7.1.1 两条直线相交-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（人教版 2024）

相交线与平行线 第七章 学习路径 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 对顶角、 邻补角的概念 ◎ 如图7.1-1，任意画两条相交的直线，形成四个角，∠1和∠2有一 条公共边 OC ，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种 位置关系的两个角，互为 . ◎ ∠1和∠3有一个公共顶点 O ，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有 这种位置关系的两个角，互为 . 1. 下列图形中， ∠1 与 ∠2 不是对顶角的有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个 第七章 相交线与平行线 相 交 线 两条直线相交 邻补角、 对顶角 垂线及其性质 点到直线的距离 两条直线被第三条直线所截 同位角、 内错角、 同旁内角 判定 性质 平 行 线 平移 7.1 相 交 线 7.1.1 两条直线相交 1 2 1 2 1 2 1 2 图 7.1-1 C 1 3 2 4 B D A O 1 七年级下册 （人教版）数学 2. 如图 7.1-2 ， 直线 AB 和 CD 相交于点 O ， OE 是一条射线 . （ 1 ） 写出 ∠AOC 的邻补角： . （ 2 ） 写出 ∠COE 的邻补角： . （ 3 ） 写出 ∠BOC 的邻补角： . （ 4 ） 写出 ∠BOD 的对顶角： . 【知识点 2 】 对顶角的性质 ◎ 对顶角 . 如图 7.1-3 ， 直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ， 则 ∠AOC 的邻补角是 . 若 ∠AOC＝50° ， 则 ∠BOD 的度数为 ， ∠COB 的度数为 . 例题点拨 素养导向 【例】 如图 7.1-4 ， AB ， CD 相交于点 M ， MC 平分 ∠AME ， 且 ∠AME=104° ， 求 ∠BME 和 ∠BMD 的度数 . 【点拨】 本题主要结合角平分线考查了对顶角、 邻补角的定义， 利用对顶角相等的性质 和互为邻补角的两个角的和等于 180° 求解 . 夯实四基 达标闯关 1. 下列图中， ∠1 与 ∠2 是对顶角的是 （ ） 2. 如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OA 平分 ∠EOC. 若 ∠BOD＝42° ， 则 ∠EOD 的度数为 （ ） A. 96° B. 94° C. 104° D. 106° 3. 如图 ， AB ， CD 相交于点 M ， ME 平分 ∠BMC ， 若 ∠AME= 104° ， 则 ∠AMC 的度数为 （ ） A. 38° B. 30° C. 28° D. 24° C B E OA D D B E O C A F 图 7.1-2 图 7.1-3 A M D B E C 图 7.1-4 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D E D O A C B 第 2 题图 E B D M A C 第 3 题图 2 相交线与平行线 第七章 4. 如图， 点 O 在直线 CD 上， ∠AOB＝90° ， ∠BOD＝ 3∠AOC ， 则 ∠BOD 的度数为 . 5. 如图 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， ∠BOE＝15° ， ∠AOD＝2∠DOE ， 求 ∠DOB 的度数为 . 6. 如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OF 平分 ∠AOE ， ∠COE＝90° ， ∠COF＝36° ， 求 ∠BOD 的度数 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分 ∠BOD ， OF 平分 ∠COE. （ 1 ） 若 ∠AOC＝76° ， 求 ∠BOF 的度数 . （ 2 ） 若 ∠BOF＝36° ， 求 ∠AOC 的度数 . （ 3 ） 请探究 ∠AOC 与 ∠BOF 的数量关系 . 中考链接 真题演练 8. （ 2024 ·远安模拟） 如图， 当光线从空气射入水 中， 会发生折射与反射现象， 其中与 ∠AOM 互为对顶 角的是 （ ） A. ∠MOE B. ∠NOB C. ∠B′OB D. ∠B′ON 9. （ 2024 ·日照） 如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， 若 ∠1=40° ， ∠2=120° ， 则 ∠COM 的度数为 （ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° O D B A C B D E O A C 第 5 题图第 4 题图 F E B D O A C C E D O A F B 第 6 题图 第 7 题图 A O E B′ B N M 空气 水 2 1 O B D A C M 第 9 题图第 8 题图 3 参 考 答 案 参 考 答 案 第七章 相交线与平行线 7.1 相 交 线 7.1.1 两条直线相交 【 知识点 1 】 邻补角 对顶角 1. C 2. （ 1 ） ∠AOD ， ∠BOC （ 2 ） ∠DOE （ 3 ） ∠AOC ， ∠BOD （ 4 ） ∠AOC 【 知识点 2 】 相等 ∠AOD ， ∠BOC 50° 130° 【 例 】 解 ： ∵∠AME=104° ， ∠AME+∠BME= 180° ， ∴∠BME=180°-104°=76°. ∵MC 平分 ∠AME ， ∴∠AMC= 1 2 ∠AME=52° ， ∴∠BMD=∠AMC=52°. 1. B 2. A 3. C 4. 67.5° 5. 50° 6. 解 ： ∵∠COE 是直角 ， ∴∠COE＝90°. ∵∠COF＝ 36° ， ∴∠EOF＝∠COE-∠COF＝90°-36°＝54°. ∵OF 平分 ∠AOE ， ∴∠AOF ＝∠EOF ＝54° ， ∴∠AOC ＝∠AOF - ∠COF＝54°-36°＝18° ， ∴∠BOD＝∠AOC＝18°. 7. 解 ： （ 1 ） ∵∠BOD=∠AOC=76° ， 又 ∵OE 平分 ∠BOD ， ∴∠DOE=∠BOE= 1 2 ∠BOD= 1 2 ×76°=38° . ∴ ∠COE=180°-∠DOE=180°-38°=142°. ∵OF 平分 ∠COE ， ∴∠EOF= 1 2 ∠COE= 1 2 ×142°=71° ， ∴∠BOF=∠EOF- ∠BOE=71°-38°=33°. （ 2 ） ∵OE 平分 ∠BOD ， OF 平分 ∠COE ， ∴∠BOE= ∠EOD ， ∠COF=∠FOE ， ∴ 设 ∠BOE=x ， 则 ∠DOE=x ， 故 ∠COA =2x ， ∠EOF =∠COF =x +36° ， 则 ∠AOC + ∠COF+∠BOF=2x+ （ x+36° ） +36°=180° ， 解得 x=36° ， 故 ∠AOC=72°. （ 3 ） 由 （ 1 ） 知 ∠BOF=∠EOF-∠BOE= 1 2 ∠COE- 1 2 ∠BOD= 1 2 （ 180°-∠DOE ） - 1 2 ∠AOC=90°- 1 4 ∠BOD- 1 2 ∠AOC=90°- 1 4 ∠AOC- 1 2 ∠AOC=90°- 3 4 ∠AOC ， 即 ∠BOF=90°- 3 4 ∠AOC. 8. D 9. B 7.1.2 两条直线垂直 【 知识点 1 】 直角 垂直 ⊥ 垂线 垂直 AB⊥CD 【 知识点 2 】 有且只有 【 知识点 3 】 垂线段最短 垂线段 1. B 2. C 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵OD 平分 ∠BOF ， ∴∠BOD＝ ∠DOF. ∵∠BOD ＝∠AOC ＝35° ， ∴∠DOF ＝35° . ∵EO⊥CD ， ∴∠EOD＝90° ， ∴∠EOF＝90°-∠DOF＝ 90°-35°=55°. （ 2 ） OE 平分 ∠AOF. 理由如下 ： ∵∠AOB＝180° ， ∠EOD＝90° ， ∴∠AOE+∠BOD＝ 90°. ∵∠BOD＝35° ， ∴∠AOE＝55°. ∵∠EOF＝55° ， ∴∠AOE＝∠EOF ， ∴OE 平分 ∠AOF. 1. C 2. C 3. C 4. 48° 5. 38° 6. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） CD<CA ， 理由是 垂线段最短 . （ 3 ） ∠DAC 和 ∠DCA ， ∠ADC 和 ∠BDC. 7. 解 ： 设 ∠BOD＝x° ， 则 ∠BOE＝4x° ， ∵OE 平分 ∠BOC ， ∴∠BOC＝2∠BOE＝ 8x° . ∵∠BOD+∠BOC＝180° ， ∴x+8x＝180 ， ∴x＝20 ， ∴ ∠AOC＝∠BOD＝x°＝20° . ∵OF⊥CD ， ∴∠COF＝90° ， ∴ ∠AOF＝90°-∠AOC＝70°. 8. B 9. 30° 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 【 知识点 】 （ 1 ） ∠5 ∠7 （ 2 ） ∠8 ∠5 （ 3 ） ∠3 ∠2 【 例 】 解 ： （ 1 ） 同位角 ： ∠FAE 和 ∠B. 内错 角 ： ∠B 和 ∠DAB. 同旁内角 ： ∠EAB 和 ∠B. （ 2 ） 内错角 ： ∠EAC 和 ∠BCA ， ∠DAC 和 ∠ACG. 同旁内角 ： ∠EAC 和 ∠ACG ， ∠DAC 和 ∠BCA. （ 3 ） 内错角 ： ∠BAC 和 ∠ACG ， ∠FAC 和 ∠BCA. 同旁内角 ： ∠BAC 和 ∠BCA ， ∠FAC 和 ∠ACG. 1. B 2. A 3. B 4. ①②③ 5. AB AC BD 同旁内角 6. ∠1 和 ∠3 ∠2 和 ∠4 ∠2 和 ∠BED 7. 解 ： （ 1 ） 如图所示 . （ 2 ） ∵∠1＝2∠2 ， ∠2＝ 2∠3 ， ∴ 设 ∠3＝x ， 则 ∠2＝ 2x ， ∠1＝4x. ∵∠1+∠3＝180° ， ∴x +4x ＝180° ， 解 得 x ＝36° ， 故 ∠3＝36° ， ∠2＝72° ， ∠1＝ 144°. 8. D 9. C 10. B 7.2 平 行 线 7.2.1 平行线的概念 【 知识点 1 】 平行 相交 平行 C 【 知识点 2 】 有且只有 平行 a b 知识点 2 答图 A C B D 第 6 题答图 图 1 A P B 图 2 B A P 图 3 A B P 3 2 1 c a b 第 7 题答图 43