第1章 整式的乘除 自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

一、 选择题 （每小题 2 分， 共 12 分） 1. 下列计算正确的是 （ ） A. a 5 +a 5 =a 10 B. a 4 －a 4 =a 0 C. a 6 · a 4 =a 24 D. a 0 ÷a -1 =a 2. 下列计算正确的是 （ ） A. （ 2x－y ） 2 =4x 2 －y 2 B. （ －4a－1 ）（ 4a－1 ） =1－16a 2 C. （ －x+y ）（ x－y ） =x 2 －y 2 D. （ 4x 2 +y ）（ 4x 2 －y ） =4x 4 －y 2 3. 若 －8a 6 b 3 c÷M=4a 2 b 2 ， 则代数式 M 应为 （ ） A. 2a 3 bc B. －2a 3 bc C. －2a 4 bc D. － 1 2 a 4 bc 4. 下列式子可用平方差公式计算的是 （ ） A. （ a－2 ）（ 2－a ） B. （ －a+1 ）（ －a－1 ） C. （ a+b ）（ －a－b ） D. （ a－3 ）（ －3+a ） 5. 若 x 2 +kxy+16y 2 可以写成一个完全平方式， 则 k 的值为 （ ） A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6. 若（ x+t ）（ x+6 ）的积中不含 x 的一次项， 则 t 的值为 （ ） A. 0 B. 6 C. －6 D. －6 或 6 二、 填空题 （每小题 3 分， 共 21 分） 7. 若（ x+4 ） 2 =x 2 +8x+2k+2 ， 则 k= 。 8. 若 2×8 n ×16 n =2 22 ， 则 n= 。 9. 若 x+ 1 x =2 ， 则 x 2 + 1 x 2 = 。 10. 计算： a 2 · a 3 +a 7 ÷a 2 = 。 11. 计算： 4 8 × （ －0.25 ） 8 = 。 12. 如图， 有大小不同的平行四边形， 第 1 幅图中有 1 个平行四边形， 第 2 幅图中有 3 个平行四边形， 第 3 幅图中有 5 个平行四边形， 那么第 n 幅图中有 个平行四边形。 13. 计算 100 2 -99 2 +98 2 -97 2 +96 2 -95 2 + … +2 2 -1 的结果为 。 … … 1 2 3 n 第 12 题图 第一章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 数学七年级下册 （北师大版） 第一章自我检测 141 七年级下册 （北师大版）数学 三、 计算题 （ 14 题 12 分， 15 题 8 分， 共 20 分） 14. （ 1 ） （ －2a 3 b 2 ） 4 ·（ －3ab ） 2 ； （ 2 ） 2 025 2 －2 026×2 024 ； （ 3 ） （ 27x 3 －18x 2 +3x ） ÷ （ －3x ）； （ 4 ） 9 （ x+2 ）（ x－2 ） － （ 3x－2 ） 2 。 15. 若式子 （ x－y ） 0 无意义， 求［（ x+2y ） 2 － （ x+y ）（ 3x－y ） －5y 2 ］ ÷ （ 2x ）的值。 四、 解答题 （ 16~18 题每小题 4 分， 19~21 题每小题 5 分， 共 27 分） 16. 若 3 x =81 ， 4 y =8 ， 求代数式（ x+2y ）（ x－2y ）的值。 17. 已知 x · x n · x m =x 4 ， 且 m 是 n 的 2 倍， 试求出 m ， n 的值。 18. 已知 m 2 =n+2 ， n 2 =m+2 （ m≠n ）， 求 m 3 －2mn+n 3 的值。 142 19. 据统计， 2020 年我国淡水资源总量为 2.7×10 12 m 3 ， 占全球水资源的 6% ， 名列世 界第六位， 按 13 亿人口计算， 我国人均拥有多少立方米的淡水？ （结果保留整数） 20. 小东找来一张挂历纸包数学课本， 已知课本长 a cm ， 宽 b cm ， 厚 c cm ， 小东将 课本的封面与封底每一边都包进去 m cm ， 问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长 方形。 21. 一天， 小明要计算一个 L 形花坛的面积， 在动手测量前小明根据花坛形状画了如 下示意图， 并用字母表示了将要测量的边长 （如图所示）， 小明在列式进行面积计算时， 发现还需要再测量一条边的长度， 你认为他还需测哪条边的长度？ 请你在图中标示出来， 并用字母 n 表示， 然后求出它的面积。 h a m 第 21 题图 第一章自我检测 143 七年级下册 （北师大版）数学 五、 探究题 （每小题 10 分， 共 20 分） 22. 某商店积压了 100 件商品， 为使这批货物尽快脱手， 该商店采取了如下销售方 案： 将价格提高到原来的 2.5 倍， 再作 3 次降价处理： 第一次降价 30% ， 标出 “亏本价”； 第二次降价 30% ， 标出 “破产价”； 第三次降价 30% ， 标出 “跳楼价”。 三次降价处理的 销售结果如下表所示： （ 1 ） “跳楼价” 占原价的百分比是多少？ （ 2 ） 该商品按新销售方案销售， 相比按原价全售完， 哪种方案盈利更多？ 23. 图 1 是一个长为 2m 、 宽为 2n 的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形， 然后按图 2 的形状拼成一个正方形。 （ 1 ） 你认为图 2 中阴影部分的正方形的边长等于多少？ （ 2 ） 请表示出图 2 中阴影部分的面积。 （ 3 ） 观察图 2 ， 请你写出（ m+n ） 2 ， （ m－n ） 2 ， 4mn 三个代数式之间的等量关系。 （ 4 ） 若 m+n=7 ， mn=5 ， 根据 （ 3 ） 中的等量关系， 求（ m－n ） 2 的值。 图 1 图 2 m m n n m m m m n n n n 第 23 题图 降价次数 一 销售件数 10 二 三 40 一抢而光 144 参考答案与提示 5． 解： （ 1 ） 随着 h 逐渐增大， 温度 t 逐渐减小或 h 每增大 1 km ， t 降低 6 ℃ 。 （ 2 ） -10 ℃ 。 （ 3 ） -16 ℃ 。 6. 解： （ 1 ） 销售件数和销售额是变化的量， 销售件数是自变量， 销售额是因变量。 （ 2 ） y=8.4x 。 7. 解： （ 1 ） 反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系， 易拉罐底面半径 x 为自变量， 用铝量 y 为因变量。 （ 2 ） 当易拉罐 的底面半径为 2.4 cm 时， 用铝量为 5.6 cm 3 。 （ 3 ） 易拉罐的底面半径为 2.8 cm 时比较合适， 因为此时用铝量较 少， 成本低。 （ 4 ） 当易拉罐底面半径 x 在 1.6～2.8 cm 之间变化时， 用铝量 y 随半径 x 的增大而减小， 当易拉罐 底面半径 x 在 2.8～4.0 cm 之间变化时， 用铝量 y 随半径 x 的增大而增大。 3 用关系式表示变量之间的关系 1． （ 1 ） 四棱柱的高度 四棱柱的体积 （ 2 ） V=100h （ 3 ） 500 cm 3 （ 4 ） 100 1 000 2. （ 1 ） S=a+6 （ 2 ） 10 cm 2 3. B 4. A 5. B 6. 解： （ 1 ） 填表： 100.4 100.8 102 104 106 （ 2 ） 当 t 的值分别是 25 ， 50 时， 相应 p 的值分别是 110 ， 120 。 （ 3 ） 随着温度 t 的升高， 压强 p （ kPa ） 逐渐增大， 且温度每增加 1 ℃ ， 压强 p 增加 0.4 kPa 。 7. 解： （ 1 ） 油箱中的余油量 Q （ L ） 与行驶时间 t （ h ） 之间的关系式是 Q=60-5t 。 （ 2 ） （ 3 ） 当 t 每增加 1 h ， 油箱中的余油量 Q 就减少 5 L 。 （ 4 ） 当 t=12 时， Q=60-5×12=0 。 此时它表示油箱中的余 油量为 0 ， 即油箱中没有油了。 8． 解： （ 1 ） v=2t 。 （ 2 ） 当 t=1 时， v=2 m/s ； 当 t=6 时， v=12 m/s 。 9． 解： （ 1 ） y=324π-πx 2 。 （ 2 ） ３２３π 243π 10. 解： （ 1 ） 在这个变化过程中， 自变量是平行四边形 ABCD 的底边长， 因变量是平行四边形 ABCD 的面积。 （ 2 ） y=6x 。 （ 3 ） 当底边从 12 cm 增加到 20 cm 时， 面积增加了 48 cm 2 。 * 11. 解： （ 1 ） y=12×8- 1 2 x 2 =96- 1 2 x 2 。 （ 2 ） 当 AP=2 时， 即 x=2 ， y=96- 1 2 ×4=94 ； 当 AP=8 时， 即 x=8 ， y= 96- 1 2 ×64=64 。 因为 94>64 ， 所以随着 x 的增大， 阴影部分的面积 y 逐渐减少， 最终减少了 94-64=30 （ cm 2 ）。 12. A １3． B 4 用图象表示变量之间的关系 （第 1 课时） 1． A 2． B 3． 解： （ 1 ） 7 时， 40.4 ℃ 。 （ 2 ） 37.8 ℃ 。 （ 3 ） 14 时后体温稳定在正常状态。 4. 解： （ 1 ） 120 m ， 140 m 。 （ 2 ） 8 月水位最高为 160 m ， 1 月水位最低为 80 m 。 （ 3 ） 3 月和 12 月。 （ 4 ） 答案不 唯一， 6 月水位高度约为 130 m ， 7 月水位高度约为 145 m 。 5. 解： （ 1 ） 周二的最高气温是 18 ℃ ， 最低气温是 5 ℃ 。 （ 2 ） 图中点 A 表示的实际意义是周五的最高气温是 25 ℃ 。 （ 3 ） 周一温差是 13-4=9 （ ℃ ）， 周二温差 是 18-5=13 （ ℃ ）， 周三温差是 16-10=6 （ ℃ ）， 周四温差是 23-12=11 （ ℃ ）， 周五温差是 25-11=14 （ ℃ ）， 周六温 差是 21-8=13 （ ℃ ）， 周日温差是 15-7=8 （ ℃ ）。 因为当一天内的温差超过 12 ℃ 时， 生猪可能出现生理异常， 所以 为了预防生猪生理异常， 养殖场需要在周二、 周五、 周六这三天进行人工调节温度。 6. 解： （ 1 ） 1 h ， 约 3.5 h 。 （ 2 ） 注射药液后约 1.5 h 血液中药液含量最多， 最多是 6 μg 。 （ 3 ） 7 点钟后病人的病情开始得到控制。 * 7. 解： （ 1 ） 学生注意力指数最大值是 50 ， 学生保持注意力指数最大值的时间为 20 分钟。 （ 2 ） 观察图象可 得， 第 5 分钟时， 学生的注意力指数大约为 35 ， 第 40 分钟时， 学生的注意力指数大约为 40 ， 所以第 40 分钟时 学生的注意力更集中。 （ 3 ） 观察图象可知， 开始学习大约 7 分钟以后注意力指数超过 40 ， 在 40 分钟之前注意 力指数都不低于 40 ， 因为 40-7=33＞30 ， 所以这课堂学习安排是合理的。 8. D 9. D 4 用图象表示变量之间的关系 （第 2 课时） 1． 汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶 2. （ 1 ） 3 （ 2 ） 6 （ 3 ） 3 3. A 4. B 5． A 6. D 7. 解： 由已知和 图象可得， 图 ③ 是小刚的， 图 ① 是爷爷的， 图 ② 是爸爸的。 其中小刚走完一个往返用 21 min ， 小刚的爷爷用了 26 min ， 小刚的爸爸用了 24 min 。 8. 解： ① 对应 a ， ② 对应 c ， ③ 对应 d ， ④ 对应 b 。 9. 解： 答案不唯一， 如： ① 甲、 乙两名同学都骑行了 18 km ； ② 甲同学中途停留了 0.5 h ； ③ 乙比甲晚出发了 0.5 h ； ④ 乙同学骑自行车的 速度为 12 km/h ； ⑤ 甲比乙晚 0.5 h 到达目的地。 10. 解： 小明从家中出发 3 min 骑了 1 km ， 接着用 5 min 骑了 1 km ， 发现时间不够， 于是加快了速度， 用 4 min 骑了 2 km 到达学校。 * 11. 解： （ 1 ） 反映了速度与时间之间 的关系。 （ 2 ） OA 段， 随着时间增加速度也增大； AB 段， 随着时间增加速度不变； BC 段， 随着时间增加速度 也增大； CD 段， 随着时间增加速度减小。 （ 3 ） 某人开车从家里出发， 加速行驶 3 min 后， 开始以 40 km/h 的 速度匀速行驶， 看见前面有车， 开始加速超车， 3 min 之后速度达到 60 km/h ， 开始减速， 行驶 6 min 后停车。 * 12. 解： （ 1 ） A 点表示汽车行驶 6 min 时的速度为 90 km/h ， B 点表示大约 19 min 时， 汽车停止运动。 （ 2 ） 0 到 3 min 加速行驶， 3 min 到 12 min 以 90 km/h 的速度匀速行驶， 12 min 到 15 min 减速行驶， 15 min 到 18 min 以 30 km/h 的速度匀速行驶， 18 min 到 19 min 减速至停止行驶。 （ 3 ） 画图略。 １3. D 14. D 15. C 16. A １7． D １8． C １9． C 20. D 第一章自我检测 1. D 2. B 3. C 4. B 5. D 6. C 7. 7 8. 3 9. 2 10. 2a 5 11. 1 12. （ 2n-1 ） 13. 5 050 14. （ 1 ） 144a 14 b 10 （ 2 ） 1 （ 3 ） -9x 2 +6x-1 （ 4 ） 12x-40 15. 原式 =y-x=0 16. 7 17. m=2 ， n=1 18. -2 19. 解： 2.7× 10 12 ÷ （ 13×10 8 ） ≈2 077 （ m 3 ）。 答： 我国人均拥有 2 077 m 3 的淡水。 20. 解： （ 2b+c+2m ）（ a+2m ） = （ 2ab+4bm+ac+ 2mc+2ma+4m 2 ） cm 2 21. 解： 答案不唯一， 将 L 形花坛分割为两个长方形， 其中一个长方形的长 h ， 另一个长方形 的宽为 m 。 可以测出长度为 h 的长方形的宽 n ， 此时面积 S=hn+ （ a-n ） m=hn+am-mn ； 也可测出宽度为 m 的长方形 的长 n ， 则面积 S=h （ a-n ） +mn=ah-nh+mn 。 22． 解： （ 1 ） 设原价为 x ， 则 “跳楼价” 为 2.5x · 0.7 · 0.7 · 0.7 ， 所以 “跳 楼价” 占原价的百分比为 2.5x · 0.7 3 ÷x=85.75% 。 （ 2 ） 原价出售： 销售金额 =100x ， 新价出售： 销售金额 =2.5x · 0.7 · 10＋2.5x · 0.7 2 · 40＋2.5x · 0.7 3 · 50=109.375x 。 因为 109.375x＞100x ， 所以按新方案销售盈利更多。 23. （ 1 ） m-n 。 （ 2 ） （ m-n ） 2 或（ m+n ） 2 -4mn 。 （ 3 ） （ m+n ） 2 = （ m-n ） 2 +4mn 或（ m-n ） 2 = （ m+n ） 2 -4mn 。 （ 4 ） 29 。 t/h 6 7 8 9 10 Q/L 30 25 20 15 10 185