第六章 平面向量及其应用（能力提升卷）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024·海南·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）已知O是所在平面内一点，且，那么（    ） A．点O在的内部 B．点O在的边上 C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部 3．（2025高一·全国·课后作业）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·辽宁沈阳·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·假期作业）如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距.此船的航速是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·课后作业）如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一下·四川绵阳·开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一下·四川成都·期末）设锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二上·全国·课后作业）(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一下·江苏泰州·开学考试）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C．边长为的正方形中 D．若点为的重心，则 11．（24-25高二上·福建福州·期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一下·上海·课后作业）设与的夹角为60°，，，则 ． 13．（2025高一下·四川成都·阶段练习）中，a，b，c分别是的对边，，则 . 14．（24-25高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面内两个不共线的向量，. （1）求； （2）求与的夹角. 16．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，. (1)用、表示向量、； (2)若向量与共线，求的值. 17．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 18．（2025高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 19．（2025高一下·上海·阶段练习）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． (1)求扇形空地AOB的周长和面积； (2)当米时，求PQ的长； (3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024·海南·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出的坐标，再通过可求出的坐标. 【详解】 又因为， 所以， 故选：D. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算，是基础题. 2．（2025高一·全国·课后作业）已知O是所在平面内一点，且，那么（    ） A．点O在的内部 B．点O在的边上 C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部 【答案】D 【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案. 【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部． 故选：D 3．（2025高一·全国·课后作业）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为，, 所以，故正确； 对于B，因为,(为中点)，故错误； 对于C，因为(为中点), (为中点), 所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故正确. 故选：B. 4．（2024高二·辽宁沈阳·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用正弦定理可求解. 【详解】，， ， 由正弦定理得， . 故选：B. 5．（2025高二·全国·假期作业）如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距.此船的航速是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先设航速为，计算AB长度，再利用正弦定理列关系即求得. 【详解】设航速为 在中，，，， 由正弦定理得：，∴. 故选：C. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； （3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； （4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 6．（2025高三·全国·课后作业）如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆半径，连接，设点到三边的距离分别为，,再结合正弦定理可求得. 【详解】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为， 由锐角知均为正数， 由外接圆知，所以， 同理: ，， 所以， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：B. 7．（2025高一下·四川绵阳·开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①在三角形中“大角对大边”，可以得到，再根据正弦定理化简，进一步可以得到答案； ②在三角形中利用化简，利用正弦定理轻松可以得到答案； ③利用正弦定理化简得带入化简，就可以得到答案； ④根据表示， 再根据可以得到°,进一步得到答案. 【详解】①∵，∴， 又∵ ∴ ∴ 故①成立； ②∵ ∴ ∴ ∴； 故②成立； ③∵ ∴ ∴ ∴ ； 故③成立； ④∵表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量， ∴所以（）.表示， 又∵， ∴° 所以为等边三角形 故④成立. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及利用向量来解三角形的相关知识点，命题体现了数学基本运算的核心素养，属于比较常见的题型. 8．（2025高一下·四川成都·期末）设锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换求得，利用正弦定理求得，求出角的取值范围，结合三角形的面积公式以及正切函数的基本性质可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为为锐角，则，所以，，即， 所以，，，，则，， ，由正弦定理，则有， 因为为锐角三角形，则，解得，所以，， 所以，. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高二上·全国·课后作业）(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平面向量数量积的运算律判断． 【详解】解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确． 故选：BD． 10．（2025高一下·江苏泰州·开学考试）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C．边长为的正方形中 D．若点为的重心，则 【答案】AD 【分析】利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解. 【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确； 对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误； 对于选项C，边长为的正方形中，故C错误； 对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·福建福州·期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 【答案】ABD 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一下·上海·课后作业）设与的夹角为60°，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，再根据平面向量数量积的运算律，将两边平方，解出． 【详解】解：． ，．．．解得． 故答案为：． 13．（2025高一下·四川成都·阶段练习）中，a，b，c分别是的对边，，则 . 【答案】 【分析】由，结合余弦定理得到求解. 【详解】因为， 所以， 即：， 因为， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．（24-25高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件先确定，，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为， 所以，则， 因为，所以，则. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面内两个不共线的向量，. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）根据条件对的两边平方即可得出关于的方程，然后根据题意知，从而解出； （2）进行数量积的运算可求出和的值，然后即可求出的值，从而可求出和的夹角. 【详解】解：（1），，， ，且，解得； （2），， ，且， . 16．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，. (1)用、表示向量、； (2)若向量与共线，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点， 所以，， 因为，则， 所以，. （2）解：因为， 因为向量与共线，则存在，使得， 即，所以，，解得. 17．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得； (2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】(1)由AB∥CD可得，则， 即，而，即有， 在中，， 所以； (2)由(1)知，， 在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即，解得或(舍去)， 所以的长为. 18．（2025高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用余弦定理再结合基本不等式及两边之和大于第三边计算求解即可； （2）先应用余弦定理再结合基本不等式，最后应用面积公式计算即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 即． 又，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 即． 所以，当且仅当时，等号成立． 即周长的取值范围为． （2）由余弦定理，得， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 19．（2025高一下·上海·阶段练习）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． (1)求扇形空地AOB的周长和面积； (2)当米时，求PQ的长； (3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【答案】(1)周长为米，面积为平方米 (2)米 (3)平方米 【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得； （2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （3）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1），则扇形空地AOB的周长为， 面积； （2）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； （3）由，故，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$