3 等可能事件的概率(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

概 率 初 步 第三章 自主导学 典例精析 例题 如图， 这是一个可以自由转动的转盘， 转盘分成 9 个大小相 同的扇形， 颜色分为红、 绿、 黄、 白四种。 指针的位置固定， 转动的转盘 停止后， 其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置 （指针指向两个扇 形的交线时无效）。 请解答下列问题： （ 1 ） 求指针指向红色区域的概率。 （ 2 ） 求指针指向红色或者黄色区域的概率。 （ 3 ） 请你用这个转盘设计转动规则， 使指针指向某区域的概率为 4 9 。 【分析】 问题中可能出现的结果有 9 种， 即指针可能指向 9 个扇形中的任何一个。 因 为这 9 个扇形的大小相同， 转动的转盘又是自由停止， 所以指针指向的每个扇形的可能 性相等， 故可用简单事件发生的概率公式求解。 【解答】 按颜色把 9 个扇形记为红 1 ， 红 2 ， 绿 1 ， 绿 2 ， 黄 1 ， 黄 2 ， 黄 3 ， 白 1 ， 白 2 ， 所以 可能的结果共有 9 种， 且它们出现的可能性相同。 （ 1 ） 指针指向红色区域的结果有 2 种， 即红 1 ， 红 2 ， 所以 P （指向红色区域） = 2 9 。 （ 2 ） 指针指向红色或黄色区域的结果有 5 种， 即红 1 ， 红 2 ， 黄 1 ， 黄 2 ， 黄 3 ， 所以 P （指 向红色或黄色区域） = 5 9 。 （ 3 ） 答案不唯一： 例如： 转动的转盘停止后， 规定指针指向的区域是绿色或白色区域。 理由如下： 因为指针指向绿色或白色区域的结果有 4 种， 即绿 1 ， 绿 2 ， 白 1 ， 白 2 ， 所 以 P （指向绿色或白色区域） = 4 9 。 【点拨】 在概率求解过程中， 为了方便列举试验的所有可能的结果， 我们给不同的结果 编号或用符号表示是一种常用的方法。 基础巩固 达标闯关 1. 在超市的一次抽奖活动中， 规定： 从一个不透明的纸箱中任意摸出一个球为红球即获 得一等奖。 已知不透明的纸箱中装有黑球 10 个、 白球 6 个、 红球 2 个， 这些球除颜色不同 外没有任何区别， 现从中任意摸出 1 个球， 要使中一等奖的概率为 1 5 ， 则需要往这个纸箱 再放入同种红球 个。 3 等可能事件的概率 （第 3课时） 红 红 白 黄 绿 白 黄 黄 绿 例题图 69 七年级下册 （北师大版）数学 2. 如图， 一个游戏转盘中， 红、 黄、 蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60° ， 90° ， 210° 。 让转盘自由转动， 则指针停止后落在黄色区域的概率是 。 3. 在如图所示的电路图中， 当随机闭合开关 A ， B ， C 中的任意一个时， 能够使小灯泡 发光的概率为 。 （电路图中开关闭合后能形成封闭图形小灯泡即可发光） 4. 将一个棱长为 3 的正方体的 6 个面都涂上红色， 再把它全部切割成棱长为 1 的完全相 同的小正方体， 从中任取一个小正方体， 则取得的小正方体至少有 2 个面涂上了红色的概率 为 。 5. 象棋是起源于中国的一种棋戏， 现今通行的象棋， 相传为唐代牛僧孺所制， 刻圆木或 牙、 骨为棋子三十二枚， 红黑各半， 黑方以将统士、 象、 车、 马、 炮各二， 卒五。 若从一套 完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子， 则该棋子为黑马的概率为 （ ） A. 1 4 B. 1 8 C. 1 16 D. 1 32 6. 若干张卡片上均写有一道数学题， 其中有 3 道几何题， 其余都是代数题， 这些卡片除 上面所写的题不一样外， 其余完全相同。 将这些卡片背面朝上洗匀， 若随机抽取一张卡片， 上面是几何题的概率是 1 4 ， 则上面写有代数题的卡片的张数是 （ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 7. 甲、 乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干， 这些糖果除颜色外无其他差 别。 具体情况如下表所示： 若小明从甲、 乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果， 则他从甲袋比从乙袋 （ ） A． 摸到红色糖果的概率大 B． 摸到红色糖果的概率小 C． 摸到黄色糖果的概率大 D． 摸到黄色糖果的概率小 8. 以下转盘分别被分成 2 个、 4 个、 5 个、 6 个面积相等的扇形， 任意转动这 4 个转盘 各 1 次。 已知某转盘停止转动时， 指针落在阴影区域的概率是 1 3 ， 则对应的转盘是 （ ） 蓝 红 黄 A B C 第 2 题图 第 3 题图 乙袋 4 颗 2 颗 4 颗 10 颗 糖果袋子 红色 黄色 绿色 总计 甲袋 2 颗 2 颗 1 颗 5 颗 BA C D 70 概 率 初 步 第三章 9. 暑假将至， 某商场为了吸引顾客， 设立了一个可以自由转动的转盘， 转盘分成 16 个 大小相同的扇形， 部分扇形涂有红、 黄、 蓝三种颜色 （如图）， 并规定： 顾客每购买 300 元 的商品， 就能获得一次转动转盘的机会， 如果转盘停止后， 指针正好对准红色、 黄色或蓝色 区域， 顾客就可以分别获得 100 元、 50 元、 20 元的购物券。 若某顾客购物 320 元。 （ 1 ） 求他获得购物券的概率。 （ 2 ） 他获得哪种购物券的概率最大？ 请说明理由。 10. 某儿童用品商店在六一儿童节设置了一个购物摸球游戏： 在一不透明的箱子里装了 50 个小球， 这些球分别标有 50 元、 8 元、 2 元、 0 元的金额， 其中标有 50 元的小球有 4 个， 标有 0 元小球有 5 个， 标有 2 元小球的个数比标有 8 元小球的个数的 2 倍少 1 个， 这些小球 除数字外都相同， 并规定： 凡购买指定商品， 可以摸球一次， 如果摸到标有 50 元、 8 元、 2 元的小球， 则可以得到等价值的奖品一个。 已知小明购买了指定商品， 根据以上信息回答下列问题： （ 1 ） 小明获得奖品的概率是多少？ 获得 8 元奖品的概率是多少？ （ 2 ） 为吸引顾客， 儿童用品商店现将 8 元奖品的获奖概率提高到 2 5 ， 在保持小球总数不 变的情况下， 需要把几个标有 2 元的小球改为 8 元的小球？ 蓝 蓝 蓝 蓝 黄 黄 红 第 9 题图 71 七年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 11. 某商店打折活动规定： 凡在本商场购物， 可转动如图所示的转盘一次， 并根据所转 结果付账。 （ 1 ） 分别求出打九折、 打八折的概率。 （ 2 ） 小红和小明分别购买了价值 200 元的商品， 活动后一共付钱 360 元， 请你分析他们 获得优惠的情况。 12. 从背面相同的同一副扑克牌中取出 9 张红桃、 10 张黑桃、 11 张方块。 （ 1 ） 将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上， 求从中随机抽出一张是红桃的概率。 （ 2 ） 若先从取出的这些牌中抽掉 9 张红桃和 m （ m＞6 ） 张黑桃后， 将剩下的牌洗匀背面 朝上放在桌面上， 再从桌面上随机抽出一张牌。 ① 当 m 为何值时， 事件 “再抽出的这张牌是方块” 为必然事件？ ② 当 m 为何值时， 事件 “再抽出的这张牌是方块” 为随机事件？ 请求出这个事件概率 的最小值。 中考链接 真题演练 13. （ 2024 ·济南） 如图是一个可以自由转动的转盘， 转盘被等分成四个扇 形， 转动转盘， 当转盘停止时， 指针落在红色区域的概率为 。 14. （ 2024 ·苏州） 如图， 正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形 ， 任意转动这个转盘一次， 当转盘停止转动时， 指针落在阴影部分的概率是 。 15. （ 2024 ·资阳） 一个不透明的袋中装有 6 个白球和 m 个红球， 这些球除 颜色外无其他差别。 充分搅匀后， 从袋中随机取出一个球是白球的概率为 2 5 ， 则 m= 。 打八折 打九折 不打折 60° 第 11 题图 红 白 白 白 第 13 题图 第 14 题图 72 参考答案与提示 的结果有 7 种， 因此 “是 3 的倍数” 的概率是 3 10 ， “不是 3 的倍数” 的概率是 7 10 。 （ 3 ） 指针指向的数字 “是大 于 6 的数” 的结果有 4 种， “不是大于 6 的数” 的结果有 6 种， 因此 “是大于 6 的数” 的概率是 4 10 = 2 5 ， “不是 大于 6 的数” 的概率是 6 10 = 3 5 。 因此， 猜数者选择 “不是 3 的倍数”， 这样获胜的概率为 7 10 ， 获胜的可能性最大。 15. 1 4 16. 6 7 17. 1 5 3 等可能事件的概率 （第 2 课时） 1． 6 11 2. 5 3. 1 2 4. C 5. B 6. D 7. （ 1 ） 红球、 白球、 黑球各 3 个。 （ 2 ） 红球与黑球数量相等即 可。 （ 3 ） 红球的个数是 6 ， 其余 3 个球的黑白颜色不限。 8． 解： 正面标记的数字有 3 种可能结果， 即为 6 ， 7 ， 8 ， 且抽出每张卡片的可能性相同。 （ 1 ） 抽出的卡片正面数字是偶数的有 2 种， 所以 P （正面标记的数字 是偶数） = 2 3 。 （ 2 ） 随机抽取一张作为个位上的数字 （不放回）， 再抽取一张作为十位上的数字， 所有的结果共 有 6 种， 即 67 ， 68 ， 76 ， 78 ， 86 ， 87 ， 所以 P （恰好为 “ 68 ”） = 1 6 。 9. 解： 该游戏不公平。 小颖抽到的卡片的 号码数能被 3 整除的可能情况有 3 ， 6 ， 9 ， 获胜的概率为 3 10 ； 小刚抽到的号码数除以 3 余 1 的可能情况有 1 ， 4 ， 7 ， 10 ， 因此获胜的概率为 2 5 。 若使游戏公平， 应添加两张卡片， 其号码数分别为 11 ， 12 ， 此时获胜的可能 性都是 1 3 。 10. 1 5 11. 3 10 12. 3 13. D 14. B 15. D 3 等可能事件的概率 （第 3 课时） 1. 2 2. 1 4 3. 1 3 4. 20 27 5. C 6. B 7. C 8. D 9. 解： 转盘共有 16 个扇形， 所以转盘停止后， 指针指 向的区域可能的结果共有 16 种， 且它们出现的可能性相同。 其中指针指向红色区域的结果有 1 种： 红， 指向黄 色区域的结果有 2 种： 分别是黄 1 ， 黄 2 ， 指向蓝色区域的结果有 4 种： 分别是蓝 1 ， 蓝 2 ， 蓝 3 ， 蓝 4 。 （ 1 ） 指针指 向红色、 黄色或蓝色区域的结果共有 7 种， 所以 P （获得购物券） = 7 16 。 （ 2 ） P （获 100 元购物券） = 1 16 ， P （获 50 元 购物券） = 2 16 = 1 8 ， P （获 20 元购物券） = 4 16 = 1 4 。 因为 1 4 ＞ 1 8 ＞ 1 16 ， 所以他获得 20 元购物券的概率最大。 10. 解： （ 1 ） 设标有 8 元的小球有 x 个， 则标有 2 元的小球有 （ 2x-1 ） 个。 由题意， 得 x+2x-1+4+5=50 。 解得 x=14 。 所以 标有 8 元的小球有 14 个， 则标有 2 元的小球有 27 个。 从袋中任意摸出一个球， 所有可能的结果有 50 种， 且每 种结果出现的可能性相同， 摸出标有 50 元、 8 元、 2 元小球的结果共有 45 个， 所以 P （获得奖品） = 45 50 = 9 10 ； 只摸 出标有 8 元小球的结果有 14 个， 所以 P （获得 8 元奖品） = 14 50 = 7 25 。 （ 2 ） 设需要把 y 个标有 2 元的小球改为 8 元， 则标有 8 元的小球有 （ y+14 ） 个。 由题意， 得 y+14 50 = 2 5 。 解得 y=6 。 所以需要把 6 个标有 2 元的小球改为 8 元的 小球。 11. 解： 由图形知， 可将转盘分为 12 等份， 每份扇形圆心角为 30° ， 则打九折区域的扇形圆心角为 90° ， 为 3 份， 打八折区域的扇形圆心角为 60° ， 为 2 份， 不打折区域的扇形圆心角为 210° ， 为 7 份， 因为这 12 个扇形 的大小相同， 转动的转盘又是自由停止， 所以指针指向每个扇形的可能性相等。 （ 1 ） 所以 P （打九折） = 3 12 = 1 4 ， 所以 P （打八折） = 2 12 = 1 6 。 （ 3 ） 200×80%=160 （元）， 200×90%=180 （元）， 200+160=360 （元）， 180×2=360 （元）， 所以他们获得优惠的情况分为两种： ① 一个不打折， 一个打八折； ② 都打九折。 12. 解： 因为取出 9 张红桃、 10 张黑桃、 11 张方块， 所以共有 30 张， 所以取出扑克牌的所有可能结果有 30 种， 且每种结果出现的可能性相 同。 （ 1 ） 抽出扑克牌是红桃的结果有 9 种， 所以 （抽出一张是红桃） = 9 30 = 3 10 。 （ 2 ） ① 因为事件 “再抽出的这张 牌是方块” 为必然事件， 则剩下的牌中只有方块， 所以当 m 为 10 时， 事件 “再抽出的这张牌是方块” 为必然事 件。 ② 因为事件 “再抽出的这张牌是方块” 为随机事件， 所以剩下的牌中有黑桃和方块。 因为 m＞6 ， 所以当 m 为 9 ， 8 ， 7 时， 事件 “再抽出的这张牌是方块” 为随机事件， 这个事件概率的最小值为 11 10-7+11 = 11 14 。 13. 1 4 14. 3 8 15. 9 第四章 三 角 形 1 认识三角形 （第 1 课时） 1． △ABC AB ， BC ， AC ∠A ， ∠B ， ∠C 2． 80° 3． 钝角 4． 90° 直角 5. C 6. C 7． D 8． A 9． C 10. （ 1 ） Rt△ABC ， AB ； Rt△ACD ， AC ； Rt△BCD ， BC 。 （ 2 ） ∠BCD 。 （ 3 ） ∠B ， ∠ACD 。 11. 解： 在 △ABC 中 ， 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180° ， ∠A=30° ， ∠B=37° ， 所以 ∠ACB=113° 。 因为 ∠DCE=∠ACB ， 所以 ∠DCE=113° 。 又因为 BD∥EF ， 所以 ∠DCE +∠E=180° 。 所以 ∠E=67° 。 12. 解： 由题意， 得 DB∥AE ， ∠BAE= 179