1 幂的乘除(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 1 计算：（-3）2 025· - 1 3 3 " 2 023 。 【分析】 根据同底数幂的乘法运算性质， 可将（ -3 ） 2 025 变形为（ -3 ） 2 023 ·（ -3 ） 2 ， 再根据积的 乘方的运算性质， 可得计算结果。 【解答】 （ -3 ） 2 025 · - 1 3 3 " 2 023 = （ -3 ） 2 ·（ -3 ） 2 023 · - 1 3 3 " 2 023 = （ -3 ） 2 · -3× - 1 3 3 "3 $ 2 023 = （ -3 ） 2 =9 。 【点拨】 考查同底数幂的乘法与积的乘方性质的逆用， 解题的关键是将算式转化为同指 数幂相乘的形式， 然后逆用积的乘方运算性质： a n b n = （ ab ） n 。 例题 2 已知 3 m ＝6 ， 9 n ＝2 ， 求 3 2m＋4n 的值。 【分析】 逆用同底数幂的乘法、 幂的乘方与积的乘方性质进行计算。 【解答】 3 2m＋4n ＝3 2m · 3 4n ＝ （ 3 m ） 2 ·（ 3 2n ） 2 ＝ （ 3 m ） 2 ·（ 9 n ） 2 ＝6 2 ×2 2 ＝ （ 6×2 ） 2 ＝144 。 【点拨】 幂的运算性质是以等式形式出现的， 受思维定式的影响， 习惯于从左边到右边 运用它， 而忽视从右边到左边的应用， 即逆向运用幂的运算性质。 其实， 有些问题如果逆向 运用幂的运算性质， 解题会更加简捷。 （ 1 ） a m＋n ＝a m · a n （ m ， n 都是正整数）； （ 2 ） a mn ＝ （ a m ） n = （ a n ） m （ m ， n 都是正整数）； （ 3 ） a n b n ＝ （ ab ） n （ n 为正整数）。 基础巩固 达标闯关 1. 计算： （ 1 ） （ －2a 2 b ） 2 = ； （ 2 ） － （ －3xy 3 ） 3 = 。 2. 已知 x n =2 ， y n =3 ， 则（ xy ） 2n = 。 3. 计算： （ 1 ） 2 5 3 " 2 024 × - 5 2 3 " 2 024 = ； （ 2 ） - 1 5 3 " 2 024 × （ －5 ） 2 025 = 。 4. 计算： 0.125 2 023 × （ －8 ） 2 024 = 。 5. 已知 （ a m b m+n ） 3 =a 9 b 15 ， 则 m= ， n= 。 6. 计算： （ 1 ）（ －2xy 3 z 2 ） 4 = ； （ 2 ） ［（ 2x ） 2 ］ 3 = 。 7. 下列计算正确的是 （ ） A. （ 6x 6 y 2 ） 2 =12x 12 y 4 B. 2x 2 + （ 2x ） 3 =8x 3 C. － （ 3×2 ） 3 = （ －3×2 ） 3 D. ［（ －2x ） 3 ］ 2 =－64x 6 8. 计算（ -3a 2 b ） 3 的结果正确的是 （ ） A. 27a 6 b 6 B. -27a 6 b 3 C. -9a 2 b 3 D. -9a 6 b 3 9. 在算式 （ 2x 2 ） 3 =8x 6 ， （ a 2 b 2 ） 3 =a 2 b 6 ， 2 3 3 " x 2 = 4 3 x 2 ， （ 4x 3 y 2 ） 2 =16x 5 y 4 中， 正确的有 （ ） 1 幂的乘除 （第 3课时） 6 整式的乘除 第一章 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 下列算式的结果等于 －0.25 的是 （ ） A. 4 3 ·（ －0.25 ） 4 B. （ －4 ） 3 ·（ 0.25 ） 4 C. （ -0.1×5 ） 2 D. （ 0.5 ） 4 ·（ －2 ） 3 能力提升 综合拓展 11. 若（ 2a n ） 3 =40 ， 则 a 6n 等于 （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 12. 计算： （ 1 ） a 3 · a 4 · a+ （ a 2 ） 4 + （ －2a 4 ） 2 ； （ 2 ） （ 0.2a 3 b 6 ） 2 + - 1 5 a 2 b ! " 4 3 ； （ 3 ） 2 （ x 3 ） 2 · x 3 － （ 3x 3 ） 3 + （ 5x ） 2 · x 7 ； （ 4 ） -1 3 4 ! " 5 ×0.25 5 × 4 7 ! " 5 × （ -8 ） 5 ； （ 5 ） ［ 3 （ 2y-3x ） 3 ］ 2 ·［（ 2y-3x ） 3 ］ 5 。 13. 简便运算： （ 1 ） 12 5 ! " 11 × - 5 6 ! " 11 × 1 2 ! " 12 ； （ 2 ） 3 100 ×8 102 × 1 4 ! " 103 。 7 七年级下册 （北师大版）数学 * 14. 在幂的运算中规定： 若 a x =a y （ a＞0 且 a≠1 ， x ， y 是正整数）， 则 x=y 。 利用上面结论 解答下列问题： （ 1 ） 若 9 x =3 6 ， 求 x 的值。 （ 2 ） 若 3 y+2 -3 y+1 =18 ， 求 y 的值。 （ 3 ） 若 m=6 t+1 -6 t ， n=18× 1 3 3 # t+1 - 1 3 3 3 t ， mn=400 ， 求 t 的值。 * 15. 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性， 如： （ ab ） m =a m b m ， 则 a m b m = （ ab ） m （ a ， b 为非 负数， m 为非负整数）。 请运用所学知识解答下列问题： （ 1 ） 若 2 x+3 · 3 x+3 =36 x-2 ， 求 x 的值。 （ 2 ） 若 3×2 x+3 ×4 x+3 =96 ， 求 x 的值。 （ 3 ） 若 N=2 12 ×5 8 ， 试求出 N 的值， 并用科学记数法表示。 中考链接 真题演练 16． （ 2024 ·上海） 计算： （ 4x 2 ） 3 = 。 17. （ 2023 ·武汉） 计算 （ 2a 2 ） 3 的结果是 （ ） A． 2a 6 B． 6a 5 C． 8a 5 D． 8a 6 18. （ 2024 ·济南） 下列运算正确的是 （ ） A． 3x+3y=6xy B． （ xy 2 ） 3 =xy 6 C． 3 （ x+8 ） =3x+8 D． x 2 · x 3 =x 5 19. （ 2023 ·陕西） 计算： - 1 2 x 2 2 3 y 3 = （ ） A． - 1 6 x 6 y 3 B． - 1 8 x 2 y 3 C． - 1 8 x 6 y 3 D． - 3 2 x 5 y 4 8 参考答案与提示 第一章 整式的乘除 1 幂的乘除 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 1 8 （ 2 ） -625 （ 3 ） -a 4 （ 4 ） 2 200 2. （ 1 ） （ a-b ） 5 （ 2 ） 3 6+m 3. （ 1 ） 1 （ 2 ） 4 4. （ 1 ） 1 （ 2 ） 256 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. B 11. （ 1 ） -x 16 （ 2 ） （ 2x-3 ） 9 （ 3 ） （ x+y ） 3n-2 （ 4 ） 0 12. 4×10 6 ×2.5× 3.6×10=3.6×10 8 （ m 3 ）。 13. 2 提示： 3 （ 2n+1 ） + （ 2n-1 ） =3 4n =3 4 ， 4n=4 ， n=1 。 14. 解： 由题意得 m+2n+1=12 ， m+2+n-1=9 ， 将 m+n=8 代入 m+2n+1=12 ， 得 n=3 ， 再将 n=3 代入 m+n=8 ， 得 m=5 ， 所以 n m =243 。 15. 解： 4 GB=2 2 ×2 10 ×2 10 ×2 10 = 2 2+10+10+10 =2 32 （ B ）。 * 16. 解： （ 1 ） 7茚8=10 7 ×10 8 =10 15 。 （ 2 ） 相等， 理由： 因为 （ a+b ） 茚c=10 a+b ×10 c =10 a+b+c ， a茚 （ b+ c ） =10 a ×10 b+c =10 a+b+c ， 所以两者相等。 17. x 5 18. D 19. D 1 幂的乘除 （第 2 课时） 1. （ 1 ） y 10 （ 2 ） y 10 （ 3 ） 2y 5 2. （ 1 ） a 2n （ 2 ） a n 2 （ 3 ） 2a n 3. （ 1 ） x 6 （ 3 ） -x 6 （ 3 ） -x 6n 4. 2 025 x+y 5. （ 1 ） 2 （ 2 ） 144 6. 81 7. （ 1 ） 33 （ 2 ） 5 2 8. （ 1 ） x 24 （ 2 ） p 2n+1 （ 3 ） 0 （ 4 ） a 14 （ 5 ） 3y 6 9. 解： 原式 = （ x 2n ） 3 -4 ·（ x 2n ） 2 =7 3 -4×7 2 =147 。 10. 解： 基本规律是对于 2 n ， n 被 4 除， 如果余 1 ， 则 2 n 的结果末位数字是 2 ； 如果余 2 ， 则 2 n 的结果末位数字是 4 ； 如果余 3 ， 则 2 n 的结果末位数字是 8 ； 如果整除， 则 2 n 的结果末位数字是 6 。 而 8 9 =2 27 ， 27÷4=6 …… 3 ， 则 8 9 的结果末位数字是 8 。 * 11. 解： 因为 3 100 = （ 3 5 ） 20 =243 20 ， 5 60 = （ 5 3 ） 20 =125 20 ， 又因为 243> 125 ， 所以 3 100 >5 60 。 * 12. 解： （ 1 ） 3 -32 提示： 因为 3 3 ＝27 ， 所以 （ 3 ， 27 ） ＝3 ； 因为 （ -2 ） 5 ＝-32 ， 所以 （ -2 ， -32 ） ＝5 。 （ 2 ） 理由： 设 （ 3 ， 4 ） ＝a ， （ 3 ， 5 ） ＝b ， 则 （ 3 ， 4 ） + （ 3 ， 5 ） =a+b ， 3 a ＝4 ， 3 b ＝5 。 所以 3 a · 3 b ＝4×5=20 。 所以 3 a+b ＝20 。 所以 （ 3 ， 20 ） ＝a+b 。 所以 （ 3 ， 4 ） + （ 3 ， 5 ） = （ 3 ， 20 ）。 13. B 14. D 15. C 1 幂的乘除 （第 3 课时） 1. （ 1 ） 4a 4 b 2 （ 2 ） 27x 3 y 9 2. 36 3. （ 1 ） 1 （ 2 ） -5 4. 8 5. 3 2 6. （ 1 ） 16x 4 y 12 z 8 （ 2 ） 64x 6 7. C 8. B 9. A 10. B 11. D 12. （ 1 ） 6a 8 （ 2 ） 4 125 a 6 b 12 （ 3 ） 0 （ 4 ） 32 （ 5 ） 9 （ 2y-3x ） 21 。 13. 解： （ 1 ） 原式 = 12 5 5 # 11 × - 5 6 5 6 11 × 1 2 × 1 2 2 6 11 = 1 2 × - 5 6 × 12 5 × 1 2 5 6 11 = 1 2 × （ -1 ） 11 =- 1 2 。 （ 2 ） 原式 =3 100 ×2 306 × 1 2 5 6 206 =3 100 ×2 100 ×2 206 × 1 2 5 6 206 = （ 3×2 ） 100 × 2× 1 2 5 6 206 =6 100 ×1 206 =6 100 。 * 14. 解： （ 1 ） 因为 9 x =3 6 ， 所以 （ 3 2 ） x =3 6 。 所以 3 2x =3 6 。 所以 2x=6 。 所以 x=3 。 （ 2 ） 因为 3 y+2 -3 y+1 =18 ， 所以 3×3 y+1 -3 y+1 =18 ， 所以 2×3 y+1 =2×3 2 。 所以 3 y+1 =3 2 。 所以 y+1=2 。 所以 y=1 。 （ 3 ） 因 为 m=6 t+1 -6 t ， n=18× 1 3 5 6 t+1 - 1 3 5 6 t ， 所以 m=6×6 t -6 t =5×6 t ， n=18× 1 3 5 6 t+1 - 1 3 5 6 t =6× 1 3 5 6 t - 1 3 5 6 t =5× 1 3 5 6 t 。 所以 mn= 5×6 t ×5× 1 3 5 6 t =25× 6× 1 3 5 6 t =25×2 t 。 因为 mn=400 ， 所以 25×2 t =400 。 所以 2 t =16=2 4 。 所以 t=4 。 * 15. 解： （ 1 ） 因为 2 x+3 · 3 x+3 =36 x-2 ， 所以 （ 2×3 ） x+3 = （ 6 2 ） x-2 ， 即 6 x+3 =6 2 （ x-2 ） 。 所以 x+3=2 （ x-2 ）。 解得 x=7 。 （ 2 ） 因为 3×2 x+3 ×4 x+3 =96 ， 所 以 2 x+3 ×2 2 （ x+3 ） =32 。 所以 2 3 （ x+3 ） =2 5 。 所以 3 （ x+3 ） =5 。 解得 x=- 4 3 。 （ 3 ） N= （ 2 3 ） 4 × （ 5 2 ） 4 = （ 8×25 ） 4 = （ 2×10 2 ） 4 =1.6×10 9 。 16. 64x 6 17. D 18. D 19. C 1 幂的乘除 （第 4 课时） 1. （ 1 ） 3 （ 2 ） 4 9 （ 3 ） 1 2. （ 1 ） y （ 2 ） a 3 b 3 （ 3 ） c 2 3. （ 1 ） x 2n （ 2 ） a 4 （ 3 ） －3 4. （ 1 ） －a 3 （ 2 ） 5 （ 3 ） （ a－b ） 4 5. 8.5×10 -5 6. 2.01×10 -6 7. （ 1 ） -3 （ 2 ） 4 8. （ 1 ） 6 （ 2 ） 2 3 9. C 10. B 11. C 12. C 13. （ 1 ） -125 （ 2 ） 1 9 （ 3 ） x 5 （ 4 ） a 2n-1 （ 5 ） -16 （ 6 ） 24m 6 （ 7 ） 6 （ 8 ） - 3 4 14. （ 2.88×10 7 ） ÷ （ 1.8× 10 6 ） =16 。 15. 解： 2×10 3 ×5×10 -8 =1×10 -4 （ cm ）。 答： 用 2×10 3 个这样的细胞排成一排的长度是 1×10 -4 cm 。 16. 解： 900÷10 9 =9×10 -7 （ mm 2 ）， 9×10 -7 ÷10 6 =9×10 -13 （ m 2 ）。 答： 每个这样的元件约占 9×10 -7 mm 2 ， 约占 9×10 -13 m 2 。 17. 解： （ x m ÷x 2n ） 3 ÷x m-n = （ x m-2n ） 3 ÷x m-n =x 3m-6n ÷x m-n =x 2m-5n 。 因为 （ x m ÷x 2n ） 3 ÷x m-n 与 4x 2 为同类项， 即 x 2m-5n 与 4x 2 为同类项， 所以 2m-5n=2 。 所以 2m-5n-7=-5 。 * 18. 解： （ 1 ） 因为 a 6 ÷a m =a 6-m ， 所以 a 6-m =a 2 。 所以 6-m=2 。 所以 m=4 。 （ 2 ） 因为 4 m · 8 m-1 ÷2 m =2 2m · 2 3m-3 ÷2 m =2 5m-3-m ， 所以 2 5m-3-m =2 9 ， 所以 5m-3-m=9 。 解得 m=3 。 （ 3 ） 因为 5y-2x-3=0 ， 所以 5y- 2x=3 。 所以 32 y ÷4 x = （ 2 5 ） y ÷ （ 2 2 ） x =2 5y ÷2 2x =2 5y-2x =2 3 =8 。 * 19. 解： （ 1 ） 因为 a m =8 ， 所以 a 2m = （ a m ） 2 =8 2 =64 。 又因为 a 2m-n = a 2m ÷a n =16 ， 所以 64÷a n =16 。 所以 a n =64÷16=4 。 （ 2 ） 因为 a x =6 ， a y =2 ， 所以 （ a x ） 2 =6 2 =36 ， （ a y ） 4 =2 4 ， 即 a 2x =36 ， a 4y =16 。 所以 a 2x-4y =a 2x ÷a 4y =36÷16= 9 4 。 （ 3 ） a-c=2b 。 理由： 因为 x a-c =x a ÷x c =28÷7=4=2 2 ， （ x b ） 2 =2 2 ， 所以 x a-c =x 2b 。 所以 a-c=2b 。 20. x 2 21. 3 22. 4.3×10 -17 23. 16 24. -1 或 1 或 3 25. C 26. D 27. B 28. C 2 整式的乘法 （第 1 课时） 1. （ 1 ） -8xy 3 （ 2 ） -108x 7 y 3 2. -2 3. -x 6 y 4 4. A 5. B 6. C 7. （ 1 ） -12a 5 bx 6 （ ２ ） - 1 4 x 8 y 4 （ 3 ） 6×10 16 参考答案与提示 173