精品解析：内蒙古呼和浩特市第三十九中学金地校区2024-2025学年八年级上学期12月联考数学试卷

2024年12月联考 初二年级数学学科试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等； B、面积相等的两个三角形全等，说法错误； C、完全重合的两个三角形全等，说法正确； D、所有的等边三角形全等，说法错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念． 3. 观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图的面积，再根据两幅图的面积相等即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图的面积为，右边一幅图的面积为， ∵两幅图的面积相等， ∴， 故选：B． 4. 如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数． 【详解】解：如图，连接并延长， ，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， ，， 即 ． 故选：． 【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算． 5. 如与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式的乘法，利用多项式的乘法展开后合并同类项，根据与的乘积中不含x的一次项得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，与的乘积中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：A． 6. 定义：三角表示，表示，则的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP． 【详解】试题分析： 解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°， ∴∠SAP=∠RAP， 在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2， ∵AP=AP，PR=PS， ∴AR=AS，∴②正确； ∵AQ=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠QAP=∠BAP， ∴∠QPA=∠BAP， ∴QP∥AR，∴③正确； 没有条件可证明 △BRP≌△QSP，∴④错误； 连接RS， ∵PR=PS， ∵PR⊥AB，PS⊥AC， ∴点P在∠BAC的角平分线上， ∴PA平分∠BAC，∴①正确． 故答案为①②③． 故选A. 点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 10. 若是一个完全平方式，则实数的值为___________ 【答案】##或8##8或 【解析】 【分析】根据完全平方式的一般形式求解即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， , 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键． 11. 若七边形内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 【答案】##800度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为， ∴其余六个内角之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键． 12. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为32，则的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ， 周长为32， ， ， 的周长， 故答案为：20． 13. 如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【详解】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 14. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 16. 如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确； 【详解】解：①∵平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确； ②由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若平分， ∴， ∵， ∴， ∴，与题干条件矛盾．故③错误. ④在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质. 三、解答题（共52分） 17. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法； （2）利用单项式乘多项式法则计算即可； （3）先利用多项式乘多项式法则计算，然后合并同类项； （4）先算乘方，再算乘法，最后算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10． 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 将代入得：． 【点睛】本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键． 19. 如图，已知，，． （1）画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析，， （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）先画出关于轴的对称点，再连接三点即可求解；根据点的坐标特点直接写出坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，则点P即是所求作的点，据此直接写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，，； 【小问2详解】 解：如图，点P即是所求作的点，． 【点睛】本题是一道作图题，考查了点的坐标特征，点关于轴，关于轴的对称，最短路径，正确理解点关于轴，关于轴的对称特点是解本题的关键． 20. 如图，是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 21. 如图，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明； （2）由（1）得，进而得出，证明，则，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ． 即， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22. 已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先根据，，可以求出，根据可以求出，根据等角对等边可以求出，再根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，从而可得的长为． 【详解】解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 23. “整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：． 解：原式 （1）以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解； （2）请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； （3）拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【答案】（1）；完全平方公式 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）根据解题过程可得解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用完全平方公式公式进行因式分解； （2）先把原式分组为，再仿照题中例子求解即可； （3）先把原式分组为，再仿照题中例子推出原式，据此证明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，以上例题解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用完全平方公式公式进行因式分解， 故答案为：；完全平方公式； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 证明： ， ∵n是自然数， ∴一定是偶数， ∴是偶数， ∴是奇数， ∴四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年12月联考 初二年级数学学科试卷 满分：100分 考试时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 完全重合两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等 3. 观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 如与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 6. 定义：三角表示，表示，则的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：______． 10. 若是一个完全平方式，则实数的值为___________ 11. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 12. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为32，则的周长为_____． 13. 如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______． 14. 已知，，则____________． 15. 如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是__________． 16. 如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（共52分） 17. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，，． （1）画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 20. 如图，是的中点，．求证：． 21. 如图，，垂足分别，． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接交于点，若，求的长． 22. 已知，如图，在中，，，，交于点，，求线段的长． 23. “整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：． 解：原式 （1）以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解； （2）请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； （3）拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$