精品解析：内蒙古呼和浩特市第三十九中学金地校区2024-2025学年八年级上学期12月联考数学试卷

2024年12月联考 初二年级数学学科试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 3. 观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图的面积，再根据两幅图的面积相等即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图的面积为，右边一幅图的面积为， ∵两幅图的面积相等， ∴， 故选：B． 4. 如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数． 【详解】解：如图，连接并延长， ，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， ，， 即 ． 故选：． 【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算． 5. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 6. 定义：三角表示，表示，则的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP． 【详解】试题分析： 解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°， ∴∠SAP=∠RAP， 在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2， ∵AP=AP，PR=PS， ∴AR=AS，∴②正确； ∵AQ=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠QAP=∠BAP， ∴∠QPA=∠BAP， ∴QP∥AR，∴③正确； 没有条件可证明 △BRP≌△QSP，∴④错误； 连接RS， ∵PR=PS， ∵PR⊥AB，PS⊥AC， ∴点P在∠BAC的角平分线上， ∴PA平分∠BAC，∴①正确． 故答案为①②③． 故选A. 点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 10. 若是完全平方式，那么a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方式的性质：，可得出答案． 【详解】解：∵是完全平方式． ∴， 解得， 故答案为：． 11. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 【答案】##800度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为， ∴其余六个内角之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键． 12. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为32，则的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ， 的周长为32， ， ， 的周长， 故答案为：20． 13. 如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【详解】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 14. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 16. 如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确； 【详解】解：①∵平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确； ②由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若平分， ∴， ∵， ∴， ∴，与题干条件矛盾．故③错误. ④在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质. 三、解答题（共52分） 17. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法； （2）利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）先利用多项式乘多项式法则计算，然后合并同类项； （4）先算乘方，再算乘法，最后算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 19. 如图，已知，，． （1）画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，，； （2） 解：如图，点P即是所求作的点，． 【解析】 【分析】（1）先画出关于轴的对称点，再连接三点即可求解；根据点的坐标特点直接写出坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，则点P即是所求作的点，据此直接写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题是一道作图题，考查了点的坐标特征，点关于轴，关于轴的对称，最短路径，正确理解点关于轴，关于轴的对称特点是解本题的关键． 20. 如图，是的中点，．求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， 在和中， ， 【解析】 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 21. 如图，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明； （2）由（1）得，进而得出，证明，则，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ． 即， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22. 已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先根据，，可以求出，根据可以求出，根据等角对等边可以求出，再根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，从而可得的长为． 【详解】解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 23. “整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：． 解：原式 （1）以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解； （2）请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； （3）拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【答案】（1）；完全平方公式 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）根据解题过程可得解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用完全平方公式公式进行因式分解； （2）先把原式分组为，再仿照题中例子求解即可； （3）先把原式分组为，再仿照题中例子推出原式，据此证明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，以上例题解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用完全平方公式公式进行因式分解， 故答案为：；完全平方公式； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 证明： ， ∵n是自然数， ∴一定是偶数， ∴是偶数， ∴是奇数， ∴四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年12月联考 初二年级数学学科试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 3. 观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 6. 定义：三角表示，表示，则的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：______． 10. 若是完全平方式，那么a的值是________． 11. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 12. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为32，则的周长为_____． 13. 如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______． 14. 已知，，则____________． 15. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 16. 如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（共52分） 17. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，已知，，． （1）画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 20. 如图，是的中点，．求证：． 21. 如图，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接交于点，若，求的长． 22. 已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 23. “整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：． 解：原式 （1）以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解； （2）请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； （3）拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $