精品解析：江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题

2025年江西省上饶市余干县高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“椭圆的焦点在轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（ ） A. 25 B. 23 C. 21 D. 19 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使圆关于直线对称 B. 直线过定点 C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D. 当时，直线被圆所截弦长为2 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C. 若函数的最小正周期为，则 D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的最小值为 D. 当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式中的常数项为，则实数______. 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 14. 已知为数列的前项和，，，则的通项公式为______；令，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，边上的高为，求的周长． 16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点． （1）求的值； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 18. 已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为． （Ⅰ）若，求证：直线过定点； （Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值． 19. 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江西省上饶市余干县高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出. 【详解】，其共轭复数. 故选：A. 3. “”是“椭圆的焦点在轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在轴时，即可根据必要充分条件的定义求解. 【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得， 故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件， 故选：B 4. 某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（ ） A. 25 B. 23 C. 21 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】先根据百分位数的概念确定的值，再根据等差数列的性质求其平均数. 【详解】因为数列为公差为1的等差数列，且， 所以该组数据的分位数为，由. 根据等差数列的性质，它们的平均数为. 故选：A 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 6. 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列组合，先求出将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中的放法数，再求出4个凹槽与其放入小球编号互不相同的放法数，再利用对立事件的概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法， 4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有种放法， 所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是. 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切圆的性质与双曲线的定义，列式化简求解可得，进而求得离心率. 【详解】 设分别切内切圆于，则由双曲线的定义可得，即， 根据内切圆的性质可得， 故，两式相加化简可得，即，故. 故双曲线的离心率为. 故选：C 8. 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【详解】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数是解题关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使圆关于直线对称 B. 直线过定点 C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D. 当时，直线被圆所截弦长为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C. 若函数的最小正周期为，则 D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，即可根据余弦函数的单调性判断A，根据平移的性质，可得求出即可判断B，根据周期公式即可求判断C，由题可求得方程的根计算可判断D. 【详解】由可得， 对于A，当时，，当时，， 故在上单调递减，A正确； 对于B，将函数的图象向左平移得， 则，可得， 解得，故的最小值为5，B正确； 对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误； 对于D，当时，，由可得， 故， 则 ，故，因此，故D错误. 故选：AB 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的最小值为 D. 当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，点的轨迹为线段，证明平面即可判断选项A正确； 当时，点的轨迹为线段，由平面，得出三棱锥的体积为定值，所以选项B正确； 当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，由余弦定理可得选项C错误； 当，时，点为的中点，由，可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以选项D正确. 【详解】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，， 所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确； 对于B，如图所示，取、的中点、，当时， 点的轨迹为线段，，， 因为平面，所以到平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确； 对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内， 可知， 由余弦定理可得， 所以选项C错误； 对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，， 所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查空间几何体的线面关系、体积、轨迹等知识，考查空间想象能力与运算求解能力，考查直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式中的常数项为，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得， 代入通项公式可得，解得. 故答案为：1. 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的对称中心，即，化简不等式得到，然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可. 【详解】, 则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 即函数在上单调递增， ∴，即，∴， 即. 故答案为：. 14. 已知为数列的前项和，，，则的通项公式为______；令，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据的关系即可求解为等差数列，即可求解空1， 根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由可得， 当时，， 故， 化简可得，（）， 故为等差数列，且公差为1，故， ，故， 故， 故为等比数列且公比为，首项为， 故， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合二倍角公式求角. （2）根据，可求，根据正弦定理可得的数量关系，再结合余弦定理，可求的值，进而可求的周长. 【小问1详解】 由， 所以. 由正弦定理可得：，因为，所以. 所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，边上的高为， 所以. 根据正弦定理：. 由余弦定理：， 所以或（舍去），所以. 所以的周长为：. 16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点． （1）求的值； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用可确定点的位置，确定的值. （2）利用空间向量求二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求二面角的正弦. 【小问1详解】 取中点，连接，，因为三棱柱为正三棱柱，所以，，两两垂直. 故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为三棱柱为正三棱柱，且, 所以,，，，， 因为为的中点，所以. 所以，. 设平面的法向量为， 则， 取， 设，，即， 所以，. 因为点在平面内，所以， 所以. 所以. 【小问2详解】 由（1）得：，所以，又. 设平面的法向量为， 则，取. 设二面角的平面角为，则由图， 所以. 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果； （2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大于零，据此可求得取值. 【小问1详解】 已知， 根据求导公式，，， 可得， 因为曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，令 则， 若是的极小值点，则， 则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0， 这意味着在处的导数， 把代入得，解得； 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以恒成立，则在上单调递增， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值点； 当时，此时，令， 则，此时， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立， 则在上单调递增， 当时，，单调递减；当时，； 所以是的极小值点； 当时， 令，即，设， 则，整理得， 由一元二次方程求根公式， 因为，所以，， 存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减， 此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点； 综上的取值范围是. 18. 已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为． （Ⅰ）若，求证：直线过定点； （Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）设直线，联立与可得， 设,则， 故， 将代入抛物线方程中可得， 若，则， 化简可得， 故，故或， 当时，直线的方程为， 故，此时直线经过点，不符合题意，故舍去， 当时，直线的方程为， 故，此时直线经过点， 故直线过定点； （Ⅱ）6 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）联立直线与抛物线方程可得韦达定理，进而根据斜率公式，化简即可求解（Ⅰ），根据斜率关系可得，进而根据弦长公式以及点到直线的距离得面积的表达式，即可根据导数，求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 设，则， 根据可得，故， 【小问2详解】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）由于的纵坐标均不大于0，则， 由，则, 故， 则， 故， 则， 可得，故， 由（Ⅰ）知，故， 故，故， 故， 点到直线的距离为， 故， 记， 则， 当单调递增， 故当时，此时取最大值为9 故的面积的最大值6 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用条件概率的概率公式计算即可得解； （2）（I）由，运用导数研究其极大值即可.（II）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可. 【小问1详解】 记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率. 【小问2详解】 （I）由题意知，，， 则，令，得或1（舍）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，且极大值为. （II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为， 则， ， ， ， 所以， 令，即，整理得， 因为， 易知，所以，即， 又，所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出，，利用导数求极值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $