2024-2025学年下学期高二数学课时作业·6.2（第6课时） 排列组合的应用(人教A版选必三）

课时作业·6.2（第6课时） 排列组合的应用 1．某地为上海世博会招募了20名志愿者，他们的编号分别为1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是(　　) A．16　　　　　　　　　 B．21 C．24 D．90 答案　B 解析　要确保“5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号都小于5或都大于14，有两种情况：若5号与14号为两个较大的编号，则有C42种选法；若5号与14号为两个较小的编号，则有C62种选法．由分类加法计数原理，选取种数是C42＋C62＝6＋15＝21. 2．若登山运动员有10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A．30 B．60 C．120 D．240 答案　B 解析　第一步，将熟悉道路的4人平均分成两组，有种分法． 第二步，将另外6人平均分成两组，有种分法，∴共有··A22＝60种分配方法． 3．从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则这3个数的乘积能被12整除的取法有(　　) A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 答案　A 解析　由题意，取出来的3个数一定含有3，4或2，6或4，6，当取出来的3个数含有3，4时，则有C31＝3(种)，当取出来的3个数含有2，6时，则有C31＝3(种)，当取出来的3个数含有4，6时，有(2，4，6)，(3，4，6)，(4，5，6)，共3种，其中(2，4，6)，(3，4，6)在前两种情况中已经出现，所以这3个数的乘积能被12整除的取法有3＋3＋3－2＝7(种)． 4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为(　　) A．C93C63A33 B. C．C93C63C33 D．以上都不对 答案　C 解析　分配方案分三步完成：先从9名同学中选3人到数学学习小组，有C93种选法；再从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C63种选法；剩余的3名同学到化学学习小组，有C33种选法．根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有C93C63C33种． 5．江西省旅游产业发展大会期间，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为(　　) A．60 B．90 C．150 D．240 答案　C 解析　根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组， 若分为3，1，1的三组，有C53＝10种分法， 若分为2，2，1的三组，有＝15种分法， 则有10＋15＝25种分组分法； ②将分好的三组全排列，对应三个景点，有A33＝6种情况， 则有25×6＝150种分配方法．故选C. 6．将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为(　　) A．504 B．126 C．112 D．56 答案　D 解析　取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分，每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数，所以不同的分配方法的种数为C83＝56. 7．现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住，则不同的安排方法有________种． 答案　2 520 解析　3名女生需要住2个房间或3个房间．若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为C32C42A55，若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为C42A55，则不同的安排方法有C32C42A55＋C42A55＝2 520(种)． 8．已知10件产品中有两件次品，现逐一不放回地进行检验，直到两件次品全被检验出为止，则恰好在第五次次品全被检验出的不同检测方法有________种． 答案　2 688 解析　由题可知，第五次恰好检验到次品，且前四次中有一次检验到次品，且“五次检验”相当于从10件产品中有序地取出5件产品，共C83C21A44＝2 688种检测方法． 9．从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？ (3)两个偶数不相邻的四位数有几个？ (所有结果均用数字表示) 思路分析　(1)分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步乘法计数原理求解； (2)分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步乘法计数原理求解； (3)分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步乘法计数原理求解． 解析　(1)分三步完成： 第一步，取两个偶数，有C32种方法， 第二步，取两个奇数，有C32种方法， 第三步，将取出的四个数全排列，有A44种方法， 由分步乘法计数原理得，共能组成C32C32A44＝216个不同的四位数． (2)分三步完成： 第一步，取两个偶数，有C32种方法， 第二步，取两个奇数，有C32种方法， 第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有A22A33种方法， 由分步乘法计数原理得，共能组成C32C32A22A33＝108个不同的四位数． (3)分三步完成： 第一步，取两个偶数，有C32种方法， 第二步，取两个奇数，有C32种方法， 第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有A22A32种方法， 由分步乘法计数原理得，共能组成C32C32A22A32＝108个不同的四位数． 10．用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的数． (1)组成的三位偶数有多少个？ (2)组成的能被3整除的三位数有多少个？ (3)可以组成多少个比210大的三位数？ 解析　(1)个位是0时，有A42＝12(个)；个位是2时，有3×3＝9(个)；个位是4时，有3×3＝9(个)．故共有30个三位偶数． (2)能被3整除的三位数的数字组成共有0，1，2；0，2，4；1，2，3；2，3，4四种情况． ∴能被3整除的三位数共有C21×A22＋C21×A22＋A33＋A33＝20(个)． (3)当百位是2时，共有A21×A31＋2＝8(个)； 当百位是3时，共有A42＝12(个)； 当百位是4时，共有A42＝12(个)， 故比210大的三位数共有32个． 11．【多选题】为响应政府部门防控流感的号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是(　　) A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法 B．共有64种不同的安排方法 C．若甲、乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法 D．若该红十字会又计划为这三地支援20辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法 答案　AD 解析　若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，再将4人安排到这两个地方，有C32×(24－2)＝42种安排方法，A正确；安排甲、乙、丙、丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则有3×3×3×3＝81种安排方法，B错误；根据题意，需要将4人分为3组，若甲、乙在同一组，有1种分组方法，甲、乙所在的组不能去A地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A22＝2种情况，此时有2×2＝4种安排方法，若甲、乙不在同一组，有C42－1＝5种分组方法，甲、乙两人不能去A地，只能安排没有甲、乙的1组去A地，甲、乙所在的两组安排到B，C两地，有A22＝2种情况，此时有5×2＝10种安排方法，则一共有4＋10＝14种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入2个挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有C192＝171种安排方法，D正确．故选AD. 12．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　) A．8种 B．14种 C．20种 D．116种 答案　B 解析　按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱，则有C32·A22＝6种安排方案； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有C21·C43＝8种安排方案． 根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14种安排方案． 13．各数位数字之和等于6(数字可以重复)的四位数个数为________(请用数字作答)． 答案　56 解析　设a1，a2，a3，a4分别对应个位到千位上的数字，则a4∈N*，ai∈N(i＝1，2，3)且a1＋a2＋a3＋a4＝6，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1，先拿一个球装入a4，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于5个球3个板共占8个位置，选3个位置放板，故共有C83＝56(个)． 14．设有编号为1，2，3，4，5的5把锁和对应的5把钥匙．现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则共有________种不同的贴标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有________种不同的贴标签的方法．(本题两个空均用数字作答) 答案　120　31 解析　给5把钥匙贴标签等价于将五个数进行全排列，即有A55＝120种贴标签的方法． 有2把钥匙能打开贴有相同标签的锁，贴标签的方法有C52×2＝20(种)； 有3把钥匙能打开贴有相同标签的锁，贴标签的方法有C53×1＝10(种)； 有5把钥匙能打开贴有相同标签的锁，贴标签的方法有C55＝1(种)， ∴总共有20＋10＋1＝31种贴标签的方法． 15．某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 解析　方法一(板占位置模型)： 设4名乘客中分别有z1，z2，z3，z4个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则z1＋z2＋z3＋z4＝4，即问题转化为求方程z1＋z2＋z3＋z4＝4的非负整数解的组数，相当于4个1、3个板占位置，选3个位置放板即可，所以共有C73种方法． 每一种进站情况的4个位置由4个人去站，有A44种方法， 由分步乘法计数原理得不同的进站方案有A44C73＝840(种)． 所以一个4人小组进站的不同方案种数是840. 方法二(板插空模型)： 设4名乘客中分别有z1，z2，z3，z4个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则z1＋z2＋z3＋z4＝4，即z1＋1＋z2＋1＋z3＋1＋z4＋1＝8，令zi＋1＝ti，则问题转化为求方程t1＋t2＋t3＋t4＝8的正整数解的组数，相当于把8个1排成1列，放入3个隔板即可，共有C73种情况， 每一种进站情况的4个位置由4个人去站，有A44种方法， 由分步乘法计数原理得不同的进站方案有A44C73＝840(种)， 所以一个4人小组进站的不同方案种数是840. 16．6个人坐在一排10个座位上，问： (1)空位不相邻的坐法有多少种？ (2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ 思路分析　(1)利用插空法可求坐法的总数． (2)把4个空位看成两个不同元素，利用插空法可求坐法的总数． 解析　6个人坐一排有A66种坐法，6个人坐好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在7个“间隔”中，有C74种插法，故空位不相邻的坐法有A66C74＝25 200(种)． (2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72＝30 240(种)． 讲评　(1)解决排列组合的实际应用问题时，注意完成一件事情是分类还是分步． (2)对于不相邻问题，应该利用插空法来处理，注意根据题设条件确定插空的方法． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·6.2（第6课时） 排列组合的应用 1．某地为上海世博会招募了20名志愿者，他们的编号分别为1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是(　　) A．16　　　　　　　　　 B．21 C．24 D．90 2．若登山运动员有10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A．30 B．60 C．120 D．240 3．从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则这3个数的乘积能被12整除的取法有(　　) A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为(　　) A．C93C63A33 B. C．C93C63C33 D．以上都不对 5．江西省旅游产业发展大会期间，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为(　　) A．60 B．90 C．150 D．240 6．将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为(　　) A．504 B．126 C．112 D．56 7．现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住，则不同的安排方法有________种． 8．已知10件产品中有两件次品，现逐一不放回地进行检验，直到两件次品全被检验出为止，则恰好在第五次次品全被检验出的不同检测方法有________种． 9．从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？ (3)两个偶数不相邻的四位数有几个？ (所有结果均用数字表示) 10．用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的数． (1)组成的三位偶数有多少个？ (2)组成的能被3整除的三位数有多少个？ (3)可以组成多少个比210大的三位数？ 11．【多选题】为响应政府部门防控流感的号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是(　　) A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法 B．共有64种不同的安排方法 C．若甲、乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法 D．若该红十字会又计划为这三地支援20辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法 12．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　) A．8种 B．14种 C．20种 D．116种 13．各数位数字之和等于6(数字可以重复)的四位数个数为________(请用数字作答)． 14．设有编号为1，2，3，4，5的5把锁和对应的5把钥匙．现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则共有________种不同的贴标签的方法；若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有________种不同的贴标签的方法．(本题两个空均用数字作答) 15．某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 16．6个人坐在一排10个座位上，问： (1)空位不相邻的坐法有多少种？ (2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$