1 两条直线的位置关系(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

参考答案与提示 9 个方格中填上相应的代数式如图 1 。 因为大正方形的面积为 （ a+b+c ） 2 ， 9 个长方形的面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+ 2ac ， 所以 （ a+b+c ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac 。 （ 2 ） 如图 2 ， 因为大正方形的面积为 （ a+b+c+d ） 2 ， 16 个长方形的 面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ， 所以 （ a+b+c+d ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 。 （ 3 ） 因为大正方体的体积为 （ a+b ） 3 ， 分割为 8 个长方体， 这 8 个长方体的体积和为 a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ， 所以 （ a+b ） 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 。 * 12. 解： （ 1 ） 由题意， 得 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） ＝x 2 +y 2 -kxy 。 因为 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） 是一个完全 平方式， 所以 -k＝±2 ， 即 k＝±2 。 （ 2 ） 因为 F （ 2x+3y ， 2x-3y ） +H （ 7 ， x 2 +2y 2 ） ＝13 ， 所以（ 2x+3y ） 2 + （ 2x-3y ） 2 -7 （ x 2 +2y 2 ） ＝13 。 所以 x 2 +4y 2 ＝13 。 因 为 x+2y＝5 ， 所以 x 2 +4xy+4y 2 ＝25 。 所以 4xy+13＝25 。 所以 xy＝3 。 所以 （ x-2y ） 2 ＝x 2 -4xy+4y 2 ＝13-12＝1 。 （ 3 ） 因为 S 梯形 ABCD -S △ABE ＝2 ， 所以 1 2 · nx ·（ x+y ） - 1 2 AD · EF＝2 。 所以 nx （ x+y ） -y · 4ny＝4 ， 即 nx 2 +nxy-4ny 2 ＝4 。 由 （ 2 ） 知： xy＝3 ， x-2y＝±1 ， x+2y＝5 ， 所以当 x-2y＝1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5×1×n＝4 。 所以 n＝ 1 2 。 当 x-2y＝-1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5× （ -1 ） ×n＝4 。 ∴n＝-2 。 综上， n 的值是 1 2 或 -2 。 13. 29 14. 解： 原式 =x 2 +2xy+y 2 +x 2 -2xy=2x 2 +y 2 ， 当 x=1 ， y=-2 时， 原式 =2×1 2 + （ -2 ） 2 =6 。 15. 解： （ 1 ） 由图可知 S 1 ＝ （ a+ 2 ）（ a+1 ） ＝a 2 +3a+2 ， S 2 ＝ （ 5a+1 ） ×1＝5a+1 ， 当 a＝2 时， S 1 +S 2 ＝4+6+2+10+1＝23 。 （ 2 ） S 1 ＞S 2 。 理由： 因为 S 1 -S 2 ＝a 2 +3a+ 2-5a-1＝a 2 -2a+1＝ （ a-1 ） 2 >0 ， 所以 S 1 ＞S 2 。 3 乘法公式 （第 4 课时） 1. 10 2. 9 3. -8xy 4. x 4 -2x 2 +1 5. - 1 2 1 4 6. 34 7. D 8. C 9. B 10. D 11. 解： （ 1 ） 87 2 = （ 90－3 ） 2 = 90 2 －2×3×90+3 2 =8 100－540+9=7 569 。 （ 2 ） 504 2 = （ 500+4 ） 2 =500 2 +2×4×500+4 2 =250 000+4 000+16=254 016 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 -5x+2 2 # 5 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 +5x-25=10x 。 （ 2 ） 原式 = （ m 2 -n 2 ）（ m 2 +n 2 ）（ m 4 - n 4 ） = （ m 4 -n 4 ） 2 =m 8 －2m 4 n 4 +n 8 。 （ 3 ） 原式 = 3a+ 1 2 2 2 b 2 －4 2 =9a 2 +3ab+ 1 4 b 2 －16 。 （ 4 ） 原式 =3 （ m 2 +2m+1 ） －5 （ m 2 －1 ） + 2 （ m 2 －2m+1 ） =3m 2 +6m+3－5m 2 +5+2m 2 －4m+2=2m+10 。 13. 解： 【验证】 10 的一半等于 5 ， 5=1+4=1 2 +2 2 。 【探究】 理由： （ m+n ） 2 + （ m-n ） 2 =m 2 +2mn+n 2 +m 2 -2mn+n 2 =2m 2 +2n 2 =2 （ m 2 +n 2 ）， 所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差 的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。 14. 2a+1 15. -1 012 提示： 将等 式转化为完全平方和的形式。 4 整式的除法 1. （ 1 ） 2ab （ 2 ） ab （ 3 ） 4x 2 y 2 （ 4 ） -2×10 6 2. a 2 +2ab+b 2 -1 3. 3 4. a-2b 5. 10a+12b 6. -3 7. B 8. A 9. D 10. A 11. 解 ： （ 1 ） 原式 =- 2 3 x 2 y · 6x 3 y÷4x 2 y 2 =-4x 5 y 2 ÷4x 2 y 2 =-x 3 。 （ 2 ） 原式 =9x 4 y 2 ÷ （ -9x 4 y ） - 8x 3 y 6 ÷x 3 y 5 =-y-8y=-9y 。 （ 3 ） 原式 =y 3 －xy 2 +2x 2 z 。 （ 4 ） 原式 = 3 4 a 4 b 7 － 1 8 a 2 b 6 6 2 ÷ 1 16 a 2 b 4 =12a 2 b 3 －2b 2 。 （ 5 ） 原式 = 16x 2 －4xy+ 1 4 y 2 －4xy 2 － 1 4 y 2 2 ÷8x= （ 16x 2 －8xy ） ÷8x=2x－y 。 （ 6 ） 原式 =2 025 2 － （ 2 025－3 ） × （ 2 025+3 ） =2 025 2 － （ 2 025 2 － 9 ） =9 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = （ 4x 2 +4xy+y 2 +3xy+x 2 -3y 2 -xy+2y 2 ） ÷ （ -x ） = （ 5x 2 +6xy ） ÷ （ -x ） =-5x-6y 。 将 x=-2 ， y=1 代 入， 原式 =-5× （ -2 ） -6×1=4 。 （ 2 ） 原式 = （ 9a 2 +4b 2 +12ab-9a 2 +4b 2 -6b 2 +6ab ） ÷ 1 2 b= （ 2b 2 +18ab ） ÷ 1 2 b=4b+36a 。 将 a=- 1 3 ， b= 3 4 代入， 原式 =4× 3 4 +36× - 1 3 2 2 =-9 。 13. 解： （ 1 ） 由已知得 A=-2xy-3y 2 -x 2 +4y 2 +2x 2 +2xy=x 2 +y 2 。 （ 2 ） ∵x+ y=4 ， xy=3 ， ∴A=x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=4 2 -2×3=10 。 14. 解： （ 1 ） 由图形， 得 S 成年人 =4a · 3a=12a 2 ， S 未成年人 =π · 3 2 2 2 a 2 = 27 4 a 2 ， 整个健身场地的面积 = （ a+4a+5a ）（ 1.5a+3a+1.5a ） =10a · 6a=60a 2 ， ∴S 花草 =60a 2 -12a 2 - 27 4 a 2 = 165 4 a 2 。 （ 2 ） 由 题意， 得 60a 2 ÷12a 2 =5 。 答 ： 整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的 5 倍 。 15. 解 ： （ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ） ÷ 1 3 a 4 b 2 2 2 （ 7ab 2 2 ' ） =- 6 7 或 1 3 a 4 b 6 # 2 （ 7ab 2 ） ÷ ［（ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ）］ =- 7 6 。 * 16. 解： （ 1 ） ①3×9－2×10=27－20=7 。 ② 再换 一组 19×13－20×12=247－240=7 。 证明： 设方框框出的四个数分别为 a ， a+1 ， a+7 ， a+8 ， 则 （ a+1 ）（ a+7 ） －a （ a+8 ） =a 2 +8a+7－a 2 －8a=7 。 （ 2 ） ①12×14－6×20=168－120=48 。 ② 再换一组 9×11－3×17=99－51=48 。 证明： 设选择的四个 数的中间数字为 x ， 则四个数为 x－1 ， x+1 ， x－7 ， x+7 ， 则 （ x－1 ）（ x+1 ） － （ x-7 ）（ x+7 ） =x 2 －1－ （ x 2 －49 ） =x 2 －1－x 2 +49=48 。 17. 解： 原式 = （ x 2 +4x+4 ） - （ x 2 +3 ） =x 2 +4x+4-x 2 -3=4x+1 。 当 x=-2 时， 原式 =4× （ -2 ） +1=-8+1=-7 。 18. 解： 原式 = （ 4a 2 +4ab+b 2 -4a 2 +b 2 ） ÷2b= （ 4ab+2b 2 ） ÷2b=2a+b 。 当 a=2 ， b=-1 时， 原式 =2×2-1=3 。 第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 （第 1 课时） 1． 140° 2． 45° 3． ∠2-∠1=90° 4． 75° 5． B 6． D 7． 解： 设这个角为 x ， 则它的余角为 90°-x ， 补角为 180°-x 。 依题意有 180°-x=4 （ 90°-x ）， 解得 x=60° 。 所以这个角的度数为 60° 。 8． 解： （ 1 ） 因为 ∠BOC 与 ∠BOD 第 11 题答图 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 图 1 图 2 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 ad bd cd a 2 d ad bd cd d 175 七年级下册 （北师大版）数学 互为余角 ， 所以 ∠BOC+∠BOD=90° 。 因为 ∠BOC=4∠BOD ， 所以 ∠BOC= 4 5 ×90°=72° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角， 所以 ∠AOC+∠BOC=180° 。 所以 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108° 。 因为 OE 平分 ∠AOC ， 所 以 ∠COE= 1 2 ∠AOC= 1 2 ×108°=54° 。 所以 ∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126° 。 9． （ 1 ） 2 （ 2 ） 6 （ 3 ） 12 （ 4 ） n （ n-1 ） １０. 35° １1. D 12. B １3. C 1 两条直线的位置关系 （第 2 课时） 1. 垂直 2. 5.13 3. C 4. C 5. C 6. 解： 如图， AD⊥BC 。 7. 解： 如图， 沿着 OE 的方向跑， 最短 的距离为 OE 的长 。 8. 解 ： （ 1 ） 因为由平角定义 ∠AOB=180° ， ∠AOD ∶ ∠BOD=3 ∶ 1 ， 所以 ∠BOD=45° ， ∠AOD=135° 。 又因为 OD 平分 ∠BOC ， 所以 ∠COD=∠BOD=45° 。 所以 ∠AOC=∠AOD-∠COD=90° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC=90° ， 所以 AB⊥OC 。 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 1 课时） 1． ∠BGC DE CG AB 2． AB DE BE CD 3． A 4． D 5. 解： AB∥CD 。 理由： 因为 ∠1+∠CGE= 180° ， ∠1=72° ， 所以 ∠CGE=108° 。 因为 ∠2=108° ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 AB∥CD 。 6. 解： AB∥CE 。 理由： 因为 CD 平分 ∠ECF ， 所以 ∠ECD=∠FCD 。 因为 ∠ACB=∠FCD ， 所以 ∠ECD=∠ACB 。 因为 ∠B=∠ACB ， 所以 ∠B=∠ECD 。 所以 AB∥CE 。 7． 解： 因为 ∠1+∠2=180° ， ∠4+∠2=180° ， 所以 ∠1=∠4 。 又因为 ∠1=∠3 ， 所 以 ∠3=∠4 。 所以 CD∥EF 。 8. B 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 2 课时） 1． （ 1 ） DE BC AB 同位 （ 2 ） AB AC DE 同位 （ 3 ） DE BC AC 内错 （ 4 ） AB AC BC 同旁内 2． 答案不唯一， 如 ∠A=∠DCE ， ∠ECB=∠B ， ∠A+∠ECA=180° 。 3. 2 个 4． 120° 5． B 6. D 7. D 8. 解： 答案不唯一， 如因为 ∠1+∠2=180° ， ∠2+∠CNE =180° ， 所以 ∠1=∠CNE 。 所以 AB∥CD 。 9. 解： 因为 ∠1+∠2=90° ， ∠2+∠3 =90° ， 所以 ∠1=∠3 。 所以 a∥b 。 10． 解： 因为 AE ， CE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACD ， 所 以 ∠BAC=2∠1 ， ∠ACD=2∠2 。 又因为 ∠1 与 ∠2 互余， 所以 ∠1+∠2=90° 。 所以 ∠BAC+∠ACD=2 （ ∠1+ ∠2 ） =180° 。 所以 AB∥CD 。 11. 解： l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， l 4 ∥l 5 。 理由： 因为 ∠1=∠4 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 因为 ∠2=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 所以 ∠3+∠1=180° ， 所以 l 2 ∥l 3 。 又因为 l 1 ∥l 2 ， 所以 l 1 ∥l 3 ， 即 l 1 ∥l 2 ∥l 3 。 因为 ∠2=∠3 ， 所以 l 4 ∥l 5 。 12. 解： 答案不 唯一： 比如： ∠CGM=42° 。 理由： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN-∠BFE=42° 。 所以 ∠CGM= ∠BFN 。 所以 AB∥CD 。 比如 ： ∠DGM=138° 。 理由 ： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42° 。 所以 ∠BFN+∠DGM=42°+138°=180° 。 所以 AB∥CD 。 13. 解： （ 1 ） 因为 OA ， OB 分别平分 ∠COE 和 ∠DOE ， 所以 ∠AOC= 1 2 ∠COE ， ∠2= 1 2 ∠DOE 。 因为 ∠COE+∠DOE=180° ， 所以 ∠AOC+∠2= 1 2 （ ∠COE+∠DOE ） =90° 。 因为 ∠1+∠2=90° ， 所以 ∠AOC=∠1 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 因为 ∠2 ∶∠3=2 ∶ 5 ， ∠2= 1 2 ∠DOE ， 所以 ∠DOE ∶ ∠3=4 ∶ 5 。 因为 ∠DOE+∠3=180° ， 所以 4 5 ∠3+∠3= 9 5 ∠3=180° 。 所以 ∠3=100° 。 * 14. 解： （ 1 ） 作 ∠EPF 等于已 知的 ∠CAD 。 （ 2 ） 方法 1 ： 由作图可知， ∠EPF=∠CAD ， 所以 PF∥l 。 （内错角相等， 两直线平行） 方法 2 ： 由作图的条件可知， 在 △ABP 中， ∠BAP+∠ABP+∠APB=180° 。 又由作图可知 ， ∠EPF=∠BAP ， 所以 ∠EPF+ ∠ABP+∠APB=180° 。 因为 ∠EPF+∠APB=∠BPF ， 所以 ∠BPF+∠ABP=180° 。 所以 PF∥l 。 （同旁内角互补， 两直 线平行） １5. D １6. C 3 平行线的性质 （第 1 课时） 1. 50° 2． 60° 3. （ 1 ） ∠4 两直线平行， 内错角相等 （ 2 ） DC 两直线平行， 同位角相等 4. D 5． D 6. C 7. D 8. B 9. 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A=∠ABF 。 又因为 ∠A=∠C ， 所以 ∠ABF=∠C 。 所以 AB∥CD 。 10． 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠B=∠EAD 。 因为 ∠B=∠D ， 所以 ∠EAD=∠D 。 所以 BE∥DF 。 所以 ∠E=∠F 。 11. 解： 因为 ∠1=32° ， DE 平分 ∠BDC ， 所以 ∠BDC=2∠1=64° 。 ∵AB∥CD ， 所以 ∠ABD+∠BDC=180° ， ∠ABF= ∠2 。 所以 ∠ABD=180°-∠BDC=116° 。 因为 BF 平分 ∠ABD ， 所以 ∠ABF= 1 2 ∠ABD=58° 。 所以 ∠2=58° 。 12. 解： ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180° 。 理由： 因为 CD∥EF ， 所以 ∠DEF=∠CDE 。 因为 ∠CDE=∠CDB+∠BDE ， 所以 ∠CDB= ∠CDE-∠BDE 。 所以 ∠CDB=∠DEF-∠BDE 。 因为 AB∥ CD ， 所 以 ∠ABD +∠CDB =180° 。 所 以 ∠ABD +∠DEF - ∠BDE=180° 。 * 13． 解： （ 1 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理 由： 因为 AB∥EF ， 所以 ∠CGF=∠2 。 因为 BC∥DE ， 所 以 ∠CGF=∠1 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 2 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理由 ： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1=∠CGE 。 因为 BC∥ O A B C D E 第 6 题答图 第 7 题答图 第 13 题答图 E G A F B C D 1 2 图 1 图 2 C F D G E 1 2 A B A B C D A B C D A B C D 176 相交线与平行线 第二章 自主导学 典例精析 例题 1 如果一个角的余角比它的补角的 5 13 还少 4° ， 那么这个角的度数是多少？ 【分析】 题中给出了这个角的余角和补角之间的数量关系， 因为这个角的余角与补角都 和这个角有关， 所以可建立这个角与它的余角、 补角之间的等量关系， 利用方程求解。 【解答】 设这个角的度数为 x° ， 则它的余角为 （ 90-x ） ° ， 补角为 （ 180-x ） ° 。 由题意， 得 90-x= 5 13 （ 180-x ） -4 。 解得 x=40.25 。 所以， 这个角的度数为 40.25° 。 【点拨】 此类问题均可利用方程模型求解， 同一个角的补角与余角的差为 90° 。 相交线 对顶角→对顶角相等 补角→同角或等角的补角相等 余角→同角或等角的余角相等 相 交 线 与 平 行 线 垂线→过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段→垂线段最短→点到直线的距离 平行线 直线平行 的条件 同位角相等， 两直线平行 内错角相等， 两直线平行 同旁内角互补， 两直线平行 平行线的 性质 过直线外一点有且只有一条 直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直 线平行 两直线平行， 同位角相等 两直线平行， 内错角相等 两直线平行， 同旁内角互补 相交线与平行线第二章 知识网络 1 两条直线的位置关系 （第 1课时） 用尺规作已知直线的平行线 35 七年级下册 （北师大版）数学 例题 2 如图， ∠1 和 ∠2 是对顶角的图形的个数有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个 【分析】 根据对顶角的定义依次分析各个图形中 ∠1 和 ∠2 边的位置关系即可判断。 【解答】 A 【点拨】 解答本题的关键是熟练掌握对顶角的特征： 两条直线相交形成的没有公共边的 一对角是对顶角。 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 直线 a ， b 相交于点 O ， 若 ∠1=40° ， 则 ∠2= 。 2. 若 ∠琢 等于它的余角， 则 ∠琢 的度数为 。 3. 若 ∠1 的余角与 ∠2 的补角相等， 则 ∠1 和 ∠2 的数量关系为 。 4. 如图， 直线 AB 与 CD 相交于点 O ， ∠AOC 与 ∠BOD 的和为 210° ， 则 ∠BOC 的度数为 。 5. 下列各图形中， ∠1 与 ∠2 是对顶角的是 （ ） 6. 下列说法正确的是 （ ） A. 一个钝角与一个锐角的差一定是锐角 B. 任何一个角的补角都比这个角大 C. 若 ∠1+∠2+∠3=180° ， 则 ∠1 ， ∠2 ， ∠3 互补 D. 互余的两个角一定都是锐角 能力提升 综合拓展 7. 已知一个角的补角是它的余角的 4 倍， 求这个角的度数。 1 2 1 2 1 2 1 2 例题 2 图 第 4 题图 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C D O B CD A O b a 1 2 第 1 题图 36 相交线与平行线 第二章 8. 如图， ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角， ∠BOC 与 ∠BOD 互为余角， 且 ∠BOC=4∠BOD 。 （ 1 ） 求 ∠BOC 的度数。 （ 2 ） 若 OE 平分 ∠AOC ， 求 ∠BOE 的度数。 9. 观察下列图形， 寻找对顶角 （不含平角）。 （ 1 ） 如图 1 ， 图中共有 对对顶角； （ 2 ） 如图 2 ， 图中共有 对对顶角； （ 3 ） 如图 3 ， 图中共有 对对顶角； （ 4 ） 若有 n 条直线相交于一点， 则可形成 （用含 n 的式子表示） 对对顶角。 中考链接 真题演练 10. （ 2024 ·广西） 已知 ∠1 与 ∠2 为对顶角， ∠1=35° ， 则 ∠2= 。 11. （ 2024 ·甘肃） 若 ∠A=55° ， 则 ∠A 的补角为 （ ） A． 35° B． 45° C． 115° D． 125° 12. （ 2024 ·日照） 如图， 直线 AB ， CD 相交于点 O 。 若 ∠1=40° ， ∠2=120° ， 则 ∠COM 的 度数为 （ ） A． 70° B． 80° C． 90° D． 100° 13. （ 2023 ·北京） 如图， ∠AOC=∠BOD=90° ， ∠AOD=126° ， 则 ∠BOC 的大小为 （ ） A． 36° B． 44° C． 54° D． 63° 第 8 题图 a c b d a c b a b 图 1 图 2 图 3 第 9 题图 OA B D E C O D C B A 第 12 题图 第 13 题图 1 2 O A B M C D 37