2 探索直线平行的条件(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 直线 AB ， CD 被直线 EF 所截， ∠1=∠2， 直线 AB 与 CD 是否平行？ 如果平行， 请说明理由。 【分析】 要判断直线 AB 与 CD 平行， 只需判断同位角 ∠3 与 ∠2 或 ∠1 与 ∠4 相等即可。 【解答】 AB 与 CD 平行。 因为 ∠1=∠2 ， ∠1=∠3 ， 所以 ∠3=∠2 。 所以 AB∥CD 。 【点拨】 此题中已知的是有关角的条件， 要证 AB∥CD ， 只需找到与直线 AB ， CD 有关 的同位角相等的条件即可。 基础巩固 达标闯关 1. 如图， ∠BDE 的同位角是 ， ∠ADE 与 ∠DGC 是由直线 和直线 被直线 所截形成的同位角。 2. 如图， 若 ∠A=∠3 ， 则 ∥ ； 若 ∠1=∠C ， 则 ∥ 。 3. 如图， 其中是同位角关系的是 （ ） A. ∠1 与 ∠4 B. ∠2 与 ∠4 C. ∠3 与 ∠4 D. 不存在 4. 三条直线两两相交于三点， 可构成同位角的对数是 （ ） A. 4 对 B. 6 对 C. 8 对 D. 12 对 5. 如图， 如果 ∠1=72° ， ∠2=108° ， 你能确定哪两条直线平行？ 请说明理由。 2 探索直线平行的条件 （第 1课时） A D G B C E 1 2 3 4 A C E D B 2 1 3 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 F A B C D 1 2 3 4 5 例题图 E M N F E A C B D G P 1 2 第 5 题图 40 相交线与平行线 第二章 6. 如图， AF 与 BD 相交于点 C ， ∠B=∠ACB ， 且 CD 平分 ∠ECF 。 判断直线 AB ， CE 是 否平行？ 请说明理由。 能力提升 综合拓展 7. 如图， 已知 ∠1=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 试说明： CD∥EF 。 中考链接 真题演练 8. （ 2022 ·贺州） 如图， 直线 a ， b 被直线 c 所截， 下列各组角是同位 角的是 （ ） A． ∠1 与 ∠2 B． ∠1 与 ∠3 C． ∠2 与 ∠3 D． ∠3 与 ∠4 9. （ 2023 ·苏州） 如图， 在正方形网格内， 线段 PQ 的两个端点都在 格点上， 网格内另有 A ， B ， C ， D 四个格点， 下面四个结论中， 正确的是 （ ） A． 连接 AB ， 则 AB∥PQ B． 连接 BC ， 则 BC∥PQ C． 连接 BD ， 则 BD⊥PQ D． 连接 AD ， 则 AD⊥PQ a b c 1 2 3 4 第 6 题图 第 7 题图 E F DC A B 1 2 3 4 第 8 题图 第 9 题图 Q P B A C D B D C F A E 41 七年级下册 （北师大版）数学 互为余角 ， 所以 ∠BOC+∠BOD=90° 。 因为 ∠BOC=4∠BOD ， 所以 ∠BOC= 4 5 ×90°=72° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角， 所以 ∠AOC+∠BOC=180° 。 所以 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108° 。 因为 OE 平分 ∠AOC ， 所 以 ∠COE= 1 2 ∠AOC= 1 2 ×108°=54° 。 所以 ∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126° 。 9． （ 1 ） 2 （ 2 ） 6 （ 3 ） 12 （ 4 ） n （ n-1 ） １０. 35° １1. D 12. B １3. C 1 两条直线的位置关系 （第 2 课时） 1. 垂直 2. 5.13 3. C 4. C 5. C 6. 解： 如图， AD⊥BC 。 7. 解： 如图， 沿着 OE 的方向跑， 最短 的距离为 OE 的长 。 8. 解 ： （ 1 ） 因为由平角定义 ∠AOB=180° ， ∠AOD ∶ ∠BOD=3 ∶ 1 ， 所以 ∠BOD=45° ， ∠AOD=135° 。 又因为 OD 平分 ∠BOC ， 所以 ∠COD=∠BOD=45° 。 所以 ∠AOC=∠AOD-∠COD=90° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC=90° ， 所以 AB⊥OC 。 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 1 课时） 1． ∠BGC DE CG AB 2． AB DE BE CD 3． A 4． D 5. 解： AB∥CD 。 理由： 因为 ∠1+∠CGE= 180° ， ∠1=72° ， 所以 ∠CGE=108° 。 因为 ∠2=108° ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 AB∥CD 。 6. 解： AB∥CE 。 理由： 因为 CD 平分 ∠ECF ， 所以 ∠ECD=∠FCD 。 因为 ∠ACB=∠FCD ， 所以 ∠ECD=∠ACB 。 因为 ∠B=∠ACB ， 所以 ∠B=∠ECD 。 所以 AB∥CE 。 7． 解： 因为 ∠1+∠2=180° ， ∠4+∠2=180° ， 所以 ∠1=∠4 。 又因为 ∠1=∠3 ， 所 以 ∠3=∠4 。 所以 CD∥EF 。 8. B 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 2 课时） 1． （ 1 ） DE BC AB 同位 （ 2 ） AB AC DE 同位 （ 3 ） DE BC AC 内错 （ 4 ） AB AC BC 同旁内 2． 答案不唯一， 如 ∠A=∠DCE ， ∠ECB=∠B ， ∠A+∠ECA=180° 。 3. 2 个 4． 120° 5． B 6. D 7. D 8. 解： 答案不唯一， 如因为 ∠1+∠2=180° ， ∠2+∠CNE =180° ， 所以 ∠1=∠CNE 。 所以 AB∥CD 。 9. 解： 因为 ∠1+∠2=90° ， ∠2+∠3 =90° ， 所以 ∠1=∠3 。 所以 a∥b 。 10． 解： 因为 AE ， CE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACD ， 所 以 ∠BAC=2∠1 ， ∠ACD=2∠2 。 又因为 ∠1 与 ∠2 互余， 所以 ∠1+∠2=90° 。 所以 ∠BAC+∠ACD=2 （ ∠1+ ∠2 ） =180° 。 所以 AB∥CD 。 11. 解： l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， l 4 ∥l 5 。 理由： 因为 ∠1=∠4 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 因为 ∠2=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 所以 ∠3+∠1=180° ， 所以 l 2 ∥l 3 。 又因为 l 1 ∥l 2 ， 所以 l 1 ∥l 3 ， 即 l 1 ∥l 2 ∥l 3 。 因为 ∠2=∠3 ， 所以 l 4 ∥l 5 。 12. 解： 答案不 唯一： 比如： ∠CGM=42° 。 理由： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN-∠BFE=42° 。 所以 ∠CGM= ∠BFN 。 所以 AB∥CD 。 比如 ： ∠DGM=138° 。 理由 ： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42° 。 所以 ∠BFN+∠DGM=42°+138°=180° 。 所以 AB∥CD 。 13. 解： （ 1 ） 因为 OA ， OB 分别平分 ∠COE 和 ∠DOE ， 所以 ∠AOC= 1 2 ∠COE ， ∠2= 1 2 ∠DOE 。 因为 ∠COE+∠DOE=180° ， 所以 ∠AOC+∠2= 1 2 （ ∠COE+∠DOE ） =90° 。 因为 ∠1+∠2=90° ， 所以 ∠AOC=∠1 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 因为 ∠2 ∶∠3=2 ∶ 5 ， ∠2= 1 2 ∠DOE ， 所以 ∠DOE ∶ ∠3=4 ∶ 5 。 因为 ∠DOE+∠3=180° ， 所以 4 5 ∠3+∠3= 9 5 ∠3=180° 。 所以 ∠3=100° 。 * 14. 解： （ 1 ） 作 ∠EPF 等于已 知的 ∠CAD 。 （ 2 ） 方法 1 ： 由作图可知， ∠EPF=∠CAD ， 所以 PF∥l 。 （内错角相等， 两直线平行） 方法 2 ： 由作图的条件可知， 在 △ABP 中， ∠BAP+∠ABP+∠APB=180° 。 又由作图可知 ， ∠EPF=∠BAP ， 所以 ∠EPF+ ∠ABP+∠APB=180° 。 因为 ∠EPF+∠APB=∠BPF ， 所以 ∠BPF+∠ABP=180° 。 所以 PF∥l 。 （同旁内角互补， 两直 线平行） １5. D １6. C 3 平行线的性质 （第 1 课时） 1. 50° 2． 60° 3. （ 1 ） ∠4 两直线平行， 内错角相等 （ 2 ） DC 两直线平行， 同位角相等 4. D 5． D 6. C 7. D 8. B 9. 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A=∠ABF 。 又因为 ∠A=∠C ， 所以 ∠ABF=∠C 。 所以 AB∥CD 。 10． 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠B=∠EAD 。 因为 ∠B=∠D ， 所以 ∠EAD=∠D 。 所以 BE∥DF 。 所以 ∠E=∠F 。 11. 解： 因为 ∠1=32° ， DE 平分 ∠BDC ， 所以 ∠BDC=2∠1=64° 。 ∵AB∥CD ， 所以 ∠ABD+∠BDC=180° ， ∠ABF= ∠2 。 所以 ∠ABD=180°-∠BDC=116° 。 因为 BF 平分 ∠ABD ， 所以 ∠ABF= 1 2 ∠ABD=58° 。 所以 ∠2=58° 。 12. 解： ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180° 。 理由： 因为 CD∥EF ， 所以 ∠DEF=∠CDE 。 因为 ∠CDE=∠CDB+∠BDE ， 所以 ∠CDB= ∠CDE-∠BDE 。 所以 ∠CDB=∠DEF-∠BDE 。 因为 AB∥ CD ， 所 以 ∠ABD +∠CDB =180° 。 所 以 ∠ABD +∠DEF - ∠BDE=180° 。 * 13． 解： （ 1 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理 由： 因为 AB∥EF ， 所以 ∠CGF=∠2 。 因为 BC∥DE ， 所 以 ∠CGF=∠1 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 2 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理由 ： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1=∠CGE 。 因为 BC∥ O A B C D E 第 6 题答图 第 7 题答图 第 13 题答图 E G A F B C D 1 2 图 1 图 2 C F D G E 1 2 A B A B C D A B C D A B C D 176