8.3 实数及其简单运算(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版 2024）

实 数 第八章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 无理数的概念 ◎ 小数又叫作无理数. 1. 下列各数中是无理数的是 （ ） A. - 1 7 B. 11 姨 C. 4 25 姨 D. -8 3 姨 2. 若 m 是无理数， 且 1<m<2 ， 则 m 的值为 . （写出一个即可） 【知识点 2 】 实数的概念 ◎ 和 统称实数. ◎ 当数的范围从有理数扩充到实数后， 与数轴上的点是一一对应的. 1. 下列说法正确的是 （ ） A. 2 姨 ， 3 姨 ， 4 姨 都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数是开方开不尽的数 D. 无理数都是实数 2. 估计 2+ 5 姨 的大小应 （ ） A. 在 2~3 之间 B. 在 3~4 之间 C. 在 4~5 之间 D. 在 5~6 之间 3. 把下列各数填入相应的集合： -1 ， 3 姨 ， π ， -3.14 ， 9 姨 ， 6 姨 - 2 姨 ， - 2 姨 2 ， 0.7 · . （ 1 ） 有理数集合 { … } ； （ 2 ） 无理数集合 { … } ； （ 3 ） 正实数集合 { … } ； （ 4 ） 负实数集合 { … } . 例题点拨 素养导向 【例】 【阅读理解】 ∵ 4 姨 < 5 姨 < 9 姨 ， 即 2< 5 姨 <3 ， ∴ 5 姨 的整数部分为 2 ， 小数部分为 5 姨 -2. ∵1< 5 姨 -1<2 ， ∴ 5 姨 -1 的整数部分为 1. ∴ 5 姨 -1 的小数部分为 5 姨 -2. 【解决问题】 已知： a 是 17 姨 -3 的整数部分， b 是 17 姨 -3 的小数部分 . 求： （ 1 ） a ， b 的值 . （ 2 ） （ -a ） 3 + （ b+4 ） 2 的平方根 . 【点拨】 此题主要考查了估算无理数的大小， 正确得出 a ， b 的值是解题关键 . 8.3 实数及其简单运算 （第一课时） 37 七年级下册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 下列说法中不正确的是 （ ） A. 数轴上的点表示的数如果不是有理数， 那么就一定是无理数 B. 数轴上的点与实数一一对应 C. 0 既不是正实数， 也不是负实数， 是实数 D. 介于 1 和 2 之间的无理数只有 2 姨 和 3 姨 两个 2. 如图， 在数轴上 A ， B 两点表示的数为 1 和 3 姨 ， 点 B 关于点 A 的对称点为 C 点， 则点 C 表示的数是 （ ） A. 3 姨 -1 B. 1- 3 姨 C. 2- 3 姨 D. 3 姨 -2 3. 如图， 下列各数是无理数且表示的点在线段 AB 上的是 （ ） A. 0 B. 2 姨 -1 C. -9 3 姨 D. π 4. 写出一个比 5 姨 大且比 20 姨 小的整数： . 5. 有一个数值转换器， 流程如图所示 . 当输入 x 的值为 125 时， 输出 y 的值是 . 能力提升 综合拓展 6. 如图， 半径为 1 个单位长度的圆上有一点 A 与数轴上表示 -1 的点重合 . （ 1 ） 若圆从表示 -1 的点开始沿数轴向右滚动一 周， 圆上的点 A 恰好与点 B 重合， 设点 B 对应的实 数是 b ， 则 b= . （结果保留 π ） （ 2 ） 若圆从数轴上 A 点开始滚动， 向右滚动的周数记为正数， 向左滚动的周数记为负 数， 依次运动的情况记录如下： +3 ， -4 ， +5 ， -6. 当圆结束运动时， 点 A 运动的路程共有多 少？ 此时点 A 所表示的数是多少？ （结果保留 π ） 中考链接 真题演练 7. （ 2024 ·北京） 实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置 如图所示， 下列结论中正确的是 （ ） A. b>-1 B. ｜b｜>2 C. a+b>0 D. ab>0 B A -1 0 1 2 第 6 题图 B - 2 姨 2 姨 A -3 -2 -1 0 1 2 3 第 3 题图第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图 0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 b a 输入 x 求立方根 是不是无理数 输出 y 是 求算术平方根 否 否 是 是不是无理数 C A B 0 1 3 姨 38 七年级下册 （ 人教版 ）数学 8.1 平方根 （ 第三课时 ） 【 知识点 】 两位 一位 1. B 2. 1.01 【 例 】 解 ： （ 1 ） 设 AB=x cm ， 则 BC= （ 10+x ） cm ， 依题意有 2 ［ x+ （ 10+x ）］ =100 ， 解得 x=20. 答 ： 长方形的长为 30 cm ， 宽为 20 cm. （ 2 ） 设新 长方形的长为 5a cm ， 宽为 4a cm ， 则 5a×4a= 520. ∵a＞0 ， ∴a= 26 姨 ， 即新长方形的长为 5 26 姨 cm ， 宽为 4 26 姨 cm. ∵26＞25 ， ∴ 26 姨 >5 ， 即 4 26 姨 >20 ， 故小丽不能成功 . 答 ： 小丽不能用这 块长方形纸片裁出符合要求的长方形纸片 . 1. 90.55 2. 0.041 47 3. （ 1 ） > （ 2 ） < 4. 解 ： （ 1 ） 0.1 10 （ 2 ） 右 1 （ 3 ） ①22.4 ②25 5. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 大正方形的面积为 50+ 50=100 （ cm 2 ）， ∴ 大正方形的边长为 100 姨 =10 （ cm ） . （ 2 ） 能 . 理由 ： ∵ 剪出的其中一个长方形长与宽之 比是 3 ∶ 2 ， ∴ 设长为 3x cm ， 宽为 2x cm ， ∴3x · 2x=54 ， 由边长的实际意义得 x=3 ， ∴ 长为 9 cm ， 宽为 6 cm. ∵9＜10 ， ∴ 能使剪出的其中一个长方形长与宽之比是 3 ∶ 2 ， 且面积为 54 cm 2 . 6. 60 7. B 8. 2 （ 答案不唯一 ） 8.2 立方根 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 立方 三次方根 a 3 姨 三次 根号 a 被开方数 根指数 1. C 2. B 【 知识点 2 】 立方根 逆运算 1. - 2 5 2. 4 【 知识点 3 】 正数 负数 0 B 【 例 】 解 ： 设第二个纸盒的棱长为 a cm ， ∵ 已 知第一个正方体纸盒的棱长为 3 cm ， 第二个正方 体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大 189 ， ∴a 3 = 189+27=216 ， ∴a=6. 答 ： 第二个纸盒的棱长为 6 cm. 1. B 2. C 3. C 4. D 5. 解 ： （ 1 ） ∵5 3 =125 ， ∴125 的 立 方 根 是 5. （ 2 ） ∵ - 3 4 4 # 3 =- 27 64 ， ∴- 27 64 的立方根是 - 3 4 . 6. 解 ： （ 1 ） 由题可知 ， 铁块的棱长为 216 3 姨 = 6 （ cm ） . （ 2 ） 由题可知 ， 设长方体铁块底面正方形 的边长为 a cm ， 2×2 3 +a×a×8=216 ， 16+8a 2 =216 ， 解得 a=5. 答 ： 长方体铁块底面正方形的边长为 5 cm. 7. C 8. 0 9. A 10. -2 8.2 立方根 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 - a 3 姨 1. D 2. A 【 知识点 2 】 三位 一位 1. B 2. 13.326 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵2+ （ -2 ） =0 ， 而且 2 3 =8 ， （ -2 ） 3 =-8 ， 有 8-8=0 ， ∴ 结论成立 . 即 “ 若两个数 的立方根互为相反数 ， 则这两个数也互为相反数 ” 是成立的 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 验证的结果知 ， 1-2x+3x-5=0 ， ∴x=4 ， ∴1- x 姨 =1-2=-1. 1. A 2. D 3. （ 1 ） > （ 2 ） < 4. 3 750 5. 解 ： （ 1 ） -1 3 姨 =-1. （ 2 ） 0.027 3 姨 =0.3. （ 3 ） - 343 125 3 姨 =- 7 5 . （ 4 ） - 1- 19 27 3 姨 =- 2 3 . 6. 解 ： （ 1 ） ① 两 ； ②6 ； ③36. （ 2 ） ①∵ 1 000 3 姨 = 10 ， 1 000 000 3 姨 =100 ， 又 1 000<195 112<1 000 000 ， ∴ 能确定 195 112 的立方根是个两位数 . ②195 112 的 个位数是 2 ， 又 8 3 =512 ， ∴ 能确定 195 112 的立方根的 个位数是 8. ③ 如果划去 195 112 后面的三位 112 得到 数 195 ， 125 3 姨 < 195 3 姨 < 216 3 姨 ， ∴ 能确定 195 112 的立方根的十位数是 5. 故 195 112 的立方根是 58. 7. -2 8.3 实数及其简单运算 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 无限不循环 1. B 2. 2 姨 （ 答 案不唯一 ） 【 知识点 2 】 有理数 无理数 实数 1. D 2. C 3. （ 1 ） -1 ， -3.14 ， 9 姨 ， 0.7 · （ 2 ） 3 姨 ， π ， 6 姨 - 2 姨 ， - 2 姨 2 （ 3 ） 3 姨 ， π ， 9 姨 ， 6 姨 - 2 姨 ， 0.7 · （ 4 ） -1 ， -3.14 ， - 2 姨 2 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ 16 姨 < 17 姨 < 25 姨 ， ∴4< 17 姨 <5 ， ∴1< 17 姨 -3<2 ， ∴a=1 ， b= 17 姨 -4. （ 2 ） （ -a ） 3 + （ b+4 ） 2 = （ -1 ） 3 + （ 17 姨 -4+4 ） 2 =-1+17= 16 ， 故 （ -a ） 3 + （ b+4 ） 2 的平方根是 ±4. 1. D 2. C 3. B 4. 3 （ 或 4 ） 5. 5 姨 6. 解 ： （ 1 ） -1+2π （ 2 ） ｜+3｜+｜-4｜+｜+5 ｜+｜-6 ｜=18 （ 周 ）， 即 18×2π=36π 个单位长度 ， ∵+3-4+5-6=-2 ， ∴ 点 A 向左滚动两周 ， 即 4π 个单位长度 ， ∴ 此时 ， 点 A 表示的数为 -1-4π. 7. C 8.3 实数及其简单运算 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 实数 -a 它本身 它的相反数 0 1. C 2. 6 姨 5 姨 -2 0 【 知识点 2 】 加 、 减 、 乘 、 除 （ 除数不为 0 ）、 乘方 正数及 0 任意一个实数 1. ±9 4- 7 姨 3.14-π 2. 0 【 例 】 解 ： （ 1 ） 3 2 姨 +5 2 姨 -7 2 姨 =8 2 姨 -7 2 姨 = 2 姨 . （ 2 ） （ -1 ） 2 + 8 3 姨 -4=1+2-4=-1. 1. - 2 姨 3 姨 2. -1 3. - 1 8 4. C 5. B 6. 解 ： （ 1 ） 原式 =9-1×2+3=9-2+3=10. （ 2 ） 原式 =-1+2-3+2- 3 姨 =- 3 姨 . （ 3 ） 原式 =- 2 5 + 3 姨 -2- 3 姨 =- 12 5 . （ 4 ） 原式 =- （ -3 ） +｜-5｜+4×7=3+5+28=36. 7. 解 ： （ 1 ） ＜ ＜ ＜ （ 2 ） ① 2 姨 -1 ② 3 姨 - 2 姨 ③ 4 姨 - 3 姨 （ 3 ） ｜1- 2 姨 ｜+｜ 2 姨 - 3 姨 ｜+｜ 3 姨 - 4 姨 ｜+ … +｜ 99 姨 - 100 姨 ｜= （ 2 姨 -1 ） + （ 3 姨 - 2 姨 ） + （ 4 姨 - 3 姨 ） + … + （ 100 姨 - 99 姨 ） = 100 姨 -1=10-1=9. 8. D 9. A 10. B 11. 3 12. -2 46