第7章 相交线与平行线 复习课&综合复习&聚焦中考-2024-2025学年新教材七年级下册数学同步辅导（人教版2024）

复习课 典例精析 【例1】(1)如图7-1，已知 ①互补的两个角不能都是锐角： 在三角形ABC中，∠ACB=90°， ⑤相等的角都是直角： CD⊥AB于点D,能表示点到直 ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是 线的距离的线段有 条： 图7-1 对顶角. (2)如图7-2，根据图形找出能使AD∥BC 思路分析：因为①②不是对某一事情作出 成立的题设： 判断的句子，所以①②不是命题：在③④⑤⑥四 (至少写三个)： 个命题中，③④⑥都是真命题，⑤是假命题 解：①②都不是命题，③④⑤⑥都是命题， ③④⑥是真命题，⑤是假命题. 【例3】如图7-5，∠ADE ∠B,∠EDC=∠BGF,GF⊥ 图7-2 图7-3 图7-4 AB,垂足为F,直线AB与CD (3)如图7-3，∠1的同位角有 ,内 互相垂直吗？请说明理由， 图7-5 错角有 ,同旁内角有 (每个角 思路分析：要判断AB⊥CD,需要求出其中 至少写一个)： 一个角等于90°，由于GF⊥AB,则会产生90°的 (4)如图7-4，等边三角形ABC沿边AB方 角；又∠ADE=∠B,∠EDC=∠BGF,所以能 向平移到三角形BDE的位置，则图中∠CBE 够得到直线平行，从而得到角相等. °，连接CE后，线段CE与AD的关系 解：AB⊥CD.理由如下： 是 因为∠ADE=∠B(已知)， 答案：(1)5 所以DE∥BC(同位角相等，两直线平行). (2)∠4=∠ABC,∠1=∠2，∠5+∠ABC= 所以∠EDC=∠DCB(两直线平行，内错角 180(答案不唯一) 相等). (3)∠A∠AED ∠BED或∠CED或 因为∠EDC=∠BGF(已知)， ∠DBC或∠DBE 所以∠DCB=∠BGF(等量代换). (4)60CE∥AD且CE=2AD 所以CD∥GF(同位角相等，两直线平行). 所以∠GFB=∠CDB(两直线平行，同位角 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是 相等) 命题，是真命题还是假命题？ 因为GF⊥AB(已知)， ①画直线AB: 所以∠GFB=90(垂直的概念). ②两条直线相交，有几个交点？ 所以∠CDB=90°（等量代换）. ③若a∥b,b∥c,则a∥c: 所以AB⊥CD(垂直的概念). 综合复习 一、选择题 相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线 1.下列说法正确的是() A.有且只有一条直线垂直于已知直线 A.a户最长 B.b户最长 B.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C.c户最长 D.一样长 叫作这点到这条直线的距离 二、填空题 C.互相垂直的两条线段一定相交 1.把命题“平行于同一条直线的两条直线互相 D.直线外一点A与直线上各点连接而成的 平行”改写成“如果……那么…”的形式为 所有线段中最短线段的长是3cm,则点A 到该直线的距离大于3cm 2.如图7-10.已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4 2.如图7-6中，某同学的家在P处，他想尽快赶 到附近公路边，他选择PC路线，用几何知识 解释其中的原理是( A.两点之间，线段最短 B.经过两点有且只有一 条直线 C.两点确定一条直线 图7-10 图7-11 D.垂线段最短 图7-6 3.如图7-11，将一条对边互相平行的长方形纸 3.如图7-7，下列说法错误的是( 带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD,若 A.∠A和∠B是同旁内角 CD∥BE,且∠1=56°，则∠2 B.∠C和∠3是同位角 4.如图7-12，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕 C.∠1和∠3是内错角 湖而过，如果第一次拐的角∠A=120°，第二 D.∠A和∠3是内错角 图7-7 次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C,这 4.如图7-8，已知O是直线AB上一点，∠1 时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平 40°，OD平分∠BOC,则∠2的度数是( 行，则∠C等于 A.20° B.25 C.30 D.709 图7-12 图7-13 图7-8 图7-9 5.如图7-13，直线4∥l2,AB⊥1，垂足为点O, BC与l相交于点E,若∠1=43°，则∠2= 5.如图7-9，有a,b,c三户家用电路接入电表， 三、解答题 3.如图7-16，直线AB和CD被直线MN所截， 1.如图7-14，假定每个小正方形的边长为1个单 EG平分∠BEF,FH平分∠DFE.∠1与∠2 位长度，请将图中的帆船（阴影部分）向左平移 满足什么条件时，AB∥CD? 4个单位长度，再向上平移2个单位长度。 图7-16 图7-14 4.如图7-17，已知∠ABC+∠ACB=120°，BO 2.如图7-15，点P是∠ABC内一点. CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，DE (1)画图： 过点O与BC平行，求∠BOC的度数， ①过点P画BC的垂线，垂足为D: ②过点P画BC的平行线交AB于点E, 过点P画AB的平行线交BC于点F: (2)∠EPF等于∠B吗？为什么？ 图7-17 P R 图7-15 聚焦中考 1.(北京市)如图7-18，直线AB和CD相交于 6.(重庆市)如图7-23，直线a∥b,直线m与 点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的 a,b相交，若∠1=115°，则∠2的度数为() 大小为( A.115° B.105 C.75 D.65 A.29 B.32 C.45 D.58 7.(湖南省衡阳市)如图7-24，已知AB∥CD, AF交CD于点E,且BE⊥AF,∠BED= 40°，则∠A的度数是( ) A.40 B.50 C.80° D.90 图7-18 图7-19 2.(湖北省)如图7-19，一条公路的两侧铺设了 AB,CD两条平行管道，并有纵向管道AC连 通.若∠1=120°，则∠2的度数是() A.50°B.60° C.70 D.80 图7-24 图7-25 3.(吉林省)如图7-20，如果∠1=∠2，那么AB∥ 8.(江苏省苏州市)如图7-25，直线AB与CD CD,其依据可以简单说成( 相交于点O,∠AOC=5°，∠1=25°，则∠2 A.两直线平行，内错角相等 的度数是() B.内错角相等，两直线平行 C.40 D.50 C.两直线平行，同位角相等 A.25 B.30 D.同位角相等，两直线平行 9.(北京市)如图7-26，点O在直线AB上， OC⊥OD.若∠AOC=120°，则∠BOD的大小 为( A.30° B.40° C.50° D.60 图7-20 图7-21 4.(北京市)如图7-21，利用工具测量角，则∠1 的大小为() A.30° B.60 C.120 D.150° 图7-26 图7-27 5.(河南省)如图7-22，乙地在甲地的北偏东 10.(山西省)如图7-27，Rt△ABC是一块直角 50°方向上，则∠1的度数为( 三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°.直尺 A.60° B.50 C.40 D.30° 的一边DE经过顶点A,若DE∥CB,则 ∠DAB的度数为() A.100°B.120° C.135° D.150° 0 11.(浙江省杭州市)如图7-28，已知AB∥CD, 图7-22 图7-23 点E在线段AD上（不与点A,D重合），连 接CE,若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A= 16.(湖南省益阳市)如图7-33，EF∥BC,AC () 平分∠BAF,∠B=80°.求∠C的度数. A.10°B.20° C.30° D.40 图7-33 图7-28 图7-29 12.(山东省潍坊市)如图7-29是小亮绘制的潜 望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与 CD平行，入射光线1与出射光线m平行.若 入射光线1与镜面AB的夹角∠1=40°10'， 则∠6的度数为( A.100°40 B.9980' C.99°40 D.99°20 13.(广东省广州市)如图7-30，直线1分别与直 17.(湖北省武汉市)如图7-34所示，在四边形 线a,b相交，a∥b,若∠1=71°，则∠2的度 ABCD中，AD∥BC,∠B=80°. 数为 (1)求∠BAD的度数： (2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD= 50°.求证：AE∥DC, 图7-30 图7-31 14.(浙江省温州市)如图7-31，直线AB,CD 图7-34 被BC所截，若AB∥CD,∠1=45°，∠2 35°，则∠3= 度 15.(江苏省盐城市)如图7-32，点D,E分别在 AB,BC上，DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°， 则∠2= 图7-32.∠DCM=∠EGM,∴.CD∥AB. 平长度与竖直长度的和相等，所以三户所 (2)解：∠EMC=2∠ENC,证明如下： 用电线一样长。 由折叠的性质可得： 二、1.如果两条直线平行于同一条直线，那么 ∠GEN=∠FEN,∠DCN=∠GCN, 这两条直线互相平行 由(1)可得CD∥AB, 2.121 .∠DCM=∠EGM,∠NDC=∠GEN, 3.68°点拨：如答图7-1，延长BC到点F, ,∠EMC=180°-∠EMG=∠MEG+ ∠EGM=2∠NDC+2∠DCN=2(∠NDC+ ∠DCN),∠ENC=18O°-∠CND=∠NDC+ ∠DCN, '.∠EMC=2∠ENC. 答图7-1 活动2 ,纸带对边互相平行，∠1=56°， 2.C ∴.∠4=∠3=∠1=56°， 3.解：(1)如答图①所示 由折叠可得，∠DCF=∠5， (2)如答图②所示（答案不唯一）. .'CD∥BE ∴.∠DCF=∠4=56°， .∠5=56°， ∴.∠2=180°-∠DCF-∠5=180°-56° 答图 56°=68°. 复习课 4.150°5.133 【综合复习】 三、1.解：平移后的图形如答图7-2所示. 、1.B 2.D点拨：某同学的家在P处，他想尽快赶 到附近公路边，他选择PC路线，用几何知 识解释其原理是垂线段最短，故选D. 3.D4.D 5.D点拨：因为a,b,c三户家用电路接入电 答图7-2 表，相邻电路的电线等距排列，所以将a向 点拨：作图题先找特殊点，然后顺次连接 右平移，将c向左平移，可知三条折线的水 起来. 2.解：(1)如答图7-3所示， .∠OBC=∠DOB,∠OCB=∠EOC, ①直线PD即为所求. .∠DOB+∠EOC=∠OBC+∠OCB= ②直线PE,PF即为所求 60°， 点拨：画垂线和平行线是直 答图7-3 ∴.∠BOC=180°-（∠DOB+∠EOC)= 线，不要画成线段或射线， 120°. (2)∠EPF=∠B.理由如下： 【聚焦中考】 ,PE∥BC,.∠AEP=∠B. 1.B2.B3.D 又，PF∥AB,∴.∠EPF=∠AEP, 4.A点拔：本题考查对顶角的性质.由答图 ∴.∠EPF=∠B. 7-4知，∠2=30°，.∠1=∠2=30°，故 3.解：当∠1与∠2互余时，AB∥CD.理由如 选A. 下：，EG平分∠BEF,FH平分∠DFE, ∴.∠BEF=2∠1，∠DFE=2∠2.若∠1与 ∠2互余，即∠1十∠2=90°，则2∠1十 2∠2=180°，即∠BEF+∠DFE=180°， .AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 答图7-4 点拔：数学题求解，在说理的过程中，从题 5.B 目的结论出发，分析所要说明的结论能成 6.A 点拔：本题考查平行线的性质.直线 立必须具备的是哪些条件，再看这些条件 a∥b,∴.∠2=∠1=115°，故选A. 成立又必须具备什么条件，直到追溯到已 7.B点拨：本题考查平行线的性质、垂直的 知条件为止，这种思考方法叫作分析法.此 定义、三角形的内角和定理.AB∥CD 题利用“逆向思维”—欲要满足AB∥ ∴.∠BED=∠B=40°.又，BE⊥AF, CD,则必须找到∠BEF+∠DFE=180°， ∴.∠AEB=90°.在△ABE中，∠A=180° 再根据其他已知条件便可找到∠1与∠2 90°一40°=50°，故选B. 满足的条件。 8.D9.A10.B11.C 4.解：，BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的 12.C点拨：本题考查光的反射的性质、平行 平分线， 线的性质、平角的定义.由题知，∠1=∠2= ·∠OBC=2∠ABC,∠OCB=2∠ACB. 4010'.,AB∥CD,.∠3=∠2=4010'， ∴.∠4=∠3=4010'，.∠6=180°-∠4 又，∠ABC+∠ACB=120°， ∠3=9940'，故选C. ∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= 13.109°14.8015.70° 16.解：.EF∥BC,∠B=80°， 2×120-60. .∠BAF=180°-∠B=100°. ,DE∥BC, ,AC平分∠BAF, ÷∠CAF=2∠BAF=50 8.(1)x=土4(2)x=±3 【素养提升】 ,EF∥BC, 1.D2.A3.C ∴.∠C=∠CAF=50°. 17.(1)解：AD∥BC, +.(1)±11(2)±0.06(3)±5 (4)±10 ∴.∠B+∠BAD=180°. 5.解：(1)x=士8 ,∠B=80°， (2)25x2=36,r2=36. 25x=±6 1 .∠BAD=100°. (3)(x十3)2=49，x十3=±7，x=4或x= (2)证明：AE平分∠BAD, -10. .∠DAE=50°..AD∥BC, (4)(2x-1)2=9,2x-1=士3，x=2或x=-1. ∴.∠AEB=∠DAE=50°. .∠BCD=50°，∴∠BCD=∠AEB. 【综合探究】 ∴.AE∥DC. 1.解：根据题意，得(2a一1)+(a一5)=0，解 得a=2. 第几章 实数 .这个非负数为(2a-1)2=(2×2-1)2=9. 2.解：(1)，正数m的两个平方根互为相反数， 8.1平方根 ∴.2n+1+4-3n=0. 第1课时平方根 解得n=5,.2n十1=11， 【基础过关】 .m=112=121. 1.C2.D3.B4.B (2)由(1)得n=5, 5.(1)19(2)-12(3)±号 .|a-4+√b+(c-n)2=0, .a-4=0,b=0,c-n=0, 6.0-1 .a=4,b=0,c=n=5, 7.解：(1)因为0.25是正数，所以0.25有两 .a+b+c=4+0+5=9, 个平方根，士√0.25=士0.5. .a十b十c的平方根是士3. (2)因为（一7）=49是正数，所以（一7）3有 第2课时 算术平方根 两个平方根，士√（一7）严=士√49=士7. 【基础过关】 (3)因为一42=一16是负数，所以一42没有 1.B 平方根。 2.C点拨：A项中√(-5)产=√25=5，B项中 (④因为2芳-酷是正数，所以2芳有两个 D项电+品√ 平方根，±225 、14 -V25 5 3.C点拨：√16=4，因为2=4，所以4的算