2 探索直线平行的条件(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 1 如图， 在四边形 ABCD 中， 如果∠A+∠B=180°， ∠B=∠D， 那么 AB∥CD 。 请你写出推理过程。 【分析】 由已知 ∠A+∠B=180° ， ∠B=∠D ， 根据等量代换， 可得 ∠A+ ∠D=180° 。 由同旁内角互补， 两条直线平行的判定条件即可推出。 【解答】 因为 ∠A+∠B=180° ， ∠B=∠D ， 所以 ∠A+∠D=180° 。 所以 AB∥CD 。 【点拨】 考查平行线的判定方法， 准确找出两条线被第三条线所截的同旁内角， 并根据 已知条件得出同旁内角互补是解题的关键。 例题 2 如图 ， CE 与 CD 相交于点 C ， AB 平分 ∠EAD ， ∠C=∠D ， ∠EAD=∠C+∠D ， 试说明： AB∥CD 。 【分析】 利用已知条件， 说明 ∠1=∠C 或 ∠2=∠D ， 进而根据判定条件可 推出 AB∥CD 。 【解答】 方法一： 因为 ∠EAD=∠C+∠D ， ∠C=∠D ， 所以 ∠EAD=2∠C 。 又因为 AB 平分 ∠EAD ， 所以 ∠EAD=2∠1 。 所以 ∠1=∠C 。 所以 AB∥CD 。 方法二： 因为 ∠EAD=∠C+∠D ， ∠C=∠D ， 所以 ∠EAD=2∠D 。 又因为 AB 平分 ∠EAD ， 所以 ∠EAD=2∠2 。 所以 ∠2=∠D 。 所以 AB∥CD 。 【点拨】 判断两条直线平行关键看这两条直线被第三条直线所截得的角中是否存在同位 角相等、 内错角相等或同旁内角互补。 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 已知四条直线 AB ， BC ， AC ， DE ， 完成下面填空。 （ 1 ） ∠1 与 ∠2 是直线 和直线 被直线 所 截而成的 角； （ 2 ） ∠1 与 ∠3 是直线 和直线 被直线 所 截而成的 角； （ 3 ） ∠4 与 ∠5 是直线 和直线 被直线 所截而成的 角； （ 4 ） ∠2 与 ∠5 是直线 和直线 被直线 所截而成的 角。 2. 如图， 请写出一个能判定 AB∥CE 的条件： 。 3. 如图， 与 ∠1 构成内错角的角的个数是 。 2 探索直线平行的条件 （第 2课时） 例题 1 图 E A B C D 1 2 例题 2 图 A D E B C 1 2 3 4 5 7 6 第 1 题图 C D E A B 1 第 2 题图 第 3 题图 D A B C 42 相交线与平行线 第二章 4. 如图， 已知直线 EF 分别与直线 AB ， CD 相交于点 M ， N ， 若 MG⊥AB ， ∠1=30° ， 当 ∠CNE= 时， AB∥CD 。 5. 用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线， 其中的道理是 （ ） A. 同位角相等， 两直线平行 B. 内错角相等， 两直线平行 C. 同旁内角互补， 两直线平行 D. 平行于同一直线的两直线平行 6. 如图， 下列结论不成立的是 （ ） A. 如果 ∠1=∠3 ， 那么 AB∥CD B. 如果 ∠2=∠4 ， 那么 AC∥BD C. 如果 ∠1＋∠2＋∠C=180° ， 那么 AB∥CD D. 如果 ∠4=∠5 ， 那么 AC∥BD 7. 如图， 在条件： ①∠1=∠2 ； ②∠3=∠6 ； ③∠4+∠7=180° ； ④∠5+∠8= 180° 中， 能判定 a∥b 的条件有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 如图， 已知 ∠1+∠2=180° ， 请你说明 AB∥CD 的理由。 9. 如图， 已知 ∠1 和 ∠2 互余， ∠3 和 ∠2 也互余， 那么 a∥b 吗？ 请说明理由。 1 A B C D F N M G E 第 4 题图 第 5 题图 A C B D 5 1 2 3 4 第 6 题图 a b 1 3 5 7 6 2 4 8 第 7 题图 A B C D N M E F 2 1 1 3 2 a b 第 8 题图 第 9 题图 43 七年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 10. 如图， AE ， CE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACD ， ∠1 和 ∠2 互余。 试判定 AB∥CD 。 11. 如图， ∠1=∠4 ， ∠2=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 请问图中有哪些直线互相平行。 为什么？ 12. 如图， 已知 AB ， CD 分别与 MN 交于点 F ， G ， 且 EF⊥MN ， ∠BFE=48° ， 若添加一 个条件使得 AB∥CD ， 请写出一个符合要求的条件： ， 并说明理由。 （请至少用两种方法， 即不同的判定方法解答） 13. 如图， 直线 CD ， EF 交于点 O ， OA ， OB 分别平分 ∠COE 和 ∠DOE ， 且 ∠1+∠2=90° 。 （ 1 ） 请说明 AB∥CD 。 （ 2 ） 若 ∠2 ∶∠3=2 ∶ 5 ， 求 ∠3 的度数。 E A B C D 1 2 第 10 题图 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 4 1 3 2 第 11 题图 第 12 题图 M N A C F G B D E A B C D O F E 1 2 3 第 13 题图 44 相交线与平行线 第二章 * 14. 如图 1 ， 已知点 P 在直线 l 外， 利用如下方法作出过点 P 与直线 l 平行的直线： 如图 2 ， 在直线 l 上任取两点 A ， B ， 连接 AP ， BP ， 以点 A 为圆心， 以适当的长为半径作弧， 分 别交线段 AB ， AP 于点 C ， D ； 以点 P 为圆心， 以 AC 的长为半径作弧， 交 AP 于点 E ； 以点 E 为圆心， 以 CD 的长为半径作弧， 交前弧于点 F ； 作直线 PF ， 则 PF∥l 。 （ 1 ） 这种作法用到了你学过的什么基本作图？ （ 2 ） 请你说明这种作法的道理。 （请你用两种方法说明其中的道理） 中考链接 真题演练 15. （ 2022 ·青海） 数学课上老师用双手形象地表示了 “三线八角” 图形， 如图所示 （两 大拇指代表被截直线， 食指代表截线）。 从左至右依次表示 （ ） A． 同旁内角、 同位角、 内错角 B． 同位角、 内错角、 对顶角 C． 对顶角、 同位角、 同旁内角 D． 同位角、 内错角、 同旁内角 16. （ 2022 ·台州） 如图， 已知 ∠1=90° ， 为保证两条铁轨平行， 添加的下列条件中， 正确 的是 （ ） A． ∠2=90° B． ∠3=90° C． ∠4=90° D． ∠5=90° P l P l B C A E D F 图 2图 1 第 14 题图 铁轨 铁轨 枕木 枕木 5 31 2 4 第 15 题图 第 16 题图 45 七年级下册 （北师大版）数学 互为余角 ， 所以 ∠BOC+∠BOD=90° 。 因为 ∠BOC=4∠BOD ， 所以 ∠BOC= 4 5 ×90°=72° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角， 所以 ∠AOC+∠BOC=180° 。 所以 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108° 。 因为 OE 平分 ∠AOC ， 所 以 ∠COE= 1 2 ∠AOC= 1 2 ×108°=54° 。 所以 ∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126° 。 9． （ 1 ） 2 （ 2 ） 6 （ 3 ） 12 （ 4 ） n （ n-1 ） １０. 35° １1. D 12. B １3. C 1 两条直线的位置关系 （第 2 课时） 1. 垂直 2. 5.13 3. C 4. C 5. C 6. 解： 如图， AD⊥BC 。 7. 解： 如图， 沿着 OE 的方向跑， 最短 的距离为 OE 的长 。 8. 解 ： （ 1 ） 因为由平角定义 ∠AOB=180° ， ∠AOD ∶ ∠BOD=3 ∶ 1 ， 所以 ∠BOD=45° ， ∠AOD=135° 。 又因为 OD 平分 ∠BOC ， 所以 ∠COD=∠BOD=45° 。 所以 ∠AOC=∠AOD-∠COD=90° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC=90° ， 所以 AB⊥OC 。 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 1 课时） 1． ∠BGC DE CG AB 2． AB DE BE CD 3． A 4． D 5. 解： AB∥CD 。 理由： 因为 ∠1+∠CGE= 180° ， ∠1=72° ， 所以 ∠CGE=108° 。 因为 ∠2=108° ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 AB∥CD 。 6. 解： AB∥CE 。 理由： 因为 CD 平分 ∠ECF ， 所以 ∠ECD=∠FCD 。 因为 ∠ACB=∠FCD ， 所以 ∠ECD=∠ACB 。 因为 ∠B=∠ACB ， 所以 ∠B=∠ECD 。 所以 AB∥CE 。 7． 解： 因为 ∠1+∠2=180° ， ∠4+∠2=180° ， 所以 ∠1=∠4 。 又因为 ∠1=∠3 ， 所 以 ∠3=∠4 。 所以 CD∥EF 。 8. B 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 2 课时） 1． （ 1 ） DE BC AB 同位 （ 2 ） AB AC DE 同位 （ 3 ） DE BC AC 内错 （ 4 ） AB AC BC 同旁内 2． 答案不唯一， 如 ∠A=∠DCE ， ∠ECB=∠B ， ∠A+∠ECA=180° 。 3. 2 个 4． 120° 5． B 6. D 7. D 8. 解： 答案不唯一， 如因为 ∠1+∠2=180° ， ∠2+∠CNE =180° ， 所以 ∠1=∠CNE 。 所以 AB∥CD 。 9. 解： 因为 ∠1+∠2=90° ， ∠2+∠3 =90° ， 所以 ∠1=∠3 。 所以 a∥b 。 10． 解： 因为 AE ， CE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACD ， 所 以 ∠BAC=2∠1 ， ∠ACD=2∠2 。 又因为 ∠1 与 ∠2 互余， 所以 ∠1+∠2=90° 。 所以 ∠BAC+∠ACD=2 （ ∠1+ ∠2 ） =180° 。 所以 AB∥CD 。 11. 解： l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， l 4 ∥l 5 。 理由： 因为 ∠1=∠4 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 因为 ∠2=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 所以 ∠3+∠1=180° ， 所以 l 2 ∥l 3 。 又因为 l 1 ∥l 2 ， 所以 l 1 ∥l 3 ， 即 l 1 ∥l 2 ∥l 3 。 因为 ∠2=∠3 ， 所以 l 4 ∥l 5 。 12. 解： 答案不 唯一： 比如： ∠CGM=42° 。 理由： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN-∠BFE=42° 。 所以 ∠CGM= ∠BFN 。 所以 AB∥CD 。 比如 ： ∠DGM=138° 。 理由 ： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42° 。 所以 ∠BFN+∠DGM=42°+138°=180° 。 所以 AB∥CD 。 13. 解： （ 1 ） 因为 OA ， OB 分别平分 ∠COE 和 ∠DOE ， 所以 ∠AOC= 1 2 ∠COE ， ∠2= 1 2 ∠DOE 。 因为 ∠COE+∠DOE=180° ， 所以 ∠AOC+∠2= 1 2 （ ∠COE+∠DOE ） =90° 。 因为 ∠1+∠2=90° ， 所以 ∠AOC=∠1 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 因为 ∠2 ∶∠3=2 ∶ 5 ， ∠2= 1 2 ∠DOE ， 所以 ∠DOE ∶ ∠3=4 ∶ 5 。 因为 ∠DOE+∠3=180° ， 所以 4 5 ∠3+∠3= 9 5 ∠3=180° 。 所以 ∠3=100° 。 * 14. 解： （ 1 ） 作 ∠EPF 等于已 知的 ∠CAD 。 （ 2 ） 方法 1 ： 由作图可知， ∠EPF=∠CAD ， 所以 PF∥l 。 （内错角相等， 两直线平行） 方法 2 ： 由作图的条件可知， 在 △ABP 中， ∠BAP+∠ABP+∠APB=180° 。 又由作图可知 ， ∠EPF=∠BAP ， 所以 ∠EPF+ ∠ABP+∠APB=180° 。 因为 ∠EPF+∠APB=∠BPF ， 所以 ∠BPF+∠ABP=180° 。 所以 PF∥l 。 （同旁内角互补， 两直 线平行） １5. D １6. C 3 平行线的性质 （第 1 课时） 1. 50° 2． 60° 3. （ 1 ） ∠4 两直线平行， 内错角相等 （ 2 ） DC 两直线平行， 同位角相等 4. D 5． D 6. C 7. D 8. B 9. 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A=∠ABF 。 又因为 ∠A=∠C ， 所以 ∠ABF=∠C 。 所以 AB∥CD 。 10． 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠B=∠EAD 。 因为 ∠B=∠D ， 所以 ∠EAD=∠D 。 所以 BE∥DF 。 所以 ∠E=∠F 。 11. 解： 因为 ∠1=32° ， DE 平分 ∠BDC ， 所以 ∠BDC=2∠1=64° 。 ∵AB∥CD ， 所以 ∠ABD+∠BDC=180° ， ∠ABF= ∠2 。 所以 ∠ABD=180°-∠BDC=116° 。 因为 BF 平分 ∠ABD ， 所以 ∠ABF= 1 2 ∠ABD=58° 。 所以 ∠2=58° 。 12. 解： ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180° 。 理由： 因为 CD∥EF ， 所以 ∠DEF=∠CDE 。 因为 ∠CDE=∠CDB+∠BDE ， 所以 ∠CDB= ∠CDE-∠BDE 。 所以 ∠CDB=∠DEF-∠BDE 。 因为 AB∥ CD ， 所 以 ∠ABD +∠CDB =180° 。 所 以 ∠ABD +∠DEF - ∠BDE=180° 。 * 13． 解： （ 1 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理 由： 因为 AB∥EF ， 所以 ∠CGF=∠2 。 因为 BC∥DE ， 所 以 ∠CGF=∠1 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 2 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理由 ： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1=∠CGE 。 因为 BC∥ O A B C D E 第 6 题答图 第 7 题答图 第 13 题答图 E G A F B C D 1 2 图 1 图 2 C F D G E 1 2 A B A B C D A B C D A B C D 176