第12讲 空间直线、平面的平行（5大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第12讲 空间直线、平面的平行 目录 题型归纳 1 题型01 判断线面平行 3 题型02 证明线面平行 8 题型03 补全线面平行的条件 14 题型04 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 18 题型05 判断面面平行 23 题型06 证明面面平行 25 题型07 补全面面平行的条件 31 题型08 面面平行证明线线平行 37 题型09 面面平行证明线面平行 41 分层练习 45 夯实基础 45 能力提升 54 知识点01直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 知识点02直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 知识点03平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 知识点04平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 知识点05三种平行关系的转化 题型01判断线面平行 【例1】（23-24高一下·河北·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D．若直线，和平面满足，；则 【答案】C 【知识点】异面直线的判定、判断线面平行 【分析】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项. 【详解】选项A中缺少l在平面外这一条件，A错误； 选项B，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c异面、平行、相交都有可能，B错误； 选项C，若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故C正确； 选项D，缺少b不在平面内，D错误． 故选：C． 【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为梯形 C．平面且为菱形 D．平面且为平行四边形 【答案】B 【知识点】判断线面平行 【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可. 【详解】在平面内，， ． 又平面平面， 平面． 又在平面内， 分别是的中点， ． 又， ． 在四边形中，且， 四边形为梯形． 故选：B． 【变式2】（20-21高一下·山东济南·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为边，上的点，且，又，分别为，的中点，则下列结论正确的是 （请填写正确命题的序号） ①平面；②平面； ③平面；④平面． 【答案】①②③ 【知识点】判断线面平行 【分析】根据题意，，，进而根据线面平行的判定定理即可得答案. 【详解】解：∵ 在中，， ∴， 又∵ 平面，平面，平面，平面 ∴ 平面；平面； ∵，分别为，的中点， ∴ ， 又∵平面，平面， ∴ 平面 ∴， ∴ 四边形是梯形， ∴与必相交， ∵平面， ∴与平面有公共点，即与平面不平行. 综上，正确的是：①②③ 故答案为：①②③ 【变式3】（21-22高一下·重庆·期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割： (1)试在棱PC上确定一点G，使得平面ABG； (2)过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值. 【答案】(1)PC上靠近C的四等分点为G (2) 【知识点】棱锥中截面的有关计算、判断线面平行 【分析】（1）依据线面平行判定定理去确定点G； （2）先画出截面确定H点的位置，再去求的值. 【详解】（1）由已知得，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足， 所以，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有， 则根据三角形相似，必有，又平面ABG，平面ABG 则有平面ABG （2）延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N， 连接FN，交PD于H， 由（1）可得，由，可得， 由可得， 在三角形PCD中，取，连接FK，则， 又，则，则. 题型02 证明线面平行 【例2】（23-24高一下·河南郑州·期中）已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断线面平行、证明线面平行 【分析】作出平面和平面的交线图，结合中位线定理即可得解. 【详解】设，连接， 而平面，平面， 则平面平面， 作出平面和平面的交线如图所示： 另一方面：由正方形的性质可知分别是的中点， 从而，同理有， 对比选项可知与平面和平面的交线平行的直线. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、证明线面平行 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·北京·期中）如图所示，在正方体中，点是边的中点，动点在直线（除、两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是 ．（写出满足条件的所有顶点） 【答案】 【知识点】证明线面平行、判断线面平行 【分析】选取正方形八个顶点中的一个与构成一个平面，只需该平面与有交点即可. 【详解】由题意知，平面必定经过正方形的顶点. 下面分析正方体除点外的顶点，满足题意的正方体的顶点与确定的平面必然与直线相交，且交点不为，显然顶点都不符合题意. 现在分析顶点，如下图1： 连接，设.连接.因为为的中点，所以，又平面，所以，故不符合题意； 根据正方体的特征，并且结合下面的图2和图3可知，平面、平面分别和直线相交与，所以符合题意； 综上，平面可能经过的该正方体的顶点是， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）得平面，由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 题型03 由集合间的关系求参数范围 【例3】（22-23高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【答案】 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】根据线面平行的判断，即可补全. 【详解】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即. 故答案为： 【变式1】（21-22高一下·吉林长春·期末）有下列三个命题，在______处都缺少同一个条件，补上这个条件使各命题构成真命题（其中l，m为不同的直线，，为不同的平面），则此条件为 ； ①；②；③． 【答案】 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】根据空间直线和平面的位置关系补充条件即得解. 【详解】解：① ； ②； ③. 故答案为： 【变式2】（21-22高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点. (1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？ (2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求. 【答案】(1)G为中点时，平面平面； (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面平行、补全线面平行的条件 【分析】（1）G为中点时，先证平面，再证平面，即可证得平面平面； （2）由，结合平面得即可求得. 【详解】（1） G为中点时，平面平面，理由如下：连接，取的中点，连接， 因为E，F分别是的中点，则，平面，平面，则平面， 同理可得，平面，平面，则平面， 又，平面，则平面平面； （2）由F是的中点得，又，平面，平面，则平面， 又点M是线段上的一个动点，则， 则，则. 【变式3】（20-21高一下·湖北·期中）如图，在四棱锥中，直线垂直于平面，，且. （1）求四棱锥的体积. （2）在上是否存在点F，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【知识点】锥体体积的有关计算、补全线面平行的条件 【分析】（1）利用锥体体积公式，即可求解. （2）分别取的中点E，F，连接.得到四边形是平行四边形，所以,即可求解. 【详解】解：（1）如图，过点D作，交于点M，则. 因为，所以四边形是平行四边形， 所以. 因为，所以，所以. 则四边形的面积为. 由题意可知是四棱锥的高，则该四棱锥的体积为. （2）分别取的中点E，F，连接. 因为E，F分别是的中点，所以. 由（1）可知，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 故存在点F，使得平面，此时， 题型04 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【例4】（20-21高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 【变式1】（20-21高一下·江苏南通·期中）四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，证明MN//PA，再借助比例式即可作答. 【详解】四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O， 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得， 连接MN，如图， 因平面，平面，平面平面， 因此得，于是得， 所以实数t的值为. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 题型05 判断面面平行 【例5】（23-24高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断面面平行 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行的性质与判定逐个选项分析即可． 【详解】若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误； 若，，则或相交，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确． 故选：D. 【变式1】（22-23高一下·陕西西安·期中）已知a，b为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，其中正确的命题为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】C 【知识点】判断面面平行、判断线面平行 【分析】对于A，，与b平行或异面；对于B，，与b相交、平行或异面；对于C，由线面平行的判定定理得：，，；对于D，，或. 【详解】a，b为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面， 对于A，，与b平行或异面，故A错误； 对于B，，与b相交、平行或异面，故B错误； 对于C，由线面平行的判定定理得：，，，故C正确； 对于D，，或，故D错误. 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·浙江·期中）若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（    ） A．若，，那么 B．若，，那么 C．若，，那么 D．若，，那么 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断面面平行 【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可. 【详解】当，时，可以相交，故选项A不正确； 当，时，，可以是异面直线，因此选项B不正确； 当，时，存在这一情况，所以选项C不正确； 根据面面平行的性质可知选项D正确， 故选：D 【变式3】（20-21高一下·吉林延边·阶段练习），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】判断线面平行、判断面面平行 【分析】根据空间中，直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】A项：若，，则或，故选项A不正确； B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确； C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确； D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确. 故选：C. 题型06 证明面面平行 【例6】（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】证明面面平行 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·吉林长春·期中）在棱长为2的正方体中，若在线段和线段上分别取点E，F，使得直线平面，则EF的长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】过作与平面平行的平面，结合矩形的特征建立函数关系，求出函数最小值即得. 【详解】过点作棱的平行线，分别交于点，连接， 平面，平面，则平面，又平面， 平面，于是平面平面， 而平面平面，平面平面，因此， 设，则，， 又四边形为矩形，则， 当且仅当时取等号，所以EF的长的最小值为. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为 ． 【答案】 【知识点】证明面面平行 【分析】通过作图得到截面，再利用直四棱柱的结构特征，求出截面各条边长的长度，最后求得截面面积. 【详解】取的中点记， 在上取一点，使得，连接， 作图得：是直线的中点， ∴，又平面，平面,∴平面， 又， 则，又平面，平面,∴平面， 又且平面， ∴平面平面， 又三点都在直四棱柱表面， 平面就是所得截面， ，由勾股定理得：，， 为等腰三角形， 过点作底边的高，记为，由勾股定理得， . 故答案为： 【变式3】（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【详解】（1）如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 题型07 补全面面平行的条件 【例7】（21-22高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【知识点】补全面面平行的条件 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 【变式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 【变式2】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 【变式3】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 题型08 面面平行证明线线平行 【例8】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【知识点】判断正方体的截面形状、面面平行证明线线平行 【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】平面的基本性质的有关计算、面面平行证明线线平行 【分析】根据题意，利用面面平行的性质，证得，得到，结合，即可求解. 【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，所以， 可得，所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·重庆·期中）给出以下四个命题： ①斜棱柱的侧面展开图一定是一个平行四边形； ②若直线与直线异面，且平面，则与的位置关系是平行或相交； ③如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线也平行于该平面； ④若正方体的截面形状是四边形，则该四边形必有一组边平行. 其中正确的命题是 .（填写序号）. 【答案】④ 【知识点】判断线面平行、面面平行证明线线平行 【分析】利用反例说明①②③，利用正方体的性质及面面平行的性质判断④. 【详解】对于①：斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后， 那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形，故①错误； 对于②：若直线与直线异面，且平面，则与的位置关系是平行或相交或， 故②错误； 对于③：如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线平行于该平面或在该平面内， 故③错误； 对于④：若正方体的截面形状是四边形，则截面必与相对的两个平面相交， 又正方体中相对的两个平面互相平行，由面面平行的性质可知，这两条交线必平行， 即该四边形必有一组边平行，故④正确. 故答案为：④ 【变式3】（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．    (1)当时，求证平面； (2)若平面平面，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】面面平行证明线线平行、证明线面平行 【分析】（1）欲证平面，只需证与平面内一直线平行，当时，为线段的中点，作出辅助线，证明出，满足定理所需条件； （2）根据平面与平面平行的性质定理可知，同理，根据比例关系即可求出所求． 【详解】（1）如图，当时，为线段的中点， 连接交于点O，连接．    由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以点O为的中点． 在中，点O、分别为、的中点， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）由已知，平面平面，且平面平面，平面平面． 因此，同理． ∴，． 又∵， ∴，即． 题型09 面面平行证明线面平行 【例9】（20-21高一下·天津东丽·期中）已知直线，平面，，如果，，那么与平面的位置关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】A 【知识点】判断线面平行、面面平行证明线面平行 【分析】本题首先可根据面面平行的相关性质以及得出平面内的所有直线都与平面平行，然后根据即可得出结果． 【详解】因为，所以平面内的所有直线都与平面平行， 因为，所以与平面的关系是， 故选：A． 【变式1】（20-21高一下·山西运城·期中）在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】由分别取棱､的中点M､N，连接MN，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度． 【详解】如图所示，分别取棱､的中点M､N，连接MN，连接， ∵M､N､E､F为所在棱的中点，∴，，∴， 又平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF， 连接NF，由，，，，可得，，则四边形ANFB为平行四边形，则， 而平面BDEF，平面BDEF，则平面BDEF. 又，∴平面平面BDEF. 又P是上底面内一点，且平面BDEF， ∴P点在线段MN上.又，∴P点的轨迹长为. 【变式2】（22-23高一下·江苏无锡·期中）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是 ．    【答案】 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】构造与平面平行的平面，得出点轨迹，在中计算的范围即可． 【详解】连接，，取的中点，的中点，连接，，， 则，，所以， 因为， ， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为，所以平面平面， 平面，的轨迹为线段． ，， 当时，取得最小值， 当与（或重合时，取得最大值．． 故答案为：．    【变式3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在，，上．如图，若Q满足，则点满足什么条件时，平面． 【答案】为中点，证明见解析 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】当为中点时，取中点，根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】当为中点时，平面， 证明如下：连接交于点，连接，取的中点，取的中点，连接、、， 四边形为平行四边形，为中点，为中点，，为中点，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 平面，平面. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一下·广西南宁·期末）在空间中，直线∥面，直线平面，则（    ） A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面 【答案】D 【分析】由线面线线的位置关系可得答案. 【详解】直线∥面，直线平面，可知，m与n平行或异面． 故选：D 2．（21-22高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，，有可能，A错误； 对于B，，有可能异面，B错误； 对于C，，有可能，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确． 故选：D 3．（22-23高一下·陕西·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与相交 C．若，则与平行 D．若，则不可能相交 【答案】D 【分析】根据直线与平面，平面与平面平行的判定和性质逐项进行判断即可求解. 【详解】若，则与可能平行或异面，错误，D正确； 若，则与平行或相交，B错误； 若，则与可能平行或相交，C错误. 故选：D. 4．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知直线和平面，则成立的一个充分条件是（    ） A．存在一条直线且 B．存在一条直线且 C．存在一个平面且 D．存在一个平面且 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定方法，结合选项可得答案. 【详解】在A，B，D中，均有可能，错误， 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，C正确， 故选：C. 二、多选题 5．（20-21高一下·广东深圳·期中）正方体，以下直线不和平面平行的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】ABD 【分析】根据线面平行的判定定理判断各选项. 【详解】对于A，平面，则直线与平面不平行,故A正确； 对于B，同选项，故B正确； 对于C，，平面，平面，可证平面，故C不正确；； 对于D，同选项，故D正确；. 故选：ABD. 6．（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 7．（20-21高一下·天津河东·期末）如图，，，，，则CD与EF的位置关系为 ． 【答案】 【分析】由线面平行的性质有，根据线面平行的判定可得，最后再由线面平行的性质即可得. 【详解】∵，，， ∴，又，， ∴，又，， ∴. 故答案为： 8．（20-21高一下·浙江·期末）如图，三棱锥中，M是的中点，E是的中点，点F在线段上，满足平面，则 ． 【答案】1:3 【分析】取的中点，连接，，，得到，再根据比例关系可得. 【详解】取的中点，连接，，， 可知，又平面， 从而可得平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又为的为中点，为的为中点， 所以. 故答案为：1：3. 四、解答题 9．（22-23高一下·河北石家庄·期中）在直三棱柱中，已知D为的中点. 求证：平面.       【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】证明：连接交于点，连接，如下图所示：    在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，因此，平面. 10．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）连接与交于点O，连接，根据三角形中位线的性质可得,再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）利用面面平行证明，再根据线面平行的判定定理即可证明； 【详解】（1）证明：如图，连接与交于点O，连接 在三棱柱中，侧面为平行四边形， 所以O为的中点， 又因为点M为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：在三棱柱中， 平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 11．（23-24高一下·四川眉山·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1），通过证明，得证平面； （2）证明平面，由线面平行的性质定理证明. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为是平行四边形，故为中点， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面平面，平面， 所以. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·福建三明·期中）已知a，b为两条直线，为两个平面，则下列结论正确的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对A，注意判断的情况； 对B，结合线面平行的性质即可判断； 对C，讨论a，b的相交情况，即可判断； 对D，注意判断的情况 【详解】对A，，则或，A错； 对B，，由线面平行的性质易得，存在，故，则，故，B对； 对C，，则当时，；当，则或相交，C错； 对D，，则或，D错， 故选：B 2．（22-23高一下·河南洛阳·期中）在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】取的中点E，的中点F，连接，证明在同一平面内，且四边形为等腰梯形，证明平面平面，即可确定答案. 【详解】根据题意，取的中点E，的中点F，连接， 则，所以，且, 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形, 故选：D 3．（22-23高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案. 【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， 因为，平面，平面， 所以， 因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分， 所以，， 所以且， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键. 4．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为菱形，利用菱形面积公式即可求得结果为. 【详解】根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：    易知，且，所以四边形是平行四边形； 即，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面； ，平面， 所以平面平面平行， 即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面； 显然，，且，； 所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积； 易知，所以其面积为. 故选：B 二、多选题 5．（20-21高一下·山东聊城·期中）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（    ） A．∥ B．∥面 C．∥面 D．三棱锥的体积不变 【答案】BCD 【分析】对于AB，由面面平行的性质分析判断，对于C，由线面平行的判定结合正方体的性质分析判断，对于D，由和∥分析判断. 【详解】对于A，因为平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥，所以当为的中点时，才有∥，所以A错误， 对于B，因为平面∥平面，平面，所以∥面，所以B正确， 对于C，由选项A同理可得∥，因为平面，平面，所以∥面，所以C正确， 对于D，因为由选项C可知∥，因为平面，平面， 所以∥平面，所以点到平面为常数， 因为三角形的面积为常数，所以为定值， 因为，所以三棱锥的体积不变，所以D正确， 故选：BCD. 6．（23-24高一下·河南新乡·期末）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平面 【答案】ABD 【分析】利用面面平行的性质结合线面平行的判定定理逐个选项判断即可. 【详解】因为平面平面， 平面与平面和平面的都相交，是交线， 所以，故A正确； 因为长方体， 所以平面平面，而平面与这两个平行平面的都相交， 是交线，所以，故B正确， 如图，连接，此时平面与平面和平面的都相交， 是交线，所以， 而， 所以， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以与不平行， 故C错误； 如图，连接，由长方体性质得面面， 此时平面与这两个平面的都相交，是交线， 所以， 又因为面，面， 所以平面， 故D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（22-23高二上·上海徐汇·期末）正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 . 【答案】18 【分析】把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积即可． 【详解】解：如图，把截面补形为四边形， 连接，由正方体可得，可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形， 由正方体的棱长为4，得，， ，则到的距离即等腰梯形的高为， 所求截面的面积为， 故答案为：18． 8．（22-23高一下·宁夏银川·期中）在三棱锥中，，，为上一点，，过点作三棱锥的一个截面，，，则截面的周长为 ． 【答案】10 【分析】根据得到为的中点，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，即可得到平面为截面，根据三角形中位线的性质求出线段，即可得解. 【详解】因为，所以，又为上一点，所以为的中点， 取的中点，的中点，的中点，连接、、、， 则且，且， 所以且，所以为平行四边形， 同理可证且， 又过点作三棱锥的一个截面，，， 所以平面即为截面， 又，，所以、， 所以截面周长为. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再运用线面平行的判定定理证明即可. （2）运用正方体性质，结合勾股定理求出涉及边长，再用余弦定理和面积公式求出各个面的面积，即可得到表面积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，连接，正方体的棱长为1. 根据正方体性质，得，. ． 在中，用余弦定理，得到， 则， 则. 同理可以求得，且． 则三棱锥的表面积为. 10．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）根据线面平行得出三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即． 又平面平面 平面 （2）为矩形 又平面平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 12．（22-23高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 空间直线、平面的平行 目录 题型归纳 1 题型01 判断线面平行 3 题型02 证明线面平行 5 题型03 补全线面平行的条件 6 题型04 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 8 题型05 判断面面平行 9 题型06 证明面面平行 10 题型07 补全面面平行的条件 11 题型08 面面平行证明线线平行 13 题型09 面面平行证明线面平行 15 分层练习 16 夯实基础 16 能力提升 20 知识点01直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 知识点02直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 知识点03平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 知识点04平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 知识点05三种平行关系的转化 题型01判断线面平行 【例1】（23-24高一下·河北·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D．若直线，和平面满足，；则 【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为梯形 C．平面且为菱形 D．平面且为平行四边形 【变式2】（20-21高一下·山东济南·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为边，上的点，且，又，分别为，的中点，则下列结论正确的是 （请填写正确命题的序号） ①平面；②平面； ③平面；④平面． 【变式3】（21-22高一下·重庆·期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割： (1)试在棱PC上确定一点G，使得平面ABG； (2)过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值. 题型02 证明线面平行 【例2】（23-24高一下·河南郑州·期中）已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 【变式2】（22-23高一下·北京·期中）如图所示，在正方体中，点是边的中点，动点在直线（除、两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是 ．（写出满足条件的所有顶点） 【变式3】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 题型03 由集合间的关系求参数范围 【例3】（22-23高一下·江西·期末）在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是 . 【变式1】（21-22高一下·吉林长春·期末）有下列三个命题，在______处都缺少同一个条件，补上这个条件使各命题构成真命题（其中l，m为不同的直线，，为不同的平面），则此条件为 ； ①；②；③． 【变式2】（21-22高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点. (1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？ (2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求. 【变式3】（20-21高一下·湖北·期中）如图，在四棱锥中，直线垂直于平面，，且. （1）求四棱锥的体积. （2）在上是否存在点F，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型04 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【例4】（20-21高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【变式1】（20-21高一下·江苏南通·期中）四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【变式3】（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 题型05 判断面面平行 【例5】（23-24高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】（22-23高一下·陕西西安·期中）已知a，b为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，其中正确的命题为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【变式2】（22-23高一下·浙江·期中）若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（    ） A．若，，那么 B．若，，那么 C．若，，那么 D．若，，那么 【变式3】（20-21高一下·吉林延边·阶段练习），是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 题型06 证明面面平行 【例6】（23-24高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（23-24高一下·吉林长春·期中）在棱长为2的正方体中，若在线段和线段上分别取点E，F，使得直线平面，则EF的长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为 ． 【变式3】（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 题型07 补全面面平行的条件 【例7】（21-22高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【变式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【变式2】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【变式3】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 题型08 面面平行证明线线平行 【例8】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（23-24高一下·重庆·期中）给出以下四个命题： ①斜棱柱的侧面展开图一定是一个平行四边形； ②若直线与直线异面，且平面，则与的位置关系是平行或相交； ③如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线也平行于该平面； ④若正方体的截面形状是四边形，则该四边形必有一组边平行. 其中正确的命题是 .（填写序号）. 【变式3】（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．    (1)当时，求证平面； (2)若平面平面，求的值，并说明理由． 题型09 面面平行证明线面平行 【例9】（20-21高一下·天津东丽·期中）已知直线，平面，，如果，，那么与平面的位置关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【变式1】（20-21高一下·山西运城·期中）在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（22-23高一下·江苏无锡·期中）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是 ．    【变式3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在，，上．如图，若Q满足，则点满足什么条件时，平面． 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高一下·广西南宁·期末）在空间中，直线∥面，直线平面，则（    ） A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面 2．（21-22高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·陕西·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与相交 C．若，则与平行 D．若，则不可能相交 4．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知直线和平面，则成立的一个充分条件是（    ） A．存在一条直线且 B．存在一条直线且 C．存在一个平面且 D．存在一个平面且 二、多选题 5．（20-21高一下·广东深圳·期中）正方体，以下直线不和平面平行的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 三、填空题 7．（20-21高一下·天津河东·期末）如图，，，，，则CD与EF的位置关系为 ． 8．（20-21高一下·浙江·期末）如图，三棱锥中，M是的中点，E是的中点，点F在线段上，满足平面，则 ． 四、解答题 9．（22-23高一下·河北石家庄·期中）在直三棱柱中，已知D为的中点. 求证：平面.       10．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 11．（23-24高一下·四川眉山·期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一下·福建三明·期中）已知a，b为两条直线，为两个平面，则下列结论正确的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（22-23高一下·河南洛阳·期中）在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 3．（22-23高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（20-21高一下·山东聊城·期中）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（    ） A．∥ B．∥面 C．∥面 D．三棱锥的体积不变 6．（23-24高一下·河南新乡·期末）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平面 三、填空题 7．（22-23高二上·上海徐汇·期末）正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 . 8．（22-23高一下·宁夏银川·期中）在三棱锥中，，，为上一点，，过点作三棱锥的一个截面，，，则截面的周长为 ． 四、解答题 9．（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 10．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 12．（22-23高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$