7.3 定义、命题、定理(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版 2024）

七年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 命题、 定理、 证明的概念 ◎ 经过推理证实的 叫作定理，定理可以作为继续推理的依据. ◎ 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过 才能作出判断，这个 过 程叫作证明. 下列命题是真命题的是 （ ） A. 相等的角都是对顶角 B. 两直线平行， 内错角相等 C. 如果 ab<0 ， 那么 a ， b 两数同号 D. 如果 a 2 =b 2 ， 那么 a=b 例题点拨 素养导向 【例 】 如图 7.3-2 ， ∠ABC 的两边分别平行于 ∠DEF 的两条边， 且 ∠ABC＝45°. （ 1 ） 图 1 中， ∠DEF 的度数为 ， 图 2 中， ∠DEF 的度数为 . （ 2 ） 请分别观察图 1 、 图 2 中 ∠DEF 与 ∠ABC 有 怎样的关系， 请你归纳出一个命题 . 【点拨】 （ 1 ） 根据平行线的性质， 可求解两图中 ∠DEF 的度数 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 的计算结 果易得 ∠DEF 与 ∠ABC 相等， ∠DEF 与 ∠ABC 互补， 这个结论可归纳为： 如果两个角的两 边分别平行， 那么这两个角相等或互补 . 夯实四基 达标闯关 1. 下列命题： ① 两个角的和等于平角时， 这两个角互为邻补角； ② 过一点有且只有一条 直线与已知直线平行； ③ 内错角相等； ④a ， b ， c 是直线， 若 a∥b ， b∥c ， 则 a∥c. 其中真 命题的个数为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 如图， 将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上， 则下列结论不一定正确的是 （ ） A. ∠1＝∠2 B. ∠2+∠3＝90° C. ∠3+∠4＝180° D. ∠1+∠2＝90° 3. 如图， 直线 a∥b ， 将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放， 若 ∠1＝58° ， 则 ∠2 的度数为 （ ） A. 58° B. 42° C. 32° D. 30° A D C F G B E E G C D A B F 图 1 图 2 图 7.3-2 4 3 2 1 第 2 题图 a b 2 1 第 3 题图 7.3 定义、 命题、 定理 （第二课时） 22 相交线与平行线 第七章 4. 已知： 在同一平面内， 三条直线 a ， b ， c. 下列四个命题： ① 如果 a∥b ， a⊥c ， 那么 b⊥c ； ② 如果 b⊥a ， c⊥a ， 那么 b⊥c ； ③ 如果 a∥b ， c∥b ， 那么 a∥c ； ④ 如果 b⊥a ， c⊥a ， 那么 b∥c. 其中为真命题的是 . （填写所有真命题的序号） 5. 如图， 四边形 ABCD 中， ∠B＝90° ， DE 平分 ∠ADC ， CE 平分 ∠DCB ， ∠1+∠2＝90° ， 试说明 DA⊥AB. 能力提升 综合拓展 6. （ 1 ） 问题发现： 如图 1 ， 直线 AB∥CD ， 连接 BE ， CE ， 可以发现 ∠B+∠C＝∠BEC. 请把下面的证明过程补充完整 . 证明： 过点 E 作 EF∥AB. ∵AB∥CD （已知）， EF∥AB （辅助线的作法）， ∴EF∥CD （ ） . ∴∠C＝∠CEF （ ） . ∵EF∥AB ， ∴∠B＝∠BEF （同理）， ∴∠B+∠C＝ . 即 ∠B+∠C＝∠BEC. （ 2 ） 拓展探究： 如果点 E 运动到图 2 所示的位置， 其他条件不变， 说明： ∠B+∠BEC+∠C＝360°. （ 3 ） 解决问题： 如图 3 ， AB∥DC ， E ， F ， G 是 AB 与 CD 之间的点， 直接写出 ∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 ， ∠5 之间的数量关系为 . 中考链接 真题演练 7. （ 2024 ·武威） 如图， 已知 ∠AGF=∠ABC ， ∠1+∠2=180°. （ 1 ） 试判断 BF 与 DE 的位置关系， 并说明理由 . （ 2 ） 若 BF⊥AC ， ∠2=135° ， 求 ∠AFG 的度数 . E 1 2 C B D A 第 5 题图 A B C D E F 图 1 C D A B E 图 2 B A D C 1 2 3 4 5 F G E 图 3 第 6 题图 B G A 1 3 2 D E F C 第 7 题图 23 参 考 答 案 7. （ 1 ） 如果两直线平行 ， 那么内错角相等 （ 2 ） 如果两个角是同角的余角 ， 那么这两个角相等 8. 解 ： 如果 ∠1=∠2 ， 那么 AB∥CD ， 不是真命题 . 添加条件为 BE∥DF. 证明 ： ∵BE∥DF ， ∴∠MBE= ∠BDF. ∵∠1=∠2 ， ∴∠MBA=∠BDC ， ∴AB∥CD. 9. D 7.3 定义 、 命题 、 定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 真命题 推理 推理 B 【 例 】 （ 1 ） 45° 135° （ 2 ） 如果两个角的 两边分别平行 ， 那么这两个角相等或互补 . 1. D 2. D 3. C 4. ①③④ 5. 证明 ： ∵DE 平分 ∠ADC ， CE 平分 ∠DCB ， ∴ ∠ADC＝2∠1 ， ∠BCD＝2∠2. ∵∠1+∠2＝90° ， ∴∠ADC+ ∠BCD＝180° ， ∴AD∥BC ， ∴∠A+∠B＝180° ， ∴∠A＝ 180°-∠B＝90° ， ∴DA⊥AB. 6. 解 ： （ 1 ） 平行于同一直线的两直线平行 ； 两直 线平行 ， 内错角相等 ； ∠BEF+∠CEF. （ 2 ） 如图 ， 过点 E 作 EF∥ AB ， ∵AB∥CD ， EF∥AB ， ∴EF∥ CD ， ∴∠C +∠CEF ＝180° ， ∠B + ∠BEF＝180° ， ∴∠B+∠C+∠CEF+ ∠BEF＝360° ， ∴∠B+∠BEC+∠C＝ 360°. （ 3 ） ∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4. 7. 解 ： （ 1 ） BF∥DF ， 理由如下 ： ∵∠AGF=∠ABC ， ∴GF∥BC ， ∴∠1=∠3. ∵∠1+∠2=180° ， ∴∠3+∠2=180° ， ∴BF∥DE. （ 2 ） ∵BF∥DE ， BF⊥AC ， ∴DE⊥AC. ∵∠1+∠2= 180° ， ∠2=135° ， ∴∠1=45° ， ∴∠AFG=90°-45°=45°. 7.4 平 移 【 知识点 1 】 移动 B 【 知识点 2 】 （ 1 ） 形状 大小 （ 2 ） 平行 相等 B 【 例 】 （ 1 ） ∠DEF EF CF （ 2 ） 4 1. B 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. 12 8. 解 ： （ 1 ） 由平移知 ， BD＝CE＝4. ∵BC＝6 ， ∴BE＝ BC+CE＝6+4＝10 （ cm ） . （ 2 ） 由平移知 ， ∠FDE＝∠ABC＝45° ， ∴∠FDB＝ 180°-∠FDE＝135°. 9. 解 ： （ 1 ） ∵ 将三角形 ABC 沿射线 AB 的方向 移动 2 cm 到三角形 DEF 的位置 ， ∴AE∥CF ， AC∥ DF ， BC∥EF. （ 2 ） ∵ 将三角形 ABC 沿射线 AB 的方向移动 2 cm 到三角形 DEF 的位置 ， ∴AD＝CF＝BE＝2 cm. （ 3 ） ∵AE∥CF ， ∠ABC＝65° ， ∴∠BCF＝∠ABC＝ 65°. ∵BC∥EF ， ∴∠EFC+∠BCF＝180° ， ∴∠EFC＝115°. 10. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 绿地面积为 b （ a-1 ） ＝ （ ab- b ） m 2 ， ∴ 绿地面积为 （ ab-b ） m 2 . （ 2 ） 当 a＝30 m ， b＝20 m 时 ， 绿地面积为 ab-b＝ 30×20-20＝580 （ m 2 ）， ∴ 绿地面积是 580 m 2 . 11. （ 3 ， 2 ） 12. 30 第八章 实 数 8.1 平方根 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 平方 x 2 =a 二次方根 ± a 姨 正 、 负根号 a 被开方数 1. 平方根 2. ±3 【 知识点 2 】 平方根 逆运算 1. D 2. ± 7 姨 3. 16 【 知识点 3 】 两 相反数 0 没有 1. D 2. A 3. ± 3 2 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ （ ±11 ） 2 =121 ， ∴121 的平 方根是 ±11. （ 2 ） ∵ （ ±0.1 ） 2 =0.01 ， ∴0.01 的平方 根是 ±0.1. （ 3 ） ∵ ± 5 3 3 & 2 = 25 9 ， ∴ 25 9 的平方根是 ± 5 3 . （ 4 ） （ -13 ） 2 =169 ， ∵ （ ±13 ） 2 =169 ， ∴ （ -13 ） 2 的平方根是 ±13. 1. D 2. B 3. A 4. ±0.9 5. 4 6. 解 ： （ 1 ） ∵ （ ±7 ） 2 =49 ， ∴49 的平方根是 ±7. （ 2 ） ∵ ± 4 5 3 & 2 = 16 25 ， ∴ 16 25 的平方根是 ± 4 5 . （ 3 ） ∵2 1 4 = 9 4 ， ± 3 2 3 & 2 = 9 4 ， ∴2 1 4 的平方根是 ± 3 2 . （ 4 ） ∵ （ ±0.6 ） 2 =0.36 ， ∴0.36 的平方根是 ±0.6. （ 5 ） ∵ - 3 8 3 & 2 = 9 64 = 3 8 3 & 2 ， ∴ - 3 8 3 & 2 的平方根是 ± 3 8 . 7. 解 ： ∵2x-1 的平方根为 ±3 ， ∴2x-1=9 ， 解得 x=5. ∵3x+y-1 的平方根为 ±4 ， ∴3x+y-1=16 ， 解得 y=2 ， ∴x+ 2y=5+4=9 ， ∴x+2y 的平方根为 ±3. 8. D 8.1 平方根 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 正的平方根 a 姨 a 姨 是 0 0 姨 越大 1. A 2. B 3. 3 4. 5 5. 4 3 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵8 2 =64 ， ∴64 的算术平方根 是 8. （ 2 ） ∵0.5 2 =0.25 ， ∴0.25 的算术平方根是 0.5. （ 3 ） ∵ 5 9 3 & 2 = 25 81 ， ∴ 25 81 的算术平方根是 5 9 . 1. B 2. B 3. C 4. C 5. 解 ： （ 1 ） ∵13 2 =169 ， ∴169 的算术平方根是 13 ， 即 169 姨 =13. （ 2 ） ∵ 2 9 3 & 2 = 4 81 ， ∴ 4 81 的算术平方根 是 2 9 ， 即 4 81 姨 = 2 9 . （ 3 ） ∵0.3 2 =0.09 ， ∴0.09 的算术 平方根是 0.3 ， 即 0.09 姨 =0.3. （ 4 ） ∵ （ -3 ） 2 =9=3 2 ， ∴ （ -3 ） 2 的算术平方根是 3 ， 即 （ -3 ） 2 姨 =3. 6. 解 ： （ 1 ） 16 姨 =4. （ 2 ） - 0.04 姨 =-0.2. （ 3 ） ± （ -4 ） 2 姨 =±4. （ 4 ） 3 600 姨 =60. （ 5 ） ± 9 256 姨 =± 3 16 . 7. 解 ： 根据题意 ， 得 v=16 df 姨 =16 51.2×1.25 姨 = 16×8=128 （ km/h ）， ∵128>120 ， ∴ 肇事汽车当时的速度 超出了规定的速度 . 8. 2 （ 答案不唯一 ） 9. n （ n+3 ） +1 10. C 11. A 12. D 13. ±2 14. 5 15. 1 16. 1 （ 答案不唯一 ） C D A B E F 第 6 题答图 45