3 等可能事件的概率(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 小军旅行箱的密码是一个六位数， 由于他忘记了密码的末位数字， 求小军能一 次打开该旅行箱的概率。 【分析】 共有 10 种等可能的结果， 小军能一次打开该旅行箱的情况只有 1 种， 直接利用 概率公式求解即可。 【解答】 末位数字所有的可能的结果有 10 种， 即 0~9 的数字， 每种结果出现的可能性相 同， 其中小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况， 所以 P （小军能一次打开该旅行箱） = 1 10 。 【点拨】 此题考查简单随机事件发生的概率的计算。 明确事件发生的可能结果共有多少 种， 以及所求事件发生的可能结果有几种是解题的关键。 此外， 理解应用概率公式的前提条 件是随机试验所有出现的结果发生的可能性是相同的。 基础巩固 达标闯关 1. 一个不透明的袋中装有 6 个红球、 4 个黄球、 2 个蓝球， 每个球除颜色外完全相同， 从袋中任意摸出一球， 则摸到黄球的概率是 。 2. 一副扑克牌 （除花色外都相同）， 将它们的正面朝下洗匀后放在桌上， 小明从中抽出 一张， 则抽到花色是方块的概率是 。 3. 小芳抛一枚硬币 10 次， 有 7 次正面朝上， 当她抛第 11 次时， 正面朝上的概率为 。 4. 某班有 56 名学生， 座位号是从 1~56 ， 则其中一名学生的座位号不小于 28 的概率是 。 5. 鞋柜里有 6 双相同的鞋子， 任意取一只恰是左脚穿的概率为 。 6. 如果从小军等 10 名大学生中任选 1 名作为环保志愿者， 那么小军被选中的概率是 （ ） A. 1 B. 1 11 C. 1 10 D. 1 9 7. 五张卡片正面分别画有等边三角形、 平行四边形、 长方形、 等腰梯形、 正六边形， 卡 片除正面图形不同外， 其他完全相同， 将这五张卡片任意摆放且有图形的一面朝下， 从中任 意翻开一张， 其中图形是轴对称图形的概率是 （ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 3 等可能事件的概率 （第 1课时） 62 概 率 初 步 第三章 能力提升 综合拓展 8. 一个不透明的袋子中装有 6 个完全相同的小球， 小球上分别标注自然数 4~9 ， 从袋中 任意摸出一球， 求下列事件的概率。 （ 1 ） 小球上的数字为奇数。 （ 2 ） 小球上的数字为 3 的倍数。 （ 3 ） 小球上的数字大于 4 且小于 9 。 9. 已知线段 a ， b 的长分别为 3 cm ， 4 cm ， 如果从长度分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 6 cm ， 7 cm 的五条线段中， 任意取一条线段 c ， 求下列事件的概率。 （ 1 ） a ， b 与 c 三条线段能构成三角形。 （ 2 ） a ， b 与 c 三条线段能构成等腰三角形。 10. 小丽和爸爸都喜欢打乒乓球。 一个星期日， 爸爸拿着装有除颜色外都相同的 6 个白 色和 5 个黄色乒乓球的口袋， 让小丽摸球， 并说： “你答对下面的几个问题， 我们就可以打 球了。” （ 1 ） 如果你第一次摸出白球后又放回袋中， 那么第二次摸到白球的概率是多少？ （ 2 ） 如果你第一次摸出黄球后不放回， 那么第二次又摸到黄球的概率是多少？ （ 3 ） 如果你第一次摸出黄球后不放回， 第二次摸出白球又不放回， 那么第三次摸到白球 的概率是多少？ 63 七年级下册 （北师大版）数学 11. “草莓音乐节” 有甲、 乙、 丙三类门票， 七年 （ 2 ） 班购买了甲票 4 张、 乙票 16 张、 丙票 20 张， 这些票除票面内容不同外其他都相同， 该班小尹同学从中随机抽取一张。 （ 1 ） 小尹同学抽到甲票的概率是多少？ （ 2 ） 小尹同学抽到甲票或乙票的概率是多少？ 12. 为了培养学生的科技创新能力， 学校开展 “科技创新展” 活动。 如图是某班级根据 同学们上交的各类作品 （每个人只交一件作品）， 绘制的统计表。 请根据上表提供的信息， 回答下列问题： （ 1 ） 如果从这个班的所有作品中随机选择一件， 那么正好选中 “小发明” 的概率是 多少？ （ 2 ） 如果准备在 “小发明” 和 “小制作” 的作者中随机选择一名作为本班作品的 “解说 员”， 求正好选中 “小发明” 的作者的概率是多少？ 13. 在一个不透明的袋子里， 装有 6 个红球、 3 个黑球、 1 个白球， 它们除颜色外都相同。 （ 1 ） 求从袋中任意摸出一个球为红球的概率。 （ 2 ） 现从袋中取走若干个红球， 并放入相同数量的白球， 充分摇匀后， 要使从袋中随机 摸出一个球是白球的概率是 2 5 ， 问取走了多少个红球。 作品类型 小制作 小发明 科技绘画 其他 数量 / 件 14 10 18 8 64 概 率 初 步 第三章 14. 如图， 一个均匀的转盘被平均分成 10 等份， 分别标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 这 10 个数字。 转动转盘， 当转盘停止后， 指针指向的数字即为转出的数字。 两人参与游戏： 一人转动转盘， 另一人猜数， 若所猜数字与转出的数字相符， 则猜数的 人获胜， 否则转动转盘的人获胜。 猜数的规则从下面三种中选一种： （ 1 ） 猜 “是奇数” 或 “是偶数”； （ 2 ） 猜 “是 3 的倍数” 或 “不是 3 的倍数”； （ 3 ） 猜 “是大于 6 的数” 或 “不是大于 6 的数”。 如果轮到你猜数， 为了尽可能获胜， 你将选择哪一种猜数方法？ 请说明理由。 中考链接 真题演练 15. （ 2024 ·浙江） 有 8 张卡片， 上面分别写着数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 。 从中随机 抽取 1 张， 该卡片上的数是 4 的整数倍的概率是 。 16. （ 2024 ·哈尔滨） 一个不透明的袋子中装有 7 个小球， 其中 6 个红球、 1 个黑球， 这 些小球除颜色外无其他差别。 小峰同学从袋子中随机摸出 1 个小球， 则摸出的小球是红球的 概率是 。 17. （ 2024 ·长沙） 某乡镇组织 “新农村， 新气象” 春节联欢晚会， 抽奖环节中的抽奖方 案如下： 不透明的箱子里装有红、 黄、 蓝三种颜色的球 （除颜色外其余都相同）， 其中红球 有 2 个， 黄球有 3 个， 蓝球有 5 个， 每次摇匀后从中随机摸一个球， 摸到红球获一等奖， 摸 到黄球获二等奖， 摸到蓝球获三等奖， 每个家庭有且只有一次抽奖机会。 小明家参与抽奖， 获得一等奖的概率为 。 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 14 题图 65 七年级下册 （北师大版）数学 可能性为 420+390 1 000 ＝0.81 ， 选择 C 酒店获得良好的用餐体验的可能性为 405+375 1 000 ＝0.78 。 因为 0.81＞0.8＞0.78 ， 所以 选择 B 酒店获得良好的用餐体验的可能性最大。 ② 不一定。 因为可能性只能说明获得良好的用餐体验的可能性 大， 但不一定能够获得良好的用餐体验， 所以小明不一定能获得良好的用餐体验。 ３． ①③ 2 频率的稳定性 （第 2 课时） 1. D 2. 解： （ 1 ） 逐项计算表中频率， 得 0.90 ， 0.80 ， 0.73 ， 0.72 ， 0.72 ， 0.72 。 （ 2 ） 观察表格中的数据， 发现当投篮次数 ≥150 时， 命中的频率稳定在 0.72 附近， 所以我们可取 0.72 作为该运动员 3 分球投篮命中率的估 计， 即该运动员 3 分球投篮命中的概率约为 0.72 。 （ 3 ） 20×72%≈14 次， 14×3=42 （分）。 答： 估计他能得 42 分 。 3. 解 ： （ 1 ） 逐项计算表中频率 ， 得 0.950 ， 0.960 ， 0.957 ， 0.963 ， 0.962 ， 0.962 ， 0.963 ， 0.961 ， 0.962 。 （ 2 ） 观察表格中的数据， 发现当抽取的瓷砖数 ≥400 时， 合格品频率稳定在 0.962 附近， 所以我们可取 0.96 作为 该型号瓷砖的合格品率的估计值， 即这种瓷砖的合格品率约为 0.96 。 （ 3 ） 500 000×96%=480 000 （块）。 答： 估计 该型号瓷砖合格品数为 480 000 块。 4. 解： （ 1 ） 0.111 1 0.166 7 0.092 6 0.148 1 0.296 3 0.185 2 （ 2 ） 都不合理。 理由： 因为抛一次骰子出现点数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 向上的情况具有等可能性， 所以王强的说法 不合理； 虽然抛掷 54 次出现点数 6 向上的频率是 0.185 2 ， 但频率不等于概率， 因为任意掷一次骰子， 点数 6 向 上的概率都是 1 6 ， 所以李刚的说法也不合理。 两人都忽略了试验次数很大时， 事件发生的频率才逐渐稳定于概率 附近， 此时我们才能用试验频率来估计事件发生的概率。 5. 解： （ 1 ） 由表格数据可知， 一年中恰好有 5 个干 燥月份的年数是 8 ， 所以一年中恰好有 5 个干燥月份的频率为 8 46 ≈0.17 ， 所以一年中恰好有 5 个干燥月份的概率 约为 0.17 。 （ 2 ） 一年中干燥月份小于 7 个月的年数为 1+5+8+9=23 ， 所以一年干燥月份小于 7 个月的频率为 23 46 =0.5 ， 所以一年干燥月份小于 7 个月的概率为 0.5 。 （ 3 ） 一年中干燥月份大于 9 个月的年数为 4 ， 所以一年中 干燥月份大于 9 个月的频率为 4 46 ≈0.09 ， 所以一年中干燥月份大于 9 个月的概率约为 0.09 。 6. D 3 等可能事件的概率 （第 1 课时） 1. 1 3 2. 13 54 3. 1 2 4. 29 56 5. 1 2 6. C 7． D 8. 解： 从袋中任意摸出一球， 所有可能的结果有 6 种， 即摸出的小球上标注的数字分别是 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 因为小球完全相同， 所以每种结果出现的可能性相等。 （ 1 ） 摸出的小球上标注的数字为奇数的结果有 3 种， 即标注的数字是 5 ， 7 ， 9 ， 所以 P （摸出的小球上的数字为奇 数） ＝ 3 6 = 1 2 。 （ 2 ） 摸出的小球上标注的数字是 3 的倍数的结果有 2 种， 即标注的数字是 6 ， 9 ， 所以 P （摸出的 小球上的数字为 3 的倍数） ＝ 2 6 = 1 3 。 （ 3 ） 摸出的小球上标注的数字大于 4 且小于 9 的结果有 4 种， 即标注的 数字是 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 所以 P （摸出的小球上的数字大于 4 且小于 9 ） ＝ ４ 6 = 2 3 。 9. 解： 从长度分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ， 6 cm ， 7 cm 的五条线段中， 任意取一条线段， 有五种可能结果， 即 a ， b 与 c 三条线段的组合有 5 种， 每 种结果出现的可能性是相同的。 （ 1 ） a ， b 与 c 三条线段的组合能构成三角形的有 4 种， 分别为 3 cm ， 4 cm ， 3 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 4 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 6 cm 。 所以 P （ a ， b 与 c 三条线段能构成三角形） = 4 5 。 （ 2 ） a ， b 与 c 三条线段的组合能构成等腰三角形的有 2 种， 分别为 3 cm ， 4 cm ， 3 cm ； 3 cm ， 4 cm ， 4 cm 。 所以 P （ a ， b 与 c 三条线段能构成等腰三角形） = 2 5 。 10. （ 1 ） 6 11 。 （ 2 ） 2 5 。 （ 3 ） 5 9 。 11. 解： 因为七年 （ 2 ） 班共购买了 40 张门票， 所以小尹同学抽取门票所有可能的结果有 40 种， 这些票除票面内容不同 外其他都相同， 所以小尹同学抽到每种门票的可能性相同。 （ 1 ） 小尹同学抽到甲票的结果有 4 种， 所以 P （小尹 同学抽到甲票） = 4 40 = 1 10 。 （ 2 ） 小尹同学抽到甲票或乙票的结果共有 20 种， 所以 P （小尹同学抽到甲票或乙票） = 20 40 = 1 2 。 12. 解： （ 1 ） 由表格可得， 作品数量共有 14+10+18+8=50 （件）， 所以抽取的可能结果共有 50 种， 且 每种结果出现的可能性相同， 其中选中 “小发明” 的结果有 10 种， 所以 P （正好选中“小发明”） = 10 50 = 1 5 。 （ 2 ） 由表格可知， 这个班 “小发明” 的数量为 10 ， “小制作” 的数量为 14 ， 这两种作品一共有 24 件， 即 “小发明” 和 “小制作” 的作者共有 24 人， 所以抽取的可能结果共有 24 种， 且每种结果出现的可能性相同， 所以 P （正好选 中“小发明”的作者） = 10 24 = 5 12 。 13. 解： 从袋中任意摸出一个球， 所有可能的结果有 10 种， 因为这 10 个小球除 颜色外都相同， 所以每种结果出现的可能性相同。 （ 1 ） 其中是红球的结果有 6 种， 所以 P （任意摸出一个球为红 球） = 6 10 = 3 5 。 （ 2 ） 设取走了 x 个红球， 又将 x 个白球放入袋中后， 袋中的总球数还是 10 个。 因为从袋中随机摸 出一个球是白球的概率是 2 5 ， 所以 P （任意摸出一个球为白球） = 1+x 10 = 2 5 。 解得 x=3 。 答： 取走了 3 个红球。 14. 解： 任意转动转盘， 当转盘停止后， 指针指向的数字共有 10 种可能的结果， 因为每份大小相同， 所以每种结 果出现的可能性相同。 （ 1 ） 指针指向的数字 “是奇数” 的结果有 5 种， “是偶数” 结果的也有 5 种， 因此 “是 奇数” 或 “是偶数” 的概率都是 5 10 = 1 2 。 （ 2 ） 指针指向的数字 “是 3 的倍数” 的结果有 3 种， “不是 3 的倍数” 178 参考答案与提示 的结果有 7 种， 因此 “是 3 的倍数” 的概率是 3 10 ， “不是 3 的倍数” 的概率是 7 10 。 （ 3 ） 指针指向的数字 “是大 于 6 的数” 的结果有 4 种， “不是大于 6 的数” 的结果有 6 种， 因此 “是大于 6 的数” 的概率是 4 10 = 2 5 ， “不是 大于 6 的数” 的概率是 6 10 = 3 5 。 因此， 猜数者选择 “不是 3 的倍数”， 这样获胜的概率为 7 10 ， 获胜的可能性最大。 15. 1 4 16. 6 7 17. 1 5 3 等可能事件的概率 （第 2 课时） 1． 6 11 2. 5 3. 1 2 4. C 5. B 6. D 7. （ 1 ） 红球、 白球、 黑球各 3 个。 （ 2 ） 红球与黑球数量相等即 可。 （ 3 ） 红球的个数是 6 ， 其余 3 个球的黑白颜色不限。 8． 解： 正面标记的数字有 3 种可能结果， 即为 6 ， 7 ， 8 ， 且抽出每张卡片的可能性相同。 （ 1 ） 抽出的卡片正面数字是偶数的有 2 种， 所以 P （正面标记的数字 是偶数） = 2 3 。 （ 2 ） 随机抽取一张作为个位上的数字 （不放回）， 再抽取一张作为十位上的数字， 所有的结果共 有 6 种， 即 67 ， 68 ， 76 ， 78 ， 86 ， 87 ， 所以 P （恰好为 “ 68 ”） = 1 6 。 9. 解： 该游戏不公平。 小颖抽到的卡片的 号码数能被 3 整除的可能情况有 3 ， 6 ， 9 ， 获胜的概率为 3 10 ； 小刚抽到的号码数除以 3 余 1 的可能情况有 1 ， 4 ， 7 ， 10 ， 因此获胜的概率为 2 5 。 若使游戏公平， 应添加两张卡片， 其号码数分别为 11 ， 12 ， 此时获胜的可能 性都是 1 3 。 10. 1 5 11. 3 10 12. 3 13. D 14. B 15. D 3 等可能事件的概率 （第 3 课时） 1. 2 2. 1 4 3. 1 3 4. 20 27 5. C 6. B 7. C 8. D 9. 解： 转盘共有 16 个扇形， 所以转盘停止后， 指针指 向的区域可能的结果共有 16 种， 且它们出现的可能性相同。 其中指针指向红色区域的结果有 1 种： 红， 指向黄 色区域的结果有 2 种： 分别是黄 1 ， 黄 2 ， 指向蓝色区域的结果有 4 种： 分别是蓝 1 ， 蓝 2 ， 蓝 3 ， 蓝 4 。 （ 1 ） 指针指 向红色、 黄色或蓝色区域的结果共有 7 种， 所以 P （获得购物券） = 7 16 。 （ 2 ） P （获 100 元购物券） = 1 16 ， P （获 50 元 购物券） = 2 16 = 1 8 ， P （获 20 元购物券） = 4 16 = 1 4 。 因为 1 4 ＞ 1 8 ＞ 1 16 ， 所以他获得 20 元购物券的概率最大。 10. 解： （ 1 ） 设标有 8 元的小球有 x 个， 则标有 2 元的小球有 （ 2x-1 ） 个。 由题意， 得 x+2x-1+4+5=50 。 解得 x=14 。 所以 标有 8 元的小球有 14 个， 则标有 2 元的小球有 27 个。 从袋中任意摸出一个球， 所有可能的结果有 50 种， 且每 种结果出现的可能性相同， 摸出标有 50 元、 8 元、 2 元小球的结果共有 45 个， 所以 P （获得奖品） = 45 50 = 9 10 ； 只摸 出标有 8 元小球的结果有 14 个， 所以 P （获得 8 元奖品） = 14 50 = 7 25 。 （ 2 ） 设需要把 y 个标有 2 元的小球改为 8 元， 则标有 8 元的小球有 （ y+14 ） 个。 由题意， 得 y+14 50 = 2 5 。 解得 y=6 。 所以需要把 6 个标有 2 元的小球改为 8 元的 小球。 11. 解： 由图形知， 可将转盘分为 12 等份， 每份扇形圆心角为 30° ， 则打九折区域的扇形圆心角为 90° ， 为 3 份， 打八折区域的扇形圆心角为 60° ， 为 2 份， 不打折区域的扇形圆心角为 210° ， 为 7 份， 因为这 12 个扇形 的大小相同， 转动的转盘又是自由停止， 所以指针指向每个扇形的可能性相等。 （ 1 ） 所以 P （打九折） = 3 12 = 1 4 ， 所以 P （打八折） = 2 12 = 1 6 。 （ 3 ） 200×80%=160 （元）， 200×90%=180 （元）， 200+160=360 （元）， 180×2=360 （元）， 所以他们获得优惠的情况分为两种： ① 一个不打折， 一个打八折； ② 都打九折。 12. 解： 因为取出 9 张红桃、 10 张黑桃、 11 张方块， 所以共有 30 张， 所以取出扑克牌的所有可能结果有 30 种， 且每种结果出现的可能性相 同。 （ 1 ） 抽出扑克牌是红桃的结果有 9 种， 所以 （抽出一张是红桃） = 9 30 = 3 10 。 （ 2 ） ① 因为事件 “再抽出的这张 牌是方块” 为必然事件， 则剩下的牌中只有方块， 所以当 m 为 10 时， 事件 “再抽出的这张牌是方块” 为必然事 件。 ② 因为事件 “再抽出的这张牌是方块” 为随机事件， 所以剩下的牌中有黑桃和方块。 因为 m＞6 ， 所以当 m 为 9 ， 8 ， 7 时， 事件 “再抽出的这张牌是方块” 为随机事件， 这个事件概率的最小值为 11 10-7+11 = 11 14 。 13. 1 4 14. 3 8 15. 9 第四章 三 角 形 1 认识三角形 （第 1 课时） 1． △ABC AB ， BC ， AC ∠A ， ∠B ， ∠C 2． 80° 3． 钝角 4． 90° 直角 5. C 6. C 7． D 8． A 9． C 10. （ 1 ） Rt△ABC ， AB ； Rt△ACD ， AC ； Rt△BCD ， BC 。 （ 2 ） ∠BCD 。 （ 3 ） ∠B ， ∠ACD 。 11. 解： 在 △ABC 中 ， 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180° ， ∠A=30° ， ∠B=37° ， 所以 ∠ACB=113° 。 因为 ∠DCE=∠ACB ， 所以 ∠DCE=113° 。 又因为 BD∥EF ， 所以 ∠DCE +∠E=180° 。 所以 ∠E=67° 。 12. 解： 由题意， 得 DB∥AE ， ∠BAE= 179