第七章 复数的运算（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数的运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高三上·河北·阶段练习）已知复数，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）已知，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025高三下·浙江·阶段练习）已知，若（i为虚数单位）是实数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025高一·全国·课后作业）已知复数和复数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 7．（2025高一·全国·课后作业）复数,,i为虚数单位,则的最大值为 A． B． C． D． 8．（2025·河北衡水·模拟预测）复数.若，则（    ）的值与a、b的值无关. A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三下·湖北·阶段练习）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一下·重庆南岸·阶段练习）下列命题为真命题的是（     ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则 D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·天津·一模）i是虚数单位，则为 . 13．（2025高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： ． 14．（2025高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设复数、满足，，，则 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·上海·课堂例题）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 16．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知复数，，i为虚数单位． (1)若，求z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 17．（2025高一下·全国·课后作业）已知复数，，求： （1）； （2）. 18．（24-25高二下·河南·期中）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 19．（2025高一下·上海·课后作业）已知复数. （1）设，求； （2）若，求实数､. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数的运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高三上·河北·阶段练习）已知复数，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 【详解】解：是纯虚数， 则，解得. 故选：D. 2．（2025高一下·全国·专题练习）已知，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限． 故选：C 3．（2025高三下·浙江·阶段练习）已知，若（i为虚数单位）是实数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】化简复数即得解. 【详解】解：是实数，，∴， 故选：B 4．（2025高一·全国·课后作业）已知复数和复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用复数的乘法运算法则结合两角和的正弦、余弦公式可计算出的值. 【详解】. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了两角和的正弦、余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．（2025·江苏常州·模拟预测）已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由的性质、除法运算和复数的几何意义可得答案. 【详解】因为复数， 所以复数z在复平面内所对应的点为， 该点位于第三象限. 故选：C． 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p,q即可求解. 【详解】因为复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根， 所以也是方程的一个根， 故，即， 所以， 故选：C 【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题. 7．（2025高一·全国·课后作业）复数,,i为虚数单位,则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先表示出，再利用辅助角公式及三角函数的性质计算即可. 【详解】解：, . 故选： 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模，辅助角公式的应用及三角函数的性质，属于中档题. 8．（2025·河北衡水·模拟预测）复数.若，则（    ）的值与a、b的值无关. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a、b关系，再依次判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， ，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，即的值与a、b的值无关. 故选：A. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】将直接展开运算即可. 【详解】∵，∴，∴ 故选：AC. 10．（2025高三下·湖北·阶段练习）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用复数的模及除法运算求解. 【详解】因为， 所以， 则，，， 故选：AC 11．（2025高一下·重庆南岸·阶段练习）下列命题为真命题的是（     ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则 D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确. B选项，，B选项错误. C选项，为纯虚数，所以，C正确. D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确. 故选：ACD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·天津·一模）i是虚数单位，则为 . 【答案】 【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用模的公式计算. 【详解】,, 故答案为： 【点睛】本题考查复数的除法运算和模的计算，利用复数的除法运算化简是关键，注意分子分母同乘以分母的共轭复数，并利用复数的乘法运算法则化简. 13．（2025高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提公因式以及公式法，将其进行因式分解. 【详解】因为， 令，则， 所以， 故， 故答案为：. 14．（2025高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设复数、满足，，，则 ． 【答案】 【分析】设，，根据复数的模长公式以及复数相等可得出，通过计算可得出，即可得解. 【详解】设，， 则，即， 所以，， ， 因此，. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·上海·课堂例题）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】 【分析】由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解. 【详解】解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为， 所以， 所以，解得. 16．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知复数，，i为虚数单位． (1)若，求z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由复数除法运算化简求出，即可得出共轭复数； （2）先求出，根据象限列出不等式即可求出. 【详解】（1）由，所以； （2）由题意，复数，，则，     ∵复数在复平面上对应的点在第一象限， ∴解得， ∴实数a的取值范围． 17．（2025高一下·全国·课后作业）已知复数，，求： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）算出，，然后可算出； （2）利用复数的除法运算算出答案即可. 【详解】， （1） （2） 18．（24-25高二下·河南·期中）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【详解】（1）． （2）把代入，得， 整理得，所以，解得. 19．（2025高一下·上海·课后作业）已知复数. （1）设，求； （2）若，求实数､. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）求出的共轭复数，代入化简，再求； （2）根据，得到，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知，， ， . （2）， ， ，解得. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$