2024-2025学年下学期高二数学课时作业·6.3（第2课时）二项式系数的性质(人教A版选必三）

课时作业·6.3（第2课时）二项式系数的性质 1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　) A．8　　　　　　　　　 B．9 C．10 D．11 答案　C 解析　含x5的项是第6项，它是中间项，∴n＝10.故选C. 2.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是(　　) A．160 B．－160 C．240 D．－240 答案　A 解析　因为n＝6，为偶数，展开式共有7项，所以C63为最大的二项式系数． 所以的展开式中的二项式系数最大的项为C63·(x3)3·＝160x－9，其系数为160.故选A. 3．在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项的系数是(　　) A．330 B．462 C．682 D．792 答案　B 解析　∵本题中二项展开式中所有项的系数与对应的二项式系数相等，且二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11.∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C115＝C116＝462. 4．若(x＋3y)n的展开式的各项系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 答案　A 解析　(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知4n＝210，解得n＝5. 5．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中含x3的项的系数为(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 答案　C 解析　由题意得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2. ∴(2n)2－2n＝240，∴2n＝16，n＝4. 展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C4r·(5x)4－r·(－)r ＝(－1)r·C4r·54－r·x. 令4－＝3，得r＝2，则含x3的项的系数为C42×52×(－1)2＝150. 6．【多选题】若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中(　　) A．n＝8 B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第4项与第5项系数相等且最大 答案　BC 解析　由的二项展开式共有8项，可得n＝7，所以A错误；根据二项展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为27＝128，所以B正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4项和第5项的二项式系数最大，所以C正确；展开式的第4项为C73x4＝－35x，第5项为C74x3＝35x，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误．故选BC. 7．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n≥1，n∈N)，若a4>a5，且a4>a3，则a5＝________． 答案　56 解析　由(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n≥1，n∈N)， 可知ar＝Cnr，r＝0，1，2，…，n， 若a4>a5，且a4>a3，则a4是二项式系数最大的唯一一项，则n＝8， 所以a5＝C85＝56. 8．已知(3x＋1)6的展开式中各项系数的和为m，且n＝log2m，则的展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 答案　59 136 解析　设(3x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，令x＝1，得m＝(3＋1)6＝46＝212， 所以n＝log2m＝12，则的展开式有13项，且中间一项(第7项)的二项式系数最大， 该项为T7＝C126()6＝(－2)6C126x－3＝59 136x－3.故所求的系数为59 136. 9．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|. 解析　(1)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 令x＝0，得(0－3)4＝a0， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝1－81＝－80. (2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625. (3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626， 由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544. 10．给出下列条件：①展开式前三项的二项式系数的和等于37；②展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2；③所有偶数项的二项式系数的和为128. 选择其中一个补充在下面题目的横线上，并解答． 在的展开式中，________． (1)求的展开式中x的系数； (2)写出的展开式中二项式系数最大的项(不需要说明理由)． 解析　若选①，则Cn0＋Cn1＋Cn2＝37，即＋n＋1＝37，即n2＋n－72＝0，解得n＝8或n＝－9(舍去)． 若选②，则Cn2∶Cn1＝7∶2，解得n＝8. 若选③，则2n－1＝128，解得n＝8. 所以无论选择哪个条件，总有n＝8， 则的展开式的通项公式为Tr＋1＝C8r()8－r＝(－2)rC8rx. (1)令＝1，解得r＝2，所以T3＝C82(－2)2x＝112x，故展开式中x的系数为112. (2)因为展开式中一共含有9项，故第5项二项式系数最大，T5＝C84x－2(－2)4＝1 120x－2，即展开式中二项式系数最大的项为1 120x－2. 11．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为(　　) A．2n＋1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 答案　D 解析　令x＝1，则各项系数之和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2. 12．若(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－1 答案　D 解析　(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，令x＝0，得a0＝1，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1. 13．【多选题】设的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 答案　CD 解析　因为展开式的第5项为T5＝Cn4x－4，所以令－4＝1，解得n＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD. 14．若的展开式中常数项为10，则常数项的二项式系数为________，展开式的所有有理项中系数最大的项的系数为________． 答案　5　80 解析　的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5r·(ax2)5－r·＝C5r·a5－r·x， 令10－r＝0，解得r＝4，所以常数项为T5＝C54·a5－4＝10，得a＝2，常数项的二项式系数为C54＝5， 所以展开式的通项公式为Tr＋1＝C5r·25－r·x，由10－r∈Z，0≤r≤5， 可得r＝0，2，4，因此展开式中的所有有理项为T1，T3，T5，其中系数最大的项的系数为C52×23＝80. 15．记(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为(　　) A．1 B．2 C．129 D．2 188 答案　C 解析　在(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋…＋a7(1＋x)7中，令x＝0，得27＝a0＋a1＋…＋a7＝128.∵(2－x)7＝[3－(1＋x)]7，∴展开式中a7＝C77×30×(－1)7＝－1，∴a0＋a1＋…＋a6＝128－a7＝129.故选C. 16．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是(　　) A．9 B．10 C．36 D．45 答案　D 解析　由题意知第10行的数就是二项式(a＋b)10的展开式中各项的二项式系数，故第10行第9个数是C108＝C102＝45. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·6.3（第2课时）二项式系数的性质 1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　) A．8　　　　　　　　　 B．9 C．10 D．11 2.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是(　　) A．160 B．－160 C．240 D．－240 3．在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项的系数是(　　) A．330 B．462 C．682 D．792 4．若(x＋3y)n的展开式的各项系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 5．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中含x3的项的系数为(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 6．【多选题】若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中(　　) A．n＝8 B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第4项与第5项系数相等且最大 7．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n≥1，n∈N)，若a4>a5，且a4>a3，则a5＝________． 8．已知(3x＋1)6的展开式中各项系数的和为m，且n＝log2m，则的展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 9．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|. 10．给出下列条件：①展开式前三项的二项式系数的和等于37；②展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2；③所有偶数项的二项式系数的和为128. 选择其中一个补充在下面题目的横线上，并解答． 在的展开式中，________． (1)求的展开式中x的系数； (2)写出的展开式中二项式系数最大的项(不需要说明理由)． 11．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为(　　) A．2n＋1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 12．若(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－1 13．【多选题】设的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 14．若的展开式中常数项为10，则常数项的二项式系数为________，展开式的所有有理项中系数最大的项的系数为________． 15．记(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为(　　) A．1 B．2 C．129 D．2 188 16．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是(　　) A．9 B．10 C．36 D．45 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$