7.1.2 两条直线垂直-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版 2024）

七年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 两条直线垂直的概念 ◎ 一般地，当两条直线 a ， b 相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说 a 与 b 互相 ，记作“ a b ”.其中的一条直线叫作另一条直线的 ，它们的交点叫作垂足. 如图 7.1-5 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， ∠BOC=90° ， 则 AB 与 CD 的位 置关系是 ， 记作 . 【知识点 2 】 垂线的性质 ◎ 在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直. 如图 7.1-6 ， 过点 P 画出线段 AB 的垂线 . 【知识点 3 】 垂线段与点到直线的距离 ◎ 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成： . ◎ 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离. 1. 如图 7.1-7 ， 某同学体育课上跳远后留下的脚印， 在图中画出了他的跳远距离， 能正 确解释这一现象的数学知识是 （ ） A. 两点之间， 线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. 如图 7.1-8 ， 某地进行城市规划， 在一条新修公路旁有一超市， 现要建一个汽车站， 且有 A ， B ， C ， D 四个地点可供选择 . 若要使超市距离汽车站最近， 则汽车站应建在 （ ） A. 点 A 处 B. 点 B 处 C. 点 C 处 D. 点 D 处 7.1.2 两条直线垂直 B D O A C 图 7.1-5 A P B B A P A B P 图 1 图 2 图 3 图 7.1-6 起 跳 区 B A A B C D 超市 图 7.1-8 图 7.1-7 4 相交线与平行线 第七章 例题点拨 素养导向 【例】 如图 7.1-9 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， 射线 OD 平分 ∠BOF ， OE⊥CD 于点 O ， ∠AOC＝35°. （ 1 ） 求 ∠EOF 的度数 . （ 2 ） 试判断射线 OE 是否平分 ∠AOF ， 并说明理由 . 【点拨】 本题考查垂线， 角平分线的定义， 对顶角等知识， 解题的关键是熟练掌握基本 知识， 属于中考常考题型 . （ 1 ） 根据对顶角的性质， 求出 ∠BOD 的度数， 再根据角平分线定 义和垂直的定义， 求出 ∠EOF. （ 2 ） 根据垂直定义和平角定义， 求出 ∠AOE ， 比较 ∠AOE 与 ∠EOF 的大小 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图 ， 点 O 在直线 BD 上 ， 已知 ∠1＝20° ， OC⊥OA ， 则 ∠DOC 的度数为 （ ） A. 20° B. 70° C. 110° D. 90° 2. 如图， 直角三角形 ABC 中， ∠ACB＝90° ， CD⊥AB ， 垂足为 D ， 则下列说法正确的是 （ ） A. 线段 AC 的长表示点 C 到 AB 的距离 B. 线段 CD 的长表示点 A 到 CD 的距离 C. 线段 BC 的长表示点 B 到 AC 的距离 D. 线段 BD 的长表示点 C 到 DB 的距离 3. 如图， 生活中有以下两个现象， 对于这两个现象的解释， 正确的是 （ ） A. 两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B. 现象 1 用垂线段最短来解释， 现象 2 用经 过两点有且只有一条直线来解释 C. 现象 1 用垂线段最短来解释， 现象 2 用两 点之间线段最短来解释 D. 现象 1 用经过两点有且只有一条直线来解 释， 现象 2 用垂线段最短来解释 E F D B O A C 图 7.1-9 C B D A 第 2 题图 D C B A O 1 第 1 题图 A B l A B 现象 1 ： 测量跳远的成绩 现象 2 ： 弯曲的河道改直 第 3 题图 5 七年级下册 （人教版）数学 4. 如图， ∠PQR＝132° ， SQ⊥QR ， QT⊥PQ ， 则 ∠SQT＝ . 5. 如图， 直线 AB ， EF 相交于点 O ， CD⊥ AB ， 垂足为 O ， ∠EOD＝128° ， 则 ∠BOF 的度数 为 . 6. 如图， 已知直线 BC 及直线外一点 A ， 按要求完成下列问题 . （ 1 ） 画出射线 CA ， 线段 AB. 过 C 点画 CD⊥AB ， 垂足为 D. （ 2 ） 比较线段 CD 和线段 CA 的大小， 并说明理由 . （ 3 ） 在图中， 互余的角为 ， 互补的角为 . （各写出一对即可） 能力提升 综合拓展 7. 如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分 ∠BOC ， OF⊥CD. 若 ∠BOD ∶∠BOE＝1 ∶ 4 ， 求 ∠AOF 的度数 . 中考链接 真题演练 8. （ 2024 ·北京） 如图， 直线 AB 和 CD 相交于点 O ， OE⊥OC ， 若 ∠AOC=58° ， 则 ∠EOB 的大小为 （ ） A. 29° B. 32° C. 45° D. 58° 9. （ 2024 ·广州一模） 如图， 点 O 在直线 AB 上， OC⊥OD. 若 ∠AOC=120° ， 则 ∠BOD 的度数为 . P S T Q R C B F D O A E 第 5 题图第 4 题图 A C B 第 6 题图 E B D O F A C 第 7 题图 C E B D O A C B D O A 第 8 题图 第 9 题图 6 参 考 答 案 参 考 答 案 第七章 相交线与平行线 7.1 相 交 线 7.1.1 两条直线相交 【 知识点 1 】 邻补角 对顶角 1. C 2. （ 1 ） ∠AOD ， ∠BOC （ 2 ） ∠DOE （ 3 ） ∠AOC ， ∠BOD （ 4 ） ∠AOC 【 知识点 2 】 相等 ∠AOD ， ∠BOC 50° 130° 【 例 】 解 ： ∵∠AME=104° ， ∠AME+∠BME= 180° ， ∴∠BME=180°-104°=76°. ∵MC 平分 ∠AME ， ∴∠AMC= 1 2 ∠AME=52° ， ∴∠BMD=∠AMC=52°. 1. B 2. A 3. C 4. 67.5° 5. 50° 6. 解 ： ∵∠COE 是直角 ， ∴∠COE＝90°. ∵∠COF＝ 36° ， ∴∠EOF＝∠COE-∠COF＝90°-36°＝54°. ∵OF 平分 ∠AOE ， ∴∠AOF ＝∠EOF ＝54° ， ∴∠AOC ＝∠AOF - ∠COF＝54°-36°＝18° ， ∴∠BOD＝∠AOC＝18°. 7. 解 ： （ 1 ） ∵∠BOD=∠AOC=76° ， 又 ∵OE 平分 ∠BOD ， ∴∠DOE=∠BOE= 1 2 ∠BOD= 1 2 ×76°=38° . ∴ ∠COE=180°-∠DOE=180°-38°=142°. ∵OF 平分 ∠COE ， ∴∠EOF= 1 2 ∠COE= 1 2 ×142°=71° ， ∴∠BOF=∠EOF- ∠BOE=71°-38°=33°. （ 2 ） ∵OE 平分 ∠BOD ， OF 平分 ∠COE ， ∴∠BOE= ∠EOD ， ∠COF=∠FOE ， ∴ 设 ∠BOE=x ， 则 ∠DOE=x ， 故 ∠COA =2x ， ∠EOF =∠COF =x +36° ， 则 ∠AOC + ∠COF+∠BOF=2x+ （ x+36° ） +36°=180° ， 解得 x=36° ， 故 ∠AOC=72°. （ 3 ） 由 （ 1 ） 知 ∠BOF=∠EOF-∠BOE= 1 2 ∠COE- 1 2 ∠BOD= 1 2 （ 180°-∠DOE ） - 1 2 ∠AOC=90°- 1 4 ∠BOD- 1 2 ∠AOC=90°- 1 4 ∠AOC- 1 2 ∠AOC=90°- 3 4 ∠AOC ， 即 ∠BOF=90°- 3 4 ∠AOC. 8. D 9. B 7.1.2 两条直线垂直 【 知识点 1 】 直角 垂直 ⊥ 垂线 垂直 AB⊥CD 【 知识点 2 】 有且只有 【 知识点 3 】 垂线段最短 垂线段 1. B 2. C 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵OD 平分 ∠BOF ， ∴∠BOD＝ ∠DOF. ∵∠BOD ＝∠AOC ＝35° ， ∴∠DOF ＝35° . ∵EO⊥CD ， ∴∠EOD＝90° ， ∴∠EOF＝90°-∠DOF＝ 90°-35°=55°. （ 2 ） OE 平分 ∠AOF. 理由如下 ： ∵∠AOB＝180° ， ∠EOD＝90° ， ∴∠AOE+∠BOD＝ 90°. ∵∠BOD＝35° ， ∴∠AOE＝55°. ∵∠EOF＝55° ， ∴∠AOE＝∠EOF ， ∴OE 平分 ∠AOF. 1. C 2. C 3. C 4. 48° 5. 38° 6. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） CD<CA ， 理由是 垂线段最短 . （ 3 ） ∠DAC 和 ∠DCA ， ∠ADC 和 ∠BDC. 7. 解 ： 设 ∠BOD＝x° ， 则 ∠BOE＝4x° ， ∵OE 平分 ∠BOC ， ∴∠BOC＝2∠BOE＝ 8x° . ∵∠BOD+∠BOC＝180° ， ∴x+8x＝180 ， ∴x＝20 ， ∴ ∠AOC＝∠BOD＝x°＝20° . ∵OF⊥CD ， ∴∠COF＝90° ， ∴ ∠AOF＝90°-∠AOC＝70°. 8. B 9. 30° 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 【 知识点 】 （ 1 ） ∠5 ∠7 （ 2 ） ∠8 ∠5 （ 3 ） ∠3 ∠2 【 例 】 解 ： （ 1 ） 同位角 ： ∠FAE 和 ∠B. 内错 角 ： ∠B 和 ∠DAB. 同旁内角 ： ∠EAB 和 ∠B. （ 2 ） 内错角 ： ∠EAC 和 ∠BCA ， ∠DAC 和 ∠ACG. 同旁内角 ： ∠EAC 和 ∠ACG ， ∠DAC 和 ∠BCA. （ 3 ） 内错角 ： ∠BAC 和 ∠ACG ， ∠FAC 和 ∠BCA. 同旁内角 ： ∠BAC 和 ∠BCA ， ∠FAC 和 ∠ACG. 1. B 2. A 3. B 4. ①②③ 5. AB AC BD 同旁内角 6. ∠1 和 ∠3 ∠2 和 ∠4 ∠2 和 ∠BED 7. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） ∵∠1＝2∠2 ， ∠2＝ 2∠3 ， ∴ 设 ∠3＝x ， 则 ∠2＝ 2x ， ∠1＝4x. ∵∠1+∠3＝180° ， ∴x +4x ＝180° ， 解 得 x ＝36° ， 故 ∠3＝36° ， ∠2＝72° ， ∠1＝ 144°. 8. D 9. C 10. B 7.2 平 行 线 7.2.1 平行线的概念 【 知识点 1 】 平行 相交 平行 C 【 知识点 2 】 有且只有 平行 a b 知识点 2 答图 A C B D 第 6 题答图 图 1 A P B 图 2 B A P 图 3 A B P 3 2 1 c a b 第 7 题答图 43