7.2.3 平行线的性质(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版 2024）

相交线与平行线 第七章 知识梳理 形成联系 【知识点】 平行线的判定和性质的关系 ◎ 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系 来寻找角的数量关系.判定由数到形，用于判定两直线平行；性质由形到数，用于推导角的 关系并计算. 1. 如图 7.2-7 ， l 1 ∥l 2 ， ∠1＝105° ， ∠2＝140° ， 则 ∠3 的度数为 （ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 2. 如图 7.2-8 ， 某小区地下停车场的栏杆如图所示， 当栏杆抬起到最大高度时 ∠ABC= 150° ， 若此时 CD 平行地面 AE ， 则 ∠BCD 的度数为 . 例题点拨 素养导向 【例】 如图 7.2-9 ， 在四边形 ABCD 中， ∠A+∠ABC=180° ， BD⊥ CD 于点 D ， EF⊥CD ， 垂足为 F ， 试说明 ∠1=∠2. 【点拨】 根据平行线的判定和性质进行解答， 关键是找准截线、 被 截直线及相关位置的角 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 已知 ∠B＋∠DAB＝180° ， AC 平分 ∠DAB ， 如果 ∠C＝50° ， 那么 ∠B 的度数为 （ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 2. 如图是一款手推车的平面示意图 ， 其中 AB∥CD ， ∠1＝24° ， ∠2＝76° ， 则 ∠3 的度数为 （ ） A. 104° B. 128° C. 138° D. 156° 7.2.3 平行线的性质 （第二课时） l 1 l 2 1 2 3 E A B C D 图 7.2-8 图 7.2-7 A 3 2 1 D F C E B 图 7.2-9 C D A E B 第 1 题图 D B 3 2 1 C A 第 2 题图 17 七年级下册 （人教版）数学 3. 如图， 快艇从 P 处向正北航行到 A 处时， 向左转 50° 航行到 B 处， 再向右转 80° 继续航行， 此时航行方向是 （ ） A. 北偏东 30° B. 北偏东 80° C. 北偏西 30° D. 北偏西 50° 4. 如图， 直线 a∥b ， 将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放， 若 ∠1=58° ， 则 ∠2 的度数为 （ ） A. 30° B. 32° C. 42° D. 58° 5. 如图， 已知 AC∥ED ， ∠C=20° ， ∠CBE=43° ， 则 ∠BED 的度数是 （ ） A. 63° B. 83° C. 73° D. 53° 6. 填空并完成以下证明 . 如图， 已知点 P 在直线 CD 上， ∠BAP+∠APD＝180° ， ∠1＝∠2. 求证： ∠E＝∠F. 证明： ∵∠BAP+∠APD＝180° （已知）， ∴ （ ）， ∴∠BAP＝ （ ） . 又 ∵∠1＝∠2 （已知）， ∠3＝ -∠1 ， ∠4＝ -∠2 ， ∴∠3＝∠4 （ ）， ∴AE∥PF （ ）， ∴∠E＝∠F （ ） . 能力提升 综合拓展 7. 如图， AB∥EF ， ∠BCD＝90° ， 探索图中角 α ， β ， γ 之间的关 系式正确的是 （ ） A. α+β+γ＝360° B. α+β＝γ+90° C. α+γ＝β D. α+β+γ＝180° 8. 如图， AB∥CD ， 则下列等式成立的是 （ ） A. ∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G B. ∠E＋∠F＋∠G＝∠B＋∠D C. ∠F＋∠G＋∠D＝∠B＋∠E D. ∠B＋∠E＋∠F＝∠G＋∠D D P C F A E B 1 3 4 2 第 6 题图 80° 50° A P B 北 东 第 3 题图 B A E F γ β α D C 第 7 题图 D F BA C G E 第 8 题图 a b 2 1 第 4 题图 D A B C E 第 5 题图 18 相交线与平行线 第七章 9. 如图， 已知 ∠1＝∠C ， ∠2＝∠3 ， FG⊥AC 于点 G ， 你能说明 BD 与 AC 互相垂直吗？ 10. 数学活动课上， 老师先在黑板上画出两条直线 a∥b ， 再将三角板 MBC （ ∠MBC= 90° ， MB 与直线 a 相交于点 A ） 放在黑板上， 转动三角板得到下面三个不同位置的图形 . （ 1 ） 如图 1 ， 若点 B 在直线 b 上， ∠2=24° ， 则 ∠1= . （ 2 ） 如图 2 ， 若点 B 在直线 a 的下方， 在直线 b 的上方， ∠1 与 ∠2 有怎样的关系？ 写出 结论， 并给出证明 . （ 3 ） 如图 3 ， 若点 B 在直线 b 的下方， 请写出 ∠1 与 ∠2 之间的关系， 并说明理由 . 中考链接 真题演练 11. （ 2024 ·呼和浩特） 如图， 直线 l 1 和 l 2 被直线 l 3 和 l 4 所截， ∠1= ∠2=130° ， ∠3=75° ， 则 ∠4 的度数为 （ ） A. 75° B. 105° C. 115° D. 130° 12. （ 2024 ·辽宁样卷） 如图， 平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后， 折射光线 BE ， DF 的反向延长线交于主光轴 MN 上一点 P. 若 ∠ABE=150° ， ∠CDF=160° ， 则 ∠EPF 的度数是 （ ） A. 20° B. 30° C. 50° D. 60° 13. （ 2024 ·淮北一模） 已知 a∥b ， 将一块等腰直角三角形的三角 板按如图所示的方式摆放， 若 ∠2=30° ， 则 ∠1 的度数为 （ ） A. 100° B. 135° C. 155° D. 165° A G C F B E D 3 2 1 第 9 题图 M a b B A C 2 1 M a b B A C 2 1 M a b B A C 2 1 图 1 图 2 图 3 第 10 题图 a b 1 2 第 13 题图 F N E B P A M C D 第 12 题图 l 3 l 1 l 2 l 4 3 1 2 4 第 11 题图 19 七年级下册 （ 人教版 ）数学 【 例 】 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过直线 a 外的一点 B 画直线 a 的平行线 ， 能画一条 . （ 2 ） 过点 C 画直线 a 的 平行线 ， 它与过点 B 的平行 线平行 . 理由如下 ： 如图 ， ∵b∥a ， c∥a ， ∴c∥b. 1. C 2. C 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） EF∥AB ， MC⊥CD. 5. 解 ： （ 1 ）（ 2 ） 如图所示 . （ 3 ） l 1 与 l 2 夹角有两个 ： ∠1 ， ∠2. ∠1=∠O ， ∠2+∠O=180° ， ∴l 1 和 l 2 的夹角与 ∠O 相等或互补 . 6. （ 1 ） （ 2 ） 如图所示 （ 3 ） 60 （ 4 ） 30 AB= 2DC （ 5 ） 15 DE= 1 2 AC 平行 7.2.2 平行线的判定 【 知识点 】 同位角相等 ， 两直线平行 内错 角相等 ， 两直线平行 同旁内角互补 ， 两直线平 行 （ 1 ） 同位角相等 （ 2 ） 内错角相等 （ 3 ） 同旁内角互补 【 例 】 等量代换 同位角相等 ， 两直线平行 ∠EAC＝∠FBD 等式的性质 EAB FBG AE BF 1. B 2. A 3. A 4. D 5. C 6. A 7. C 8. 已知 ∠1 同角的补角相等 等量代换 内 错角相等 ， 两直线平行 9. D 10. 角平分线的定义 ∠NMP ∠BMQ 垂直的定 义 内错角相等 ， 两直线平行 11. 证明 ： ∵BE ， DF 分别是 ∠ABC 和 ∠ADC 的平 分线 ， ∴∠1= 1 2 ∠ABC ， ∠2= 1 2 ∠ADC. ∵∠ABC＝ ∠ADC ， ∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3 ， ∴∠1＝∠3 ， ∴BC∥AD. 12. D 13. A 7.2.3 平行线的性质 ( 第一课时 ) 【 知识点 】 两直线平行 ， 同位角相等 两直 线平行 ， 内错角相等 两直线平行 ， 同旁内角互 补 C 【 例 】 解 ： ∵∠CDE＝160° ， ∴∠CDB＝180°- 160°＝20°. ∵AB∥CD ， ∴∠ABD＝∠CDB＝20°. ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∴∠ABC＝2∠ABD＝40°. ∵AB∥CD ， ∴ ∠C+∠ABC=180° ， ∴∠C＝180°-∠ABC＝140°. 1. C 2. C 3. C 4. D 5. D 6. B 7. A 8. 70° 9. 126° 10. 解 ： ∵CD 平分 ∠ACM ， ∴∠ACM＝2∠DCM. ∵ ∠DCM＝60° ， ∴∠ACM＝120°. ∵ 直线 AB 与 OM 交于点 C ， ∴∠OCB＝∠ACM＝120°. ∵AB∥ON ， ∴∠O+∠OCB＝ 180° ， ∴∠O＝60°. 11. C 12. D 13. 20° 14. 解 ： ∵AB∥CD ， ∠B ＝40° ， ∴∠BCE ＝180° - ∠B＝180°-40°＝140°. ∵CN 是 ∠BCE 的平分线 ， ∴∠BCN= 1 2 ∠BCE= 1 2 ×140°＝70°. ∵CM⊥CN ， ∴∠NCM=90° ， ∴ ∠BCM＝90°-70°＝20°. 15. B 16. B 17. B 7.2.3 平行线的性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. C 2. 120° 【 例 】 解 ： ∵∠A+∠ABC=180° ， ∴AD∥BC ， ∴∠1=∠3. ∵BD⊥CD ， EF⊥CD ， ∠BDC=∠EFC= 90° ， ∴BD∥EF ， ∴∠2=∠3 ， ∴∠1=∠2. 1. D 2. B 3. A 4. B 5. A 6. AB∥CD 同旁 内角互补 ， 两直线平行 ∠APC 两直线平行 ， 内错 角相等 ∠BAP ∠APC 等式性质 内错角相等 ， 两直线平行 两直线平行 ， 内错角相等 7. B 8. A 9. 解 ： BD 与 AC 互相垂直 . ∵∠1＝∠C ， ∴ED∥ BC ， ∴∠2＝∠DBC. ∵∠2＝∠3 ， ∴∠DBC＝∠3 ， ∴BD∥ FG. ∵FG⊥AC ， ∴∠BDC=∠FGC=90° ， ∴BD⊥AC. 10. 解 ： （ 1 ） 114°. （ 2 ） ∠1 与 ∠2 的关系 ： ∠1= 90°+∠2. 证明 ： 过点 B 作 BN∥ a ， ∵BN∥a ， a∥b. ∴BN∥a∥b ， ∠1+∠ABN=180°. 由题意可知 ， ∠ABN+∠CBN=90° ， ∵BN∥b ， ∴∠2 =∠NBC. ∵∠1 +∠ABN = 180° ， ∴∠1+ （ 90°-∠2 ） =180° ， ∴∠1=90°+∠2. （ 3 ） ∠1 =90° -∠2. 理 由 如 下 ： 设 BC 与直线 b 交于点 E ， BM 与 直 线 b 交 于 点 F ， 则 ∠2 = ∠BEF ， ∠1 =∠BFE. ∵∠BEF + ∠BFE=90° ， ∴∠1+∠2=90° ， ∴ ∠1=90°-∠2. 11. B 12. C 13. D 7.3 定义 、 命题 、 定理 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 1. D 2. C 3. 两条直线都与第三 条直线平行 这两条直线也互相平行 【 例 】 已知 ： a⊥c ， b⊥c. 求证 ： a∥b. 证明 ： ∵a⊥c ， ∴∠1=90°. ∵b⊥c ， ∴∠2=90° ， ∴∠1=∠2 ， ∴a∥b. 1. D 2. D 3. C 4. D 5. B 6. 两条直线平行于同一条直线 这两条直线互相 平行 c b a C B 例题答图 O A P B 2 1 l 2 l 1 第 5 题答图 第 6 题答图 M a b B A C 2 1 N 图 1 图 2 第 10 题答图 E N O CA D B M 60° M a b B A C 2 1 F E A B C D E M F 第 4 题答图 44