第04讲 勾股定理（2个知识清单+12类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第04讲 勾股定理 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01用勾股定理解三角形.......................................................................................................................................................2 题型02已知两点坐标求两点距离...............................................................................................................................................4 题型03勾股树（数）问题...........................................................................................................................................................7 题型04以直角三角形三边为边长的图形面积...........................................................................................................................9 题型05勾股定理与网格问题.....................................................................................................................................................13 题型06勾股定理的证明方法.....................................................................................................................................................15 题型07用勾股定理构造图形解决问题.....................................................................................................................................19 题型08求梯子滑落高度(勾股定理的应用)...............................................................................................................................22 题型09求旗杆高度(勾股定理的应用).......................................................................................................................................25 题型10求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)................................................................................................................................28 题型11求大树折断前的高度(勾股定理的应用)........................................................................................................................31 题型12求最短路径(勾股定理的应用).......................................................................................................................................33 分层练习........................................................................................................................................................................................37 夯实基础........................................................................................................................................................................................37 能力提升........................................................................................................................................................................................59 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型01用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，设，，为三角形的三条高，若，，．则线段的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解方程组等知识点，能灵活掌握勾股定理的应用是解决问题的关键．可设，，则根据勾股定理和已知条件可得方程组，解方程组可求的长，再根据勾股定理即可求出线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 设，，则 ， 解得， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）在中，，，则以为边的正方形的面积为 ． 【答案】或/65或33 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，分为斜边和为斜边两种情况，利用勾股定理求出即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当为斜边时，， 此时以为边的正方形的面积为； 当为斜边时，， 此时以为边的正方形的面积为； ∴以为边的正方形的面积为或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长．    【答案】底部边缘A处与E之间的距离的长为 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：底部边缘A处与E之间的距离的长为． 题型02已知两点坐标求两点距离 4．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据该点坐标和原点坐标，即可直接利用勾股定理求出该点到原点的距离． 【详解】解：该点坐标为，原点坐标为， 该点到原点的距离， 故选：． 5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由点的坐标求点到原点的距离”是解本题的关键． 直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 点到原点的距离， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·湖南永州·期末）先阅读下列一段文字，再回答问题． 在平面直角坐标系中，已知平面内两点，，则这两点间的距离为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点，，试求； (2)已知点，在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，试求； (3)已知一个三角形的各顶点坐标为，，，试用含的式子表示的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形 【分析】本题考查两点间距离、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）直接利用公式计算即可； （2）根据两点之间的距离的定义计算即可； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点，， ∴； （2）∵点，在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴． （3）∵，， ∴点和点在平行于轴或垂直于轴的直线上， ∴， 当即时， 点与在直线上，此时、、三点共线，不能构成三角形， 当即时， 点到的距离为：， ∴， ∴的面积． 题型03勾股树（数）问题 7．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）下列四组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·福建福州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 ． 【答案】5 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数． 【详解】解：当4是直角边时， ∵， ∴， 当4是斜角边时， （不是整数，舍去）， 故答案为：5． 9．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】勾股树（数）问题、数字类规律探索 【分析】本题考查勾股数，数字规律探究： （1）观察表格中的数据，得到三个数满足勾股定理，最小的数为奇数，另两个数为连续的正整数，且两个数的和等于最小的数的平方，推出设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． （2）利用（1）中的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：共同点：①各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小的数的平方等于另两个连续整数的和， 如 由以上共同点我们可得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． 证明： （m为大于1的奇数）， ∴m，n，是一组勾股数． （2）由（1）中的结论可知，， 当时，， 解得：， 则． 题型04以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·广西来宾·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． 图1                    图2                        图3 (1)如图1，图案1是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：______． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 【答案】(1) (2)120 (3)6 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （3）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴； （2）解：设：，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：， ∴ ， ∴， ∴． 题型05勾股定理与网格问题 13．（22-23八年级下·重庆江津·阶段练习）如图所示边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的混合运算．根据网格特征和勾股定理求出的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：过点作于， 由网格特征和勾股定理可得， ，，， ， 是直角三角形， ， 即， ， 故选：C． 14．（2024·广东清远·模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．    【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，    走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为A处，最远距离为． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图， 的顶点 A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上， 于点 D，求 BD 的长 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据题意，，计算即可． 本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ， ∴． 题型06勾股定理的证明方法 16．（20-21八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理； B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 17．（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法．根据，可得出结论． 【详解】证明：如答图，连接，过点作交的延长线于点，则． ， ， ， ． 题型07用勾股定理构造图形解决问题 19．（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 20．（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）在一个长，宽，高的房间里放一根竹竿，竹竿最长可以是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：底面对角线， ， ， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 题型08求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 23．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 【答案】8 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【答案】小巷的宽度为2.7米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先在中，利用勾股定理求出梯子的长度，再在中，利用勾股定理求出的长，即可得到答案. 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴． ∴（米）． 在中， ∵，米，， ∴， ∴． ∵， ∴米． ∴米． 答：小巷的宽度为2.7米． 题型09求旗杆高度(勾股定理的应用) 25．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 26．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为 尺． 【答案】6 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：如图所示， 设木柱长为尺，    ∵ 则 解得． 故答案为：6． 27．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)8米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）风筝沿方向再上升米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升米，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴他应该再放出8米线． 题型10求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 28．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 29．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【答案】1.5/ 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 30．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 题型11求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 31．（23-24八年级下·湖北·单元测试）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可． 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：． 答：折断处离地面尺． 故选：C． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米． 【答案】18 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据勾股定理计算的长是解题的关键．由题意知，米，米，在中，已知，、的长度根据勾股定理可以计算的长度，大树的原长为． 【详解】解：大树倒下部分，地面，大树折断部分正好构成直角三角形，米，米， 米 大树的原长为(米) 故答案为：18． 33．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 【答案】8米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：根旗杆被吹断裂前高为8米． 题型12求最短路径(勾股定理的应用) 34．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱体的表面爬行到C点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：底面周长为， ， ， 故选A． 35．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故答案为：25. 36．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 【答案】内蚂蚁能爬到点 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ， ． ， ， 内蚂蚁能爬到点． 夯实基础 一、单选题 1．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．1.5，2，3.5 B．21，45，51 C．一3，-4，-5 D．8，15，17 【答案】D 【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方. 【详解】A. 1.5和3.5不是正整数，是小数，故错误； B. 212+452≠512 ，故错误； C. -3，-4，-5都不是正数，错误； D.82+152=172 ，正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 2．有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12，从中取出三根首尾顺次连接，能构成直角三角形的一组是（   ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理一一判断即可. 【详解】A中，22+42≠62，所以A选项不符合题意； B中，42+62≠82，所以B选项不符合题意； C中，62+82=102，所以C选项符合题意； D中，82+102≠122，所以D选项不符合题意. 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 3．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积相等法求出BC上的高，勾股定理求出AB，然后求比值即可 【详解】设正方形的边长为“1”，BC边上的高为h, 则AB= = ，BC= = S△ABC=×5×2=×h ∴h= ∴ = = 故本题答案应为：D 【点睛】用面积法求三角形的高及勾股定理是本题的考点，利用勾股定理求出BC及AB是解题的关键. 4．如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（    ）米 A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由题意可知，，，进而根据勾股定理列式求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即树断裂处A离地面的距离的长为5米， 故选：B 5．如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确的有（ ）个. ① SA+SB+SC+SD=49；② SE+SF=49；③ SA+SB+SF=49；④ SC+SD+SE=49 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如下图,根据勾股定理得a2+b2=e2、c2+d2=f2、e2+f2=g2,即a2+b2+c2+d2 =g2即可解题. 【详解】解：如下图,设正方形的边长分别为a、b、c、d、e、f、g, 根据正方形的面积公式等于边长的平方, ∴四边形A的面积是a2,四边形B的面积是b2, a、b是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有a2+b2=e2; 同理,四边形C的面积是c2,四边形D的面积是d2, c、d是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有c2+d2=f2; 根据正方形的对边相等,e、f就是下面大直角三角形的直角边,根据勾股定理,得到e2+f2=g2, ∵g是最大的正方形边长为7cm, ∴正方形A、B、C、D面积之和为7×7=49平方厘米. 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,利用图形找到直角边和正方形的边长之间的关系是解题关键. 6．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（　　） A．3m B．5m C．7m D．9m 【答案】A 【详解】解：连接OA，交⊙O于E点， 在Rt△OAB中，OB=6，AB=8， 所以OA==10； 又OE=OB=6， 所以AE=OA-OE=4． 因此选用的绳子应该不大于4， 故选A． 7．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为，且，则下列各数中与点表示的数最接近的是（    ） A．-3.5 B．-3.6 C．-3.7 D．-3.8 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求得A点坐标，再利用二分法估算即可得出比较接近-3.6． 【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2， ∴， ∴A所表示的数为， ∵，， ∴介于-3.6和-3.7之间， ∵， ∴比较接近-3.6， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键． 8．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题． 【详解】解：∵DG＝GE， ∴S△ADG＝S△AEG＝2， ∴S△ADE＝4， 由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD， ∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°， ∴(AF+DF)BF＝4， ∴(3+DF)2＝4， ∴DF＝1， ∴DB＝＝＝， 设点F到BD的距离为h， 则•BD•h＝•BF•DF， ∴h＝， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 二、填空题 9．一轮船先向东航行8海里，接着又向北航行6海里，则该船这时离出发点 海里． 【答案】10 【详解】试题分析：如图所示： 由题意可得，AO=8海里，AB=6海里，则OB===10海里．故答案为10． 考点：勾股定理的应用． 10．直角三角形的两直角边是，而斜边的长是15cm，那么这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两直角边是，设出两直角边的长分别是、，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设两直角边分别是、， 根据勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则，． 故这个三角形的面积是． 故答案为：． 【点睛】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式． 11．如图，斜坡AC的坡比为1∶，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，AB＝15米，则旗杆BC的高度为 米． 【答案】(5－5) 【分析】根据题意延长CE，由坡比求出CE、AE；再根据勾股定理求出BE，根据线段的差求出BC即可 【详解】解：如图：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD 在直角三角形AEC中，AC=10，由坡比为1∶ 可知∠CAE=30° ∴CE=AC×sin30°=10×=5 AE=AC×cos30°=10×= 在直角三角形ABE，BE= = = ∵BE=BC+CE ∴BC=BE−CE=−5 故本题答案为：（−5） 【点睛】勾股定理和坡比定义是本题的考点，根据题意画出图形，求出BE是解题的关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时的值最小，根据勾股定理求出CD，即可得出答案． 【详解】解：如下图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时的值最小， ∵， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵点B的坐标为（4，4）， ∴点A的坐标为（4，0）， ∴由对称性可知D点在y轴上，且坐标为（0，4）， ∵点D的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0）， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、勾股定理等知识，解题的关键是求出P点的位置． 13．如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为 ． 【答案】 【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长． 【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H， 根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E， ∵CD是△ABC的中线， ∴CD=BD， ∴AD=BD=A'D， ∴∠AA'B=90°， 又∵S△A'DE=12， ∴S△ADE=12， ∴S△ADA'=24， 又∵D为AB的中点， ∴S△AA'B=2S△AA'D=48， 即×AA′×A′B＝48， ∴AA'=12， 又∵F为A'E的中点， ∴A'F=EF， 在△A'BF与△ECF中，， ∴△A'BF≌△ECF（AAS）， ∴CE=A'B=8， ∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6， ∴EF=3，AF=9， 在Rt△CAE中，由勾股定理得： CA==10， 在△CAF中， CA•HF=AF•CE， ∴HF==， 即点F到AC的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键． 14．如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么 度．    【答案】105 【分析】作于，于，根据等腰直角三角形的性质用表示出及的长，由勾股定理及含30度直角三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和等于得出的度数即可． 【详解】解：如图，作于，于， 在中， ，， ， ，， ． 又， ， ， ， ， ． 故答案为：105．    【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰三角形的判定，难度一般，关键是巧妙作辅助线进行解答． 三、解答题 15． 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=10，BC=6，求AC的长． 【答案】见详解 【分析】根据∠ACB=90°， AB=10，BC=6，采用勾股定理，便可求解． 【详解】解：△ABC中，∠ACB=90° AB=10，BC=6 【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键在于熟悉勾股定理． 16．如图是一块正方形纸片． (1)如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长为________； (2)我们还可以用2个如图1所示的小正方形拼接成一个大正方形，若小正方形的面积为，则小正方形的对角线AC的长为_________； (3)如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】（1）根据算术平方根概念求解即可； （2）根据正方形面积易求边长，然后勾股定理求解即可； （3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为， ∴正方形的边长为 dm． 故答案为： ； （2）解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为1dm， ∴对角线AC= dm． 故答案为： ； （3）解：不能； 理由：设长方形长和宽为3xcm和2xcm ∴长方形面积为：2x•3x＝12 ∴解得x＝（负根舍去） ∴长方形长边为3＞4 ∴他不能裁出． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念，勾股定理，无理数的运算以及比较大小等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．如图，公路MN和公路PG在点P处交汇，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【答案】有影响，14.4秒． 【详解】试题分析：由A点向MN作垂线AB，垂足为B，通过比较AB的长与100的大小，从而判断是否会受影响；利用勾股定理求得距离A点100米到离开100米的距离，除以拖拉机的速度即为影响学校的时间． ∵， ∴学校会受到拖拉机的影响； 如图：作AC⊥MN于C，则． 假设当拖拉机行驶到B点开始影响学校，行驶到D点结束对学校的影响， 则AB=AD=100米， ∴BC=CD=米， ∴BD=2×36=72米， ∵18千米/时=5米/秒 所以影响学校的时间为：72÷5=14.4秒 ∴拖拉机会影响学校，影响时间为14.4秒． 考点：本题考查了勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确画出辅助线，熟练应用勾股定理解题. 18．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. (1)若a＝5，b＝12，求c. (2)若b＝0.7，c＝2.5，求a. (3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b. 【答案】(1)13;(2)2.4;(3)20 【详解】试题分析：（1）由勾股定理求出边长c即可； （2）由勾股定理求出边长a即可； （3）由勾股定理和已知条件得出a：b：c=3：4：5，得出a=15，b=20即可． 试题解析： (1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12， ∴c2＝a2＋b2＝52＋122＝169. ∵c>0， ∴c＝13. (2)∵∠C＝90°，b＝0.7，c＝2.5， ∴a2＝c2－b2＝2.52－0.72＝5.76. ∵a>0， ∴a＝2.4. (3)∵a∶b＝3∶4， ∴设a＝3x，b＝4x. ∵∠C＝90°， ∴a2＋b2＝c2. ∴(3x)2＋(4x)2＝252， ∴x2＝25. ∵x>0， ∴x＝5， ∴b＝4×5＝20. 19．如图，在中，． (1)在线段上找一点D，使得点D到、的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）用尺规作出的平分线，交于点D，即可得出答案； （2）作于点H，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，设， 则，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点D即为所求；   （2）解：如图，作于点H， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，利用勾股定理列出方程． 20．先阅读下面的材料，再解决问题. 【实际问题】如图1，一圆柱的底面半径为5cm，是底面直径，高为5cm，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线，小明设计了两条路线. 【解决方案】路线 1：侧面展开图中的线段，如图所示 设路线1的长度为，则. 路线2：高线底面直径. 设路线2的长度为，则. 为比较，的大小，采用“作差法”： 因为； 所以，所以， 所以小明认为路线2较短. （1）【问题类比】小亮对 上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm，高为5 cm".请你用上述方法帮小亮比较出与的大小. （2）【问题拓展】请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为cm，高为cm，蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短?请说明理由. （3）【问题解决】如图是紧密排列在一起的2个相同的圆柱，高为5cm.当蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径. 【答案】（1）路线1较短；（2）路线2较短；（3）半径为 【分析】（1）将解决方案中的数字替换成所给数字计算即可；（2）将解决方案中的数字替换成r,h表示出，作差根据题意可得满足的条件；（3）用含r的式子表示出，根据题意列出等式求出r即可. 【详解】解：（1）因为圆柱的底面半径为1cm，高为5cm， 所以路线1：； 路线2：，则 因为， 所以，所以， 所以路线1较短 （2）因为圆柱的底面半径为cm，高为cm， 所以路线1：， 路线2：， 所以. 因为恒大于0，所以当，即时，， 此时路线2较短 （3）圆柱的高为5 cm. 路线1：， 路线2：， 由题意，得， 解得 即当圆柱的底面半径为时，蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等. 【点睛】本题考查了勾股定理在蚂蚁爬行最短路径问题中的应用，属于模仿题型，准确理解题中所给解决方案中的思路步骤是解题的关键. 能力提升 一、单选题 21．如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点A作AF⊥DE于点F，由直角三角形的性质可得AF=1，AE=，即可求A'E，EC的长，由勾股定理可求A'C的长． 【详解】解：如图，过点A作AF⊥DE于点F， ∵AB=4，点D为AB的中点， ∴AD=2， ∵∠ADE=30°，AF⊥DE， ∴AF=1，∠FAD=60°， ∵∠BAC=105°， ∴∠FAE=45°，AF⊥DE， ∴∠AEF=45°=∠EAF， ∴AF=EF=1， ∴AE=， ∴EC=AC-AE=2， ∵把△ADE沿DE折叠得到△A'DE， ∴∠AEA'=2∠AEF=90°，A'E=AE=， ∴A'C=， 故选D. 【点睛】本题是对折叠几何问题的考查，熟练掌握勾股定理及三角函数知识是解决本题的关键. 22．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(   ) A．4 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022， ∴， ∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处， 连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示： 在正六边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键． 二、填空题 23．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 cm． 【答案】10 【分析】将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：∵一圆柱高8cm，底面半径为cm， ∴底面周长为：2×π×＝12cm，则半圆弧长为6cm， 展开得： BC＝8cm，AC＝6cm， 由勾股定理得：（cm）． 故答案为：10cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际运用—求最短距离，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度． 24．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意， 如图所示， 得； 如图所示， 得， 如图3所示， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是10． 故答案为：10. 【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键． 三、解答题 25．如图，方格纸中每个小方格的边长为1，画一条长为的线段． 【答案】作图见解析． 【详解】试题分析：根据勾股定理，可知两直角边分别是4、2的直角三角形的斜边长为． 试题解析：如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2， 那么AB=， 即线段AB是所求作的线段． 考点：勾股定理． 26．八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为25米． （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 【答案】61.6米 【详解】试题分析：利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度． 试题解析：在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2=BC2﹣BD2=652﹣252=3600， 所以，CD=±60（负值舍去）， 所以，CE=CD+DE=60+1.6=61.6米， 答：风筝的高度CE为61.6米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 勾股定理 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01用勾股定理解三角形.......................................................................................................................................................2 题型02已知两点坐标求两点距离...............................................................................................................................................4 题型03勾股树（数）问题...........................................................................................................................................................7 题型04以直角三角形三边为边长的图形面积...........................................................................................................................9 题型05勾股定理与网格问题.....................................................................................................................................................13 题型06勾股定理的证明方法.....................................................................................................................................................15 题型07用勾股定理构造图形解决问题.....................................................................................................................................19 题型08求梯子滑落高度(勾股定理的应用)...............................................................................................................................22 题型09求旗杆高度(勾股定理的应用).......................................................................................................................................25 题型10求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)...............................................................................................................................28 题型11求大树折断前的高度(勾股定理的应用)........................................................................................................................31 题型12求最短路径(勾股定理的应用).......................................................................................................................................33 分层练习........................................................................................................................................................................................37 夯实基础........................................................................................................................................................................................37 能力提升........................................................................................................................................................................................59 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型01用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，设，，为三角形的三条高，若，，．则线段的长为（　　） A． B．4 C． D． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）在中，，，则以为边的正方形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长．    题型02已知两点坐标求两点距离 4．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 6．（23-24八年级下·湖南永州·期末）先阅读下列一段文字，再回答问题． 在平面直角坐标系中，已知平面内两点，，则这两点间的距离为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点，，试求； (2)已知点，在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，试求； (3)已知一个三角形的各顶点坐标为，，，试用含的式子表示的面积． 题型03勾股树（数）问题 7．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）下列四组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25 8．（23-24八年级下·福建福州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 ． 9．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 题型04以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ． 12．（23-24八年级下·广西来宾·期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． 图1                    图2                        图3 (1)如图1，图案1是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：______． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 题型05勾股定理与网格问题 13．（22-23八年级下·重庆江津·阶段练习）如图所示边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 14．（2024·广东清远·模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．    15．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图， 的顶点 A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上， 于点 D，求 BD 的长 题型06勾股定理的证明方法 16．（20-21八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    18．（24-25八年级下·全国·单元测试）［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 题型07用勾股定理构造图形解决问题 19．（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 20．（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）在一个长，宽，高的房间里放一根竹竿，竹竿最长可以是 ． 21．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 题型08求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为1.5米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 题型09求旗杆高度(勾股定理的应用) 25．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为 尺． 27．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 题型10求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 28．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    30．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 题型11求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 31．（23-24八年级下·湖北·单元测试）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（　　） A．4 B． C． D． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）一颗大树在一次强烈的地震中于离树根处8米的处折断倒下（如图），树顶落在离树根处6米，则大树的原长为 米． 33．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 题型12求最短路径(勾股定理的应用) 34．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱体的表面爬行到C点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 35．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 36．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 夯实基础 一、单选题 1．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．1.5，2，3.5 B．21，45，51 C．一3，-4，-5 D．8，15，17 2．有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12，从中取出三根首尾顺次连接，能构成直角三角形的一组是（   ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 3．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(      ) A． B． C． D． 4．如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（    ）米 A．3 B．5 C．7 D．9 5．如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确的有（ ）个. ① SA+SB+SC+SD=49；② SE+SF=49；③ SA+SB+SF=49；④ SC+SD+SE=49 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（　　） A．3m B．5m C．7m D．9m 7．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为，且，则下列各数中与点表示的数最接近的是（    ） A．-3.5 B．-3.6 C．-3.7 D．-3.8 8．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为(    )    A． B． C． D． 二、填空题 9．一轮船先向东航行8海里，接着又向北航行6海里，则该船这时离出发点 海里． 10．直角三角形的两直角边是，而斜边的长是15cm，那么这个三角形的面积是 ． 11．如图，斜坡AC的坡比为1∶，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，AB＝15米，则旗杆BC的高度为 米． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 13．如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为 ． 14．如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么 度．    三、解答题 15． 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=10，BC=6，求AC的长． 16．如图是一块正方形纸片． (1)如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长为________； (2)我们还可以用2个如图1所示的小正方形拼接成一个大正方形，若小正方形的面积为，则小正方形的对角线AC的长为_________； (3)如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 17．如图，公路MN和公路PG在点P处交汇，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 18．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. (1)若a＝5，b＝12，求c. (2)若b＝0.7，c＝2.5，求a. (3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b. 19．如图，在中，． (1)在线段上找一点D，使得点D到、的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，求的长． 20．先阅读下面的材料，再解决问题. 【实际问题】如图1，一圆柱的底面半径为5cm，是底面直径，高为5cm，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线，小明设计了两条路线. 【解决方案】路线 1：侧面展开图中的线段，如图所示 设路线1的长度为，则. 路线2：高线底面直径. 设路线2的长度为，则. 为比较，的大小，采用“作差法”： 因为； 所以，所以， 所以小明认为路线2较短. （1）【问题类比】小亮对 上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm，高为5 cm".请你用上述方法帮小亮比较出与的大小. （2）【问题拓展】请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为cm，高为cm，蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短?请说明理由. （3）【问题解决】如图是紧密排列在一起的2个相同的圆柱，高为5cm.当蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径. 能力提升 一、单选题 21．如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 22．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(   ) A．4 B． C．2 D．0 二、填空题 23．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 cm． 24．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 三、解答题 25．如图，方格纸中每个小方格的边长为1，画一条长为的线段． 26．八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为25米． （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$