）年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． ( 易错警示：（ 1 ）科学计数法中 确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， 是负数 ； （ 2 ） 有效数字： 从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字 ) 【变式6-1】（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·浙江杭州·二模）由中国民航局获悉，2024年春运期间，全国民航日均运输旅客超过2086000人，数2086000用科学记数法表示为 ． 【变式6-3】（2023·浙江宁波·三模）神舟十八号载人飞船是中国载人航天工程发射的第十八艘载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量多吨，总高度近60米，于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功．截至目前，有关神舟十八号的相关浏览次数已高达次，将精确到万位并用科学记数法表示的结果为 ． 一、单选题 1．（2024·浙江湖州·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C．4 D．16 2．（2024·浙江温州·一模）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D．0 3．（2024·浙江·模拟预测）热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（ ） A．3 B．2 C． D． 4．（2024·浙江金华·模拟预测）2024年“五一”假期，金华市共接待游客429.6万人次，数429.6万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式的值等于的相反数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023·浙江宁波·一模）的绝对值是 ． 8．（2023·浙江宁波·模拟预测）请写出一个大于的无理数： ． 9．（2024·浙江杭州·一模）计算： ； ． 10．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是J市某日的天气预报，该日最高气温比最低气温高 ℃． 11．（2023·浙江·一模）若，则的值是 ． 12．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，，若，则的值为 ． 三、解答题 13．（2024·浙江台州·二模）计算：； 14．（2024·浙江·模拟预测）计算：． 15．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：． 16．（2024·浙江杭州·一模）计算：． 芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于4，求被污染的数字． 17．（2024·浙江·模拟预测）如图是小明一道题的计算过程： (1)请用下划线划出小明计算出错的地方． (2)请写出正确的计算过程． 18．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 19．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 20．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错01 实数相关概念及其计算 易错陷阱一：错误理解实数的有关概念 一、实数的分类： 二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。 三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 四、倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立 易错总结：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错； （2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0 例1.（2024·浙江温州·模拟预测）在，，，四个数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值和有理数的比较大小，根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可，正确连接绝对值的定义和比较有理数的大是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴绝对值最大的数是， 故选：． ( 易错警示：在实数的各种概念里， 0 都是比较特殊的存在，所以遇到理论型问题，都要多想一下 0 适不适用 ) 【变式1-1】（2024·浙江·模拟预测）有4个实数：，0， ，，其中负数是 （   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义、实数的性质 【分析】此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键，根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案． 【详解】解：在，0， ，中，是负数， 故答案为：A． 【变式1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）某日，哈尔滨、北京、西藏、杭州四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可判断，解题． 【详解】解：， ， 最低气温是， 故选：A． 【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，中国古代用算筹记数，有纵式和横式两种．算筹记数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，数位从高到低．如257表示为，则3182可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数； 根据个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横可得答案． 【详解】解：千位是横式的3； 百位是纵式的1； 十位是横式的8； 个位是纵式的2， 故选：A． 易错陷阱二、无理数的分类中容易多选或少选 实数的分类： 实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分。具体方法需牢记。 例2.（2024·浙江绍兴·二模）在，0，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的比较大小，算术平方根．先比较与的大小，进而可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． ( 易错警示：实数范围内，所有的分数都是指的有理数；但不是说所有带分数线的数都是分数，如： ) 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D．3.14 【答案】A 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的大小比较 【分析】本题考查比较实数的大小，先计算特殊角三角函数值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 最大的是， 故选A． 【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、特殊三角形的三角函数、求一个数的立方根、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂，特殊角的三角函数值，开方运算，无理数的识别，先化简各数，再根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在中，是无理数的是：； 故选D． 【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）下列计算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查绝对值、有理数的加法和乘法运算、算术平方根，根据运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A，，结果是正数，不合题意； B，，结果是正数，不合题意； C，，结果是负数，符合题意； D，，结果是正数，不合题意； 故选C． 易错陷阱三、数轴与实数 实数大小比较的常用方法： 1、根据性质比较：正负＞0＞负数； 2、数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大； 3、差量法：对于任意两个实数，若 例3.（2024·浙江嘉兴·三模）如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，2，则下列各数在数轴上对应的点落在线段上的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】实数的大小比较、实数与数轴 【分析】本题考查了实数的比较大小，数轴上点表示的数，理解比较方法：“正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．” 是解题的关键． 【详解】解：设线段上的点表示的数为， ， ， 故选：B． ( 易错警示：负数比较的时候要小心，画出数轴进行比较会更准确 ) 【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（   ） A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间 C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上点的特征，解不等式，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键．数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则有，进而可判断原点的位置． 【详解】解：∵数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b， ，a， ∴，即， ∴， ∴原点在B点的左侧． 故选：A． 【变式3-2】（2024·浙江·一模）如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、实数与数轴 【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据点的位置列出不等式组，再解这个不等式组即可． 【详解】∵位于数字1和2之间的点表示的数为， ∴， 解得： 故选：B． 【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查了数轴上点的特征，有理数的加减法，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【详解】解：A、原点在点A的左侧时，，符合题意； B、原点在A，B两点之间时，则，不符合题意； C、 原点在B，P两点之间，则，不符合题意； D、 原点在点P的右侧，则，不符合题意； 故选A． 易错陷阱四、实数的运算顺序错误 实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 例4.（2024·浙江湖州·模拟预测）计算：． 【答案】5 【知识点】实数的混合运算、化简绝对值、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】首先计算零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后计算加减． 此题考查了零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． ( 易错警示：在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号． ) 【变式4-1】（2024·浙江金华·模拟预测）计算：． 【答案】2 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值、算术平方根的知识化简，然后再运算即可． 【详解】解： ． 【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】（2024·浙江杭州·三模）计算：． 【答案】2 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值的求解，负整数指数幂，化简绝对值，二次根式性质化简，根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角三角函数等知识计算各项，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 易错陷阱五、绝对值的化简易出错 1．定义：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作 2．绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 3．总结：（1）（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数.） （2）（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数.） 例5.如果，那么等于（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】去括号、化简绝对值 【分析】本题考查的是化简绝对值，先判断，，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故选A ( 易错警示： 可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错 ) 【变式5-1】若x为实数，则的值一定（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化简绝对值 【分析】分当时，当时两类讨论即可作答． 【详解】当时，， 当时，， 综上：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了去绝对值的知识，注意分类讨论即可作答． 【变式5-2】若，则 ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、不等式的性质 【详解】本题考查了不等式的性质与绝对值的意义，解题的关键是熟知：①在不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变；②正数的绝对值是其本身． 根据不等式的性质与绝对值的意义进行变形与化简即可． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】b 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】由数轴可知：c＜0＜b＜a，从而得出c－a＜0，a－b＞0，然后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：c＜0＜b＜a ∴c－a＜0，a－b＞0， ∴ = = = 故答案为：b． 【点睛】此题考查的是利用数轴判断式子的符号和化简绝对值，掌握利用数轴判断式子的符号和绝对值的性质是解题关键． 易错陷阱六、混淆有效数字和精确度 一、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数． 二、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位 例6.（2024·浙江嘉兴·一模）年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的、值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．科学记数法的形式是，其中，为整数，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，据此解答即可． 【详解】解：万， 故选：A． ( 易错警示：（ 1 ）科学计数法中 确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， 是负数 ； （ 2 ） 有效数字： 从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字 ) 【变式6-1】（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式是解决本题的关键． 按照科学记数法的形式进行表示，其中对单位亿进行化简，即亿为9位数，可快速判断原数为几位数进行表示． 【详解】解：亿． 故答案为：C． 【变式6-2】（2024·浙江杭州·二模）由中国民航局获悉，2024年春运期间，全国民航日均运输旅客超过2086000人，数2086000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-3】（2023·浙江宁波·三模）神舟十八号载人飞船是中国载人航天工程发射的第十八艘载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量多吨，总高度近60米，于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功．截至目前，有关神舟十八号的相关浏览次数已高达次，将精确到万位并用科学记数法表示的结果为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法表示后，再利用四舍五入即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·浙江湖州·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是4， 故选C． 2．（2024·浙江温州·一模）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义：无理数是指无限不循环小数．根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项符合题意； B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； C．，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； D．0是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（2024·浙江·模拟预测）热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，上升记为，则下降记为，从而可得答案； 【详解】解：热气球上升5米记为， 那么下降3米应该记为． 故选：D． 4．（2024·浙江金华·模拟预测）2024年“五一”假期，金华市共接待游客429.6万人次，数429.6万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数429.6万用科学记数法表示为． 故选：B． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式的值等于的相反数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、负整数指数幂、两个有理数的乘法运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查实数的运算、相反数，先得到的相反数是2，再根据绝对值、负整数指数幂、有理数的乘法、算术平方根的运算法则计算各选项的值，进而可得答案． 【详解】解：的相反数是2， ∵，，，， ∴选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意， 故选：D． 6．（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、加减消元法 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意先求出和的值，从而可得，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：D． 二、填空题 7．（2023·浙江宁波·一模）的绝对值是 ． 【答案】43 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 【详解】∵， ∴的绝对值是43． 故答案为：43． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 8．（2023·浙江宁波·模拟预测）请写出一个大于的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了无理数比较大小，只需要写出一个大于的无理数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴大于的无理数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2024·浙江杭州·一模）计算： ； ． 【答案】 2 8 【知识点】绝对值的意义、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加减法及绝对值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 利用有理数的加减法即可得出答案；利用绝对值的性质解答即可． 【详解】解：，． 故答案为：2，8． 10．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是J市某日的天气预报，该日最高气温比最低气温高 ℃． 【答案】3 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算的应用，根据天气预报得出最高气温与最低气温，相减即可得出答案． 【详解】解：最高气温为：，最低气温，， 故答案为：3． 11．（2023·浙江·一模）若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数x，y，，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，据此可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2024·浙江台州·二模）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算．先算乘方，再算乘法，然后算减法即可． 【详解】解： ． 14．（2024·浙江·模拟预测）计算：． 【答案】4 【知识点】实数的混合运算、特殊三角形的三角函数、化简绝对值、零指数幂 【分析】先计算绝对值、特殊角三角函数、负整数指数幂、二次根式的化简，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、绝对值、特殊角三角函数、负整数指数幂、二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊三角形的三角函数、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、实数的性质及特殊角三角函数等知识，熟悉这些基础知识是关键；依次计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角三角函数值，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16．（2024·浙江杭州·一模）计算：． 芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于4，求被污染的数字． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）设，进而解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）由题意可得， 设， ， ， ， ， ， ， 即被污染的数字是． 17．（2024·浙江·模拟预测）如图是小明一道题的计算过程： (1)请用下划线划出小明计算出错的地方． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、求一个数的绝对值、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（1）根据解答过程即可判断求解； （2）根据实数的运算法则进行即可即可求解； 本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 18．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 19．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算、整式的加减中的化简求值 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 20．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 【答案】(1)3⊕5的值是19 (2)的值是否与的取值无关，证明见解析 【知识点】新定义下的实数运算、整式的混合运算 【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． （1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别． 【详解】（1）由题意得， 3⊕ ， 即3⊕5的值是19； （2）的值是否与的取值无关， 证明：由题意得， ⊕3 ； ⊕ ， ， 的值是否与的取值无关． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$