7.3 定义、命题、定理(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版 2024）

七年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 命题的概念与形式 ◎ 可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或 真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题. ◎ 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是 题设，“那么”后接的部分是结论. 1. 下列命题是真命题的是 （ ） A. 同位角相等 B. 内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 同旁内角互补， 两直线平行 2. 下列命题中， 是假命题的是 （ ） A. 两点之间， 线段最短 B. 垂线段最短 C. 同一平面内， 两条直线的位置关系只有相交和平行两种 D. 两点确定一条直线 3. 命题 “如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行” 中， 题设是 ， 结论是 . 例题点拨 素养导向 【例】 证明： 在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 . （根据图形， 写出 已知、 求证， 并证明） 已知： 求证： 证明： 【点拨】 根据所给图形， 写出条件和结论， 选取合适的判定方法解决问题 . 夯实四基 达标闯关 1. 对于命题 “若 a＞b ， 则 a 2 ＞b 2 ”， 小明想举一个反例说明它是一个假命题， 则符合要求 的反例可以是 （ ） A. a＝-1 ， b＝0 B. a＝2 ， b＝-1 C. a＝2 ， b＝1 D. a＝-1 ， b＝-2 c a b 1 2 图 7.3-1 7.3 定义、 命题、 定理 （第一课时） 20 相交线与平行线 第七章 2. 下列命题是真命题的是 （ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截， 同位角相等 C. 有一边互为反向延长线， 且和为 180° 的两个角是邻补角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3. 下列命题是真命题的是 （ ） A. 同位角相等 B. 两个锐角的和是锐角 C. 若两个角的和为 180° ， 则这两个角互补 D. 相等的角是对顶角 4. 下列命题中， 是假命题的是 （ ） A. 对顶角相等 B. 两点之间， 线段最短 C. 垂线段最短 D. 同位角相等 5. 下列命题： ① 对顶角相等； ② 不相交的两条直线一定平行； ③ 等角的补角相等； ④ 如 果 ｜a｜>｜b｜ ， 那么 a>b. 其中是真命题的有 （ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 6. “平行于同一直线的两直线互相平行” 的题设是 ， 结论是 . 能力提升 综合拓展 7. 把下列命题写成 “如果……那么……” 的形式： （ 1 ） 两直线平行， 内错角相等： . （ 2 ） 同角的余角相等： . 8. 如图， 如果 ∠1=∠2 ， 那么 AB∥CD ， 这个命题是真命题吗？ 若不 是， 请你再添加一个条件， 使该命题成为真命题， 并证明 . 中考链接 真题演练 9. （ 2024 ·河北模拟） 下面是对一个真命题的正确的证明过程： 如图， ∵a∥b ， ∴∠1=∠2. ∵a⊥l ， ∴∠1=90° ， ∴∠2=90° ， ∴b⊥l. 这个真命题是 （ ） A. 同位角相等， 两直线平行 B. 两直线平行， 同位角相等 C. 同一平面内， 垂直于同一直线的两条直线平行 D. 同一平面内， 如果两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线， 那么另一条直线也 垂直于这条直线 E 1 A B M F 2 C N D 第 8 题图 a b 1 2 l 第 9 题图 21 七年级下册 （ 人教版 ）数学 【 例 】 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过直线 a 外的一点 B 画直线 a 的平行线 ， 能画一条 . （ 2 ） 过点 C 画直线 a 的 平行线 ， 它与过点 B 的平行 线平行 . 理由如下 ： 如图 ， ∵b∥a ， c∥a ， ∴c∥b. 1. C 2. C 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） EF∥AB ， MC⊥CD. 5. 解 ： （ 1 ）（ 2 ） 如图所示 . （ 3 ） l 1 与 l 2 夹角有两个 ： ∠1 ， ∠2. ∠1=∠O ， ∠2+∠O=180° ， ∴l 1 和 l 2 的夹角与 ∠O 相等或互补 . 6. （ 1 ） （ 2 ） 如图所示 （ 3 ） 60 （ 4 ） 30 AB= 2DC （ 5 ） 15 DE= 1 2 AC 平行 7.2.2 平行线的判定 【 知识点 】 同位角相等 ， 两直线平行 内错 角相等 ， 两直线平行 同旁内角互补 ， 两直线平 行 （ 1 ） 同位角相等 （ 2 ） 内错角相等 （ 3 ） 同旁内角互补 【 例 】 等量代换 同位角相等 ， 两直线平行 ∠EAC＝∠FBD 等式的性质 EAB FBG AE BF 1. B 2. A 3. A 4. D 5. C 6. A 7. C 8. 已知 ∠1 同角的补角相等 等量代换 内 错角相等 ， 两直线平行 9. D 10. 角平分线的定义 ∠NMP ∠BMQ 垂直的定 义 内错角相等 ， 两直线平行 11. 证明 ： ∵BE ， DF 分别是 ∠ABC 和 ∠ADC 的平 分线 ， ∴∠1= 1 2 ∠ABC ， ∠2= 1 2 ∠ADC. ∵∠ABC＝ ∠ADC ， ∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3 ， ∴∠1＝∠3 ， ∴BC∥AD. 12. D 13. A 7.2.3 平行线的性质 ( 第一课时 ) 【 知识点 】 两直线平行 ， 同位角相等 两直 线平行 ， 内错角相等 两直线平行 ， 同旁内角互 补 C 【 例 】 解 ： ∵∠CDE＝160° ， ∴∠CDB＝180°- 160°＝20°. ∵AB∥CD ， ∴∠ABD＝∠CDB＝20°. ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴∠ABC＝2∠ABD＝40°. ∵AB∥CD ， ∴ ∠C+∠ABC=180° ， ∴∠C＝180°-∠ABC＝140°. 1. C 2. C 3. C 4. D 5. D 6. B 7. A 8. 70° 9. 126° 10. 解 ： ∵CD 平分 ∠ACM ， ∴∠ACM＝2∠DCM. ∵ ∠DCM＝60° ， ∴∠ACM＝120°. ∵ 直线 AB 与 OM 交于点 C ， ∴∠OCB＝∠ACM＝120°. ∵AB∥ON ， ∴∠O+∠OCB＝ 180° ， ∴∠O＝60°. 11. C 12. D 13. 20° 14. 解 ： ∵AB∥CD ， ∠B ＝40° ， ∴∠BCE ＝180° - ∠B＝180°-40°＝140°. ∵CN 是 ∠BCE 的平分线 ， ∴∠BCN= 1 2 ∠BCE= 1 2 ×140°＝70°. ∵CM⊥CN ， ∴∠NCM=90° ， ∴ ∠BCM＝90°-70°＝20°. 15. B 16. B 17. B 7.2.3 平行线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. C 2. 120° 【 例 】 解 ： ∵∠A+∠ABC=180° ， ∴AD∥BC ， ∴∠1=∠3. ∵BD⊥CD ， EF⊥CD ， ∠BDC=∠EFC= 90° ， ∴BD∥EF ， ∴∠2=∠3 ， ∴∠1=∠2. 1. D 2. B 3. A 4. B 5. A 6. AB∥CD 同旁 内角互补 ， 两直线平行 ∠APC 两直线平行 ， 内错 角相等 ∠BAP ∠APC 等式性质 内错角相等 ， 两直线平行 两直线平行 ， 内错角相等 7. B 8. A 9. 解 ： BD 与 AC 互相垂直 . ∵∠1＝∠C ， ∴ED∥ BC ， ∴∠2＝∠DBC. ∵∠2＝∠3 ， ∴∠DBC＝∠3 ， ∴BD∥ FG. ∵FG⊥AC ， ∴∠BDC=∠FGC=90° ， ∴BD⊥AC. 10. 解 ： （ 1 ） 114°. （ 2 ） ∠1 与 ∠2 的关系 ： ∠1= 90°+∠2. 证明 ： 过点 B 作 BN∥ a ， ∵BN∥a ， a∥b. ∴BN∥a∥b ， ∠1+∠ABN=180°. 由题意可知 ， ∠ABN+∠CBN=90° ， ∵BN∥b ， ∴∠2 =∠NBC. ∵∠1 +∠ABN = 180° ， ∴∠1+ （ 90°-∠2 ） =180° ， ∴∠1=90°+∠2. （ 3 ） ∠1 =90° -∠2. 理 由 如 下 ： 设 BC 与直线 b 交于点 E ， BM 与 直 线 b 交 于 点 F ， 则 ∠2 = ∠BEF ， ∠1 =∠BFE. ∵∠BEF + ∠BFE=90° ， ∴∠1+∠2=90° ， ∴ ∠1=90°-∠2. 11. B 12. C 13. D 7.3 定义 、 命题 、 定理 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 1. D 2. C 3. 两条直线都与第三 条直线平行 这两条直线也互相平行 【 例 】 已知 ： a⊥c ， b⊥c. 求证 ： a∥b. 证明 ： ∵a⊥c ， ∴∠1=90°. ∵b⊥c ， ∴∠2=90° ， ∴∠1=∠2 ， ∴a∥b. 1. D 2. D 3. C 4. D 5. B 6. 两条直线平行于同一条直线 这两条直线互相 平行 c b a C B 例题答图 O A P B 2 1 l 2 l 1 第 5 题答图 第 6 题答图 M a b B A C 2 1 N 图 1 图 2 第 10 题答图 E N O CA D B M 60° M a b B A C 2 1 F E A B C D E M F 第 4 题答图 44 参 考 答 案 7. （ 1 ） 如果两直线平行 ， 那么内错角相等 （ 2 ） 如果两个角是同角的余角 ， 那么这两个角相等 8. 解 ： 如果 ∠1=∠2 ， 那么 AB∥CD ， 不是真命题 . 添加条件为 BE∥DF. 证明 ： ∵BE∥DF ， ∴∠MBE= ∠BDF. ∵∠1=∠2 ， ∴∠MBA=∠BDC ， ∴AB∥CD. 9. D 7.3 定义 、 命题 、 定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 真命题 推理 推理 B 【 例 】 （ 1 ） 45° 135° （ 2 ） 如果两个角的 两边分别平行 ， 那么这两个角相等或互补 . 1. D 2. D 3. C 4. ①③④ 5. 证明 ： ∵DE 平分 ∠ADC ， CE 平分 ∠DCB ， ∴ ∠ADC＝2∠1 ， ∠BCD＝2∠2. ∵∠1+∠2＝90° ， ∴∠ADC+ ∠BCD＝180° ， ∴AD∥BC ， ∴∠A+∠B＝180° ， ∴∠A＝ 180°-∠B＝90° ， ∴DA⊥AB. 6. 解 ： （ 1 ） 平行于同一直线的两直线平行 ； 两直 线平行 ， 内错角相等 ； ∠BEF+∠CEF. （ 2 ） 如图 ， 过点 E 作 EF∥ AB ， ∵AB∥CD ， EF∥AB ， ∴EF∥ CD ， ∴∠C +∠CEF ＝180° ， ∠B + ∠BEF＝180° ， ∴∠B+∠C+∠CEF+ ∠BEF＝360° ， ∴∠B+∠BEC+∠C＝ 360°. （ 3 ） ∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4. 7. 解 ： （ 1 ） BF∥DF ， 理由如下 ： ∵∠AGF=∠ABC ， ∴GF∥BC ， ∴∠1=∠3. ∵∠1+∠2=180° ， ∴∠3+∠2=180° ， ∴BF∥DE. （ 2 ） ∵BF∥DE ， BF⊥AC ， ∴DE⊥AC. ∵∠1+∠2= 180° ， ∠2=135° ， ∴∠1=45° ， ∴∠AFG=90°-45°=45°. 7.4 平 移 【 知识点 1 】 移动 B 【 知识点 2 】 （ 1 ） 形状 大小 （ 2 ） 平行 相等 B 【 例 】 （ 1 ） ∠DEF EF CF （ 2 ） 4 1. B 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. 12 8. 解 ： （ 1 ） 由平移知 ， BD＝CE＝4. ∵BC＝6 ， ∴BE＝ BC+CE＝6+4＝10 （ cm ） . （ 2 ） 由平移知 ， ∠FDE＝∠ABC＝45° ， ∴∠FDB＝ 180°-∠FDE＝135°. 9. 解 ： （ 1 ） ∵ 将三角形 ABC 沿射线 AB 的方向 移动 2 cm 到三角形 DEF 的位置 ， ∴AE∥CF ， AC∥ DF ， BC∥EF. （ 2 ） ∵ 将三角形 ABC 沿射线 AB 的方向移动 2 cm 到三角形 DEF 的位置 ， ∴AD＝CF＝BE＝2 cm. （ 3 ） ∵AE∥CF ， ∠ABC＝65° ， ∴∠BCF＝∠ABC＝ 65°. ∵BC∥EF ， ∴∠EFC+∠BCF＝180° ， ∴∠EFC＝115°. 10. 解 ： （ 1 ） 由题意得 ， 绿地面积为 b （ a-1 ） ＝ （ ab- b ） m 2 ， ∴ 绿地面积为 （ ab-b ） m 2 . （ 2 ） 当 a＝30 m ， b＝20 m 时 ， 绿地面积为 ab-b＝ 30×20-20＝580 （ m 2 ）， ∴ 绿地面积是 580 m 2 . 11. （ 3 ， 2 ） 12. 30 第八章 实 数 8.1 平方根 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 平方 x 2 =a 二次方根 ± a 姨 正 、 负根号 a 被开方数 1. 平方根 2. ±3 【 知识点 2 】 平方根 逆运算 1. D 2. ± 7 姨 3. 16 【 知识点 3 】 两 相反数 0 没有 1. D 2. A 3. ± 3 2 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵ （ ±11 ） 2 =121 ， ∴121 的平 方根是 ±11. （ 2 ） ∵ （ ±0.1 ） 2 =0.01 ， ∴0.01 的平方 根是 ±0.1. （ 3 ） ∵ ± 5 3 3 & 2 = 25 9 ， ∴ 25 9 的平方根是 ± 5 3 . （ 4 ） （ -13 ） 2 =169 ， ∵ （ ±13 ） 2 =169 ， ∴ （ -13 ） 2 的平方根是 ±13. 1. D 2. B 3. A 4. ±0.9 5. 4 6. 解 ： （ 1 ） ∵ （ ±7 ） 2 =49 ， ∴49 的平方根是 ±7. （ 2 ） ∵ ± 4 5 3 & 2 = 16 25 ， ∴ 16 25 的平方根是 ± 4 5 . （ 3 ） ∵2 1 4 = 9 4 ， ± 3 2 3 & 2 = 9 4 ， ∴2 1 4 的平方根是 ± 3 2 . （ 4 ） ∵ （ ±0.6 ） 2 =0.36 ， ∴0.36 的平方根是 ±0.6. （ 5 ） ∵ - 3 8 3 & 2 = 9 64 = 3 8 3 & 2 ， ∴ - 3 8 3 & 2 的平方根是 ± 3 8 . 7. 解 ： ∵2x-1 的平方根为 ±3 ， ∴2x-1=9 ， 解得 x=5. ∵3x+y-1 的平方根为 ±4 ， ∴3x+y-1=16 ， 解得 y=2 ， ∴x+ 2y=5+4=9 ， ∴x+2y 的平方根为 ±3. 8. D 8.1 平方根 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 正的平方根 a 姨 a 姨 是 0 0 姨 越大 1. A 2. B 3. 3 4. 5 5. 4 3 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵8 2 =64 ， ∴64 的算术平方根 是 8. （ 2 ） ∵0.5 2 =0.25 ， ∴0.25 的算术平方根是 0.5. （ 3 ） ∵ 5 9 3 & 2 = 25 81 ， ∴ 25 81 的算术平方根是 5 9 . 1. B 2. B 3. C 4. C 5. 解 ： （ 1 ） ∵13 2 =169 ， ∴169 的算术平方根是 13 ， 即 169 姨 =13. （ 2 ） ∵ 2 9 3 & 2 = 4 81 ， ∴ 4 81 的算术平方根 是 2 9 ， 即 4 81 姨 = 2 9 . （ 3 ） ∵0.3 2 =0.09 ， ∴0.09 的算术 平方根是 0.3 ， 即 0.09 姨 =0.3. （ 4 ） ∵ （ -3 ） 2 =9=3 2 ， ∴ （ -3 ） 2 的算术平方根是 3 ， 即 （ -3 ） 2 姨 =3. 6. 解 ： （ 1 ） 16 姨 =4. （ 2 ） - 0.04 姨 =-0.2. （ 3 ） ± （ -4 ） 2 姨 =±4. （ 4 ） 3 600 姨 =60. （ 5 ） ± 9 256 姨 =± 3 16 . 7. 解 ： 根据题意 ， 得 v=16 df 姨 =16 51.2×1.25 姨 = 16×8=128 （ km/h ）， ∵128>120 ， ∴ 肇事汽车当时的速度 超出了规定的速度 . 8. 2 （ 答案不唯一 ） 9. n （ n+3 ） +1 10. C 11. A 12. D 13. ±2 14. 5 15. 1 16. 1 （ 答案不唯一 ） C D A B E F 第 6 题答图 45