1 两条直线的位置关系(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 按如图所示的方法折纸， 观察折叠过程回答 下列问题： （ 1 ） ∠2 是多少度？ 为什么？ （ 2 ） ∠1 与 ∠3 有何关系？ （ 3 ） ∠1 与 ∠AEC ， ∠3 和 ∠BEF 分别有何关系？ 【分析】 利用折叠图形的特征可知 ∠1+∠3=∠2 ， 而 ∠1+ ∠2+∠3=180° 是隐含条件， 两式结合可求出 ∠2 的度数。 【解答】 （ 1 ） ∠2=90° 。 理由： 由折叠可知 ∠1+∠3=∠2 ， 又因为 ∠1+∠2+∠3=180° ， 所 以 2∠2=180° ， 所以 ∠2=90° 。 （ 2 ） ∠1 与 ∠3 互余。 （ 3 ） ∠1 与 ∠AEC 互补， ∠3 与 ∠BEF 互补。 【点拨】 互余两角之和为 90° ， 互补两角之和为 180° ， 互余和互补的两个角只是数量关 系， 和两个角的位置没有关系。 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 点 D 在直线 AB 上， 当 ∠1=∠2 时， CD 与 AB 的位置关系是 。 2. 如图， 运动会上， 甲、 乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为 PA=5.52 m ， PB=5.13 m ， 则小明的真实成绩为 m 。 3. 在同一平面内两条直线的位置关系可能是 （ ） A. 相交或垂直 B. 垂直或平行 C. 平行或相交 D. 不确定 4. 如图， 有三条公路， 其中 AC 与 AB 垂直， 小明和小亮分别从 A ， B 处同时出发， 沿 AC ， BC 匀速骑车到 C 地。 若两人同时到达， 则 下列判断正确的是 （ ） A． 两人骑车的速度一样 B． 小明骑车的速度更快 C． 小亮骑车的速度更快 D． 无法判断两人骑车速度的快慢 第 2 题图 A B P 2 1 D C A B 第 1 题图 1 两条直线的位置关系 （第 2课时） A B C 第 4 题图 E A B C D E A B C D 沿 AE 折叠 E A B C D F 1 2 3 恢复原形 留下折痕 E A B C D 折 叠 ， 使 落 在 EB 上 例题图 EC 38 相交线与平行线 第二章 5. 如图， 已知 AB⊥AC ， AD⊥BC ， 下列说法不正确的是 （ ） A. 点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB B. 点 C 到 AB 的垂线段是线段 AC C. 点 D 到 BC 的垂线段是线段 AD D. 点 B 到 AD 的垂线段是线段 BD 6. 如图， 分别过点 A 画出 BC 的垂线， 并分别表示出来。 7. 如图， 某同学在 100 m 赛跑中已跑到了点 O 处， 最后他向着终点线 AB 冲刺， 他怎样 跑到 AB 的距离最短？ 画出图形并把最短距离表示出来。 能力提升 综合拓展 8. 如图， 过直线 AB 上一点 O ， 作射线 OD 和射线 OC ， 使 ∠AOD ∶∠BOD=3 ∶ 1 ， OD 平 分 ∠BOC 。 （ 1 ） 求 ∠AOC 的度数。 （ 2 ） 判断 AB 与 OC 的位置关系。 中考链接 真题演练 9. （ 2024 ·北京） 如图， 直线 AB 和 CD 相交于点 O ， OE⊥OC 。 若 ∠AOC=58° ， 则 ∠EOB 的大小为 （ ） A． 29° B． 32° C． 45° D． 58° 第 5 题图 B A C D O A B C D 第 7 题图 A B C A B C 第 6 题图 A B C 第 8 题图 A BO C D 第 9 题图 O A B D C E 39 七年级下册 （北师大版）数学 互为余角 ， 所以 ∠BOC+∠BOD=90° 。 因为 ∠BOC=4∠BOD ， 所以 ∠BOC= 4 5 ×90°=72° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角， 所以 ∠AOC+∠BOC=180° 。 所以 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108° 。 因为 OE 平分 ∠AOC ， 所 以 ∠COE= 1 2 ∠AOC= 1 2 ×108°=54° 。 所以 ∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126° 。 9． （ 1 ） 2 （ 2 ） 6 （ 3 ） 12 （ 4 ） n （ n-1 ） １０. 35° １1. D 12. B １3. C 1 两条直线的位置关系 （第 2 课时） 1. 垂直 2. 5.13 3. C 4. C 5. C 6. 解： 如图， AD⊥BC 。 7. 解： 如图， 沿着 OE 的方向跑， 最短 的距离为 OE 的长 。 8. 解 ： （ 1 ） 因为由平角定义 ∠AOB=180° ， ∠AOD ∶ ∠BOD=3 ∶ 1 ， 所以 ∠BOD=45° ， ∠AOD=135° 。 又因为 OD 平分 ∠BOC ， 所以 ∠COD=∠BOD=45° 。 所以 ∠AOC=∠AOD-∠COD=90° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC=90° ， 所以 AB⊥OC 。 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 1 课时） 1． ∠BGC DE CG AB 2． AB DE BE CD 3． A 4． D 5. 解： AB∥CD 。 理由： 因为 ∠1+∠CGE= 180° ， ∠1=72° ， 所以 ∠CGE=108° 。 因为 ∠2=108° ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 AB∥CD 。 6. 解： AB∥CE 。 理由： 因为 CD 平分 ∠ECF ， 所以 ∠ECD=∠FCD 。 因为 ∠ACB=∠FCD ， 所以 ∠ECD=∠ACB 。 因为 ∠B=∠ACB ， 所以 ∠B=∠ECD 。 所以 AB∥CE 。 7． 解： 因为 ∠1+∠2=180° ， ∠4+∠2=180° ， 所以 ∠1=∠4 。 又因为 ∠1=∠3 ， 所 以 ∠3=∠4 。 所以 CD∥EF 。 8. B 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 2 课时） 1． （ 1 ） DE BC AB 同位 （ 2 ） AB AC DE 同位 （ 3 ） DE BC AC 内错 （ 4 ） AB AC BC 同旁内 2． 答案不唯一， 如 ∠A=∠DCE ， ∠ECB=∠B ， ∠A+∠ECA=180° 。 3. 2 个 4． 120° 5． B 6. D 7. D 8. 解： 答案不唯一， 如因为 ∠1+∠2=180° ， ∠2+∠CNE =180° ， 所以 ∠1=∠CNE 。 所以 AB∥CD 。 9. 解： 因为 ∠1+∠2=90° ， ∠2+∠3 =90° ， 所以 ∠1=∠3 。 所以 a∥b 。 10． 解： 因为 AE ， CE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACD ， 所 以 ∠BAC=2∠1 ， ∠ACD=2∠2 。 又因为 ∠1 与 ∠2 互余， 所以 ∠1+∠2=90° 。 所以 ∠BAC+∠ACD=2 （ ∠1+ ∠2 ） =180° 。 所以 AB∥CD 。 11. 解： l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， l 4 ∥l 5 。 理由： 因为 ∠1=∠4 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 因为 ∠2=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 所以 ∠3+∠1=180° ， 所以 l 2 ∥l 3 。 又因为 l 1 ∥l 2 ， 所以 l 1 ∥l 3 ， 即 l 1 ∥l 2 ∥l 3 。 因为 ∠2=∠3 ， 所以 l 4 ∥l 5 。 12. 解： 答案不 唯一： 比如： ∠CGM=42° 。 理由： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN-∠BFE=42° 。 所以 ∠CGM= ∠BFN 。 所以 AB∥CD 。 比如 ： ∠DGM=138° 。 理由 ： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42° 。 所以 ∠BFN+∠DGM=42°+138°=180° 。 所以 AB∥CD 。 13. 解： （ 1 ） 因为 OA ， OB 分别平分 ∠COE 和 ∠DOE ， 所以 ∠AOC= 1 2 ∠COE ， ∠2= 1 2 ∠DOE 。 因为 ∠COE+∠DOE=180° ， 所以 ∠AOC+∠2= 1 2 （ ∠COE+∠DOE ） =90° 。 因为 ∠1+∠2=90° ， 所以 ∠AOC=∠1 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 因为 ∠2 ∶∠3=2 ∶ 5 ， ∠2= 1 2 ∠DOE ， 所以 ∠DOE ∶ ∠3=4 ∶ 5 。 因为 ∠DOE+∠3=180° ， 所以 4 5 ∠3+∠3= 9 5 ∠3=180° 。 所以 ∠3=100° 。 * 14. 解： （ 1 ） 作 ∠EPF 等于已 知的 ∠CAD 。 （ 2 ） 方法 1 ： 由作图可知， ∠EPF=∠CAD ， 所以 PF∥l 。 （内错角相等， 两直线平行） 方法 2 ： 由作图的条件可知， 在 △ABP 中， ∠BAP+∠ABP+∠APB=180° 。 又由作图可知 ， ∠EPF=∠BAP ， 所以 ∠EPF+ ∠ABP+∠APB=180° 。 因为 ∠EPF+∠APB=∠BPF ， 所以 ∠BPF+∠ABP=180° 。 所以 PF∥l 。 （同旁内角互补， 两直 线平行） １5. D １6. C 3 平行线的性质 （第 1 课时） 1. 50° 2． 60° 3. （ 1 ） ∠4 两直线平行， 内错角相等 （ 2 ） DC 两直线平行， 同位角相等 4. D 5． D 6. C 7. D 8. B 9. 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A=∠ABF 。 又因为 ∠A=∠C ， 所以 ∠ABF=∠C 。 所以 AB∥CD 。 10． 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠B=∠EAD 。 因为 ∠B=∠D ， 所以 ∠EAD=∠D 。 所以 BE∥DF 。 所以 ∠E=∠F 。 11. 解： 因为 ∠1=32° ， DE 平分 ∠BDC ， 所以 ∠BDC=2∠1=64° 。 ∵AB∥CD ， 所以 ∠ABD+∠BDC=180° ， ∠ABF= ∠2 。 所以 ∠ABD=180°-∠BDC=116° 。 因为 BF 平分 ∠ABD ， 所以 ∠ABF= 1 2 ∠ABD=58° 。 所以 ∠2=58° 。 12. 解： ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180° 。 理由： 因为 CD∥EF ， 所以 ∠DEF=∠CDE 。 因为 ∠CDE=∠CDB+∠BDE ， 所以 ∠CDB= ∠CDE-∠BDE 。 所以 ∠CDB=∠DEF-∠BDE 。 因为 AB∥ CD ， 所 以 ∠ABD +∠CDB =180° 。 所 以 ∠ABD +∠DEF - ∠BDE=180° 。 * 13． 解： （ 1 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理 由： 因为 AB∥EF ， 所以 ∠CGF=∠2 。 因为 BC∥DE ， 所 以 ∠CGF=∠1 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 2 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理由 ： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1=∠CGE 。 因为 BC∥ O A B C D E 第 6 题答图 第 7 题答图 第 13 题答图 E G A F B C D 1 2 图 1 图 2 C F D G E 1 2 A B A B C D A B C D A B C D 176