1 幂的乘除(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 计算： （ 1 ） － （ y m ） 3 ； （ 2 ） （ a 2 ） 3 · a 5 。 【分析】 （ 1 ） 先运用幂的乘方性质计算 （ y m ） 3 ， 其结果的相反数即为所求； （ 2 ） 先运用 幂的乘方性质得到算式 a 6 · a 5 ， 再运用同底数幂的乘法性质即可。 【解答】 （ 1 ） － （ y m ） 3 =－y 3m ； （ 2 ） （ a 2 ） 3 · a 5 =a 6 · a 5 =a 6+5 =a 11 。 【点拨】 注意幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质的区别和联系。 相同点： 两个性质的底数 都不变； 不同点： 幂的乘方性质是指数相乘， 同底数幂的乘法性质是指数相加， 二者不可混淆。 基础巩固 达标闯关 1. 计算： （ 1 ） y 5 · y 5 = ； （ 2 ） （ y 5 ） 2 = ； （ 3 ） y 5 +y 5 = 。 2. 计算： （ 1 ） a n · a n = ； （ 2 ） （ a n ） n = ； （ 3 ） a n +a n = 。 3. 计算： （ 1 ） ［（ －x ） 2 ］ 3 = ； （ 2 ） （ -x 2 ） 3 = ； （ 3 ） ［ - （ x n ） 2 ］ ３ = 。 4. 若 x ， y 均为实数， 且 43 x ＝2 025 ， 47 y ＝2 025 ， 则 43 xy · 47 xy ＝ 。 5. （ 1 ） 若（ x 2 ） m =x 2 · x m ， 则 m= ； （ 2 ） 若 x 3n =4 ， y 2n =3 ， 则 x 6n y 4n = 。 6. 已知 2a+3b=4 ， 则 9 a · 27 b = 。 7. （ 1 ） 已知 64 4 ×8 3 =2 x ， 则 x= ； （ 2 ） 已知 2 2x+3 －2 2x+1 =192 ， 则 x= 。 8. 计算： （ 1 ） （ x 4 ） 3 ·（ x 3 ） 4 ； （ 2 ） （ p n ） 2 · p ； （ 3 ）（ a 2 ） 6 － （ a 3 ） 4 ； （ 4 ） a ·（ -a ） 2 · a 3 ·（ a 2 ） 4 ； （ 5 ） （ y 3 ） 2 + （ y 2 ） 3 +y 2 · y 4 。 能力提升 综合拓展 9. 已知 n 为正整数， 且 x 2n =7 ， 求（ x 3n ） 2 －4 ·（ x 2 ） 2n 的值。 1 幂的乘除 （第 2课时） 4 整式的乘除 第一章 10. 观察下列算式： 2 1 =2 ， 2 2 =4 ， 2 3 =8 ， 2 4 =16 ， 2 5 =32 ， 2 6 =64 ， 2 7 =128 ， 2 8 =256 ， …。 通过观察， 你发现了什么规律？ 用你所发现的规律写出 8 9 的末位数字是多少。 * 11. 请观察 “比较 2 100 与 3 75 的大小” 的解题过程： 解： 因为 2 100 = （ 2 4 ） 25 =16 25 ， 3 75 = （ 3 3 ） 25 =27 25 ， 又因为 16＜27 ， 所以 2 100 ＜3 75 。 请你仿照上面的解题思路， 比较 3 100 与 5 60 的大小。 注： 带 “ * ” 题是思维拓展题， 略有难度。 以下带 “ * ” 题情况相同。 * 12. 规定一种运算： 如果 a c =b ， 那么 （ a ， b ） =c 。 例如， 若 2 3 =8 ， 则 （ 2 ， 8 ） =3 。 （ 1 ） 根据上述规定的运算填空： （ 3 ， 27 ） = ， （ -2 ， ） =5 。 （ 2 ） 小明在研究这种运算时发现一种现象： （ 3 n ， 4 n ） = （ 3 ， 4 ）， 小明给出了如下证明过程： 解： 设 （ 3 n ， 4 n ） =x ， 则 （ 3 n ） x =4 n ， 即 （ 3 x ） n =4 n ， 所以 3 x =4 。 所以 （ 3 ， 4 ） =x 。 所以 （ 3 n ， 4 n ） = （ 3 ， 4 ）。 请你用这种方法说明： （ 3 ， 4 ） + （ 3 ， 5 ） = （ 3 ， 20 ）。 中考链接 真题演练 13． （ 2023 ·甘孜） 下列计算正确的是 （ ） A． x 2 +x 3 =x 5 B． 2x 2 -x 2 =x 2 C． x 2 · x 3 =x 6 D． （ x 2 ） 3 =x 5 14. （ 2021 ·广东） 已知 9 m ＝3 ， 27 n ＝4 ， 则 3 2m+3n ＝ （ ） A． 1 B． 6 C． 7 D． 12 15. （ 2021 ·泸州） 已知 10 a ＝20 ， 100 b ＝50 ， 则 1 2 a+b+ 3 2 的值是 （ ） A． 2 B． 5 2 C． 3 D． 9 2 5 参考答案与提示 第一章 整式的乘除 1 幂的乘除 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 1 8 （ 2 ） -625 （ 3 ） -a 4 （ 4 ） 2 200 2. （ 1 ） （ a-b ） 5 （ 2 ） 3 6+m 3. （ 1 ） 1 （ 2 ） 4 4. （ 1 ） 1 （ 2 ） 256 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. B 11. （ 1 ） -x 16 （ 2 ） （ 2x-3 ） 9 （ 3 ） （ x+y ） 3n-2 （ 4 ） 0 12. 4×10 6 ×2.5× 3.6×10=3.6×10 8 （ m 3 ）。 13. 2 提示： 3 （ 2n+1 ） + （ 2n-1 ） =3 4n =3 4 ， 4n=4 ， n=1 。 14. 解： 由题意得 m+2n+1=12 ， m+2+n-1=9 ， 将 m+n=8 代入 m+2n+1=12 ， 得 n=3 ， 再将 n=3 代入 m+n=8 ， 得 m=5 ， 所以 n m =243 。 15. 解： 4 GB=2 2 ×2 10 ×2 10 ×2 10 = 2 2+10+10+10 =2 32 （ B ）。 * 16. 解： （ 1 ） 7茚8=10 7 ×10 8 =10 15 。 （ 2 ） 相等， 理由： 因为 （ a+b ） 茚c=10 a+b ×10 c =10 a+b+c ， a茚 （ b+ c ） =10 a ×10 b+c =10 a+b+c ， 所以两者相等。 17. x 5 18. D 19. D 1 幂的乘除 （第 2 课时） 1. （ 1 ） y 10 （ 2 ） y 10 （ 3 ） 2y 5 2. （ 1 ） a 2n （ 2 ） a n 2 （ 3 ） 2a n 3. （ 1 ） x 6 （ 3 ） -x 6 （ 3 ） -x 6n 4. 2 025 x+y 5. （ 1 ） 2 （ 2 ） 144 6. 81 7. （ 1 ） 33 （ 2 ） 5 2 8. （ 1 ） x 24 （ 2 ） p 2n+1 （ 3 ） 0 （ 4 ） a 14 （ 5 ） 3y 6 9. 解： 原式 = （ x 2n ） 3 -4 ·（ x 2n ） 2 =7 3 -4×7 2 =147 。 10. 解： 基本规律是对于 2 n ， n 被 4 除， 如果余 1 ， 则 2 n 的结果末位数字是 2 ； 如果余 2 ， 则 2 n 的结果末位数字是 4 ； 如果余 3 ， 则 2 n 的结果末位数字是 8 ； 如果整除， 则 2 n 的结果末位数字是 6 。 而 8 9 =2 27 ， 27÷4=6 …… 3 ， 则 8 9 的结果末位数字是 8 。 * 11. 解： 因为 3 100 = （ 3 5 ） 20 =243 20 ， 5 60 = （ 5 3 ） 20 =125 20 ， 又因为 243> 125 ， 所以 3 100 >5 60 。 * 12. 解： （ 1 ） 3 -32 提示： 因为 3 3 ＝27 ， 所以 （ 3 ， 27 ） ＝3 ； 因为 （ -2 ） 5 ＝-32 ， 所以 （ -2 ， -32 ） ＝5 。 （ 2 ） 理由： 设 （ 3 ， 4 ） ＝a ， （ 3 ， 5 ） ＝b ， 则 （ 3 ， 4 ） + （ 3 ， 5 ） =a+b ， 3 a ＝4 ， 3 b ＝5 。 所以 3 a · 3 b ＝4×5=20 。 所以 3 a+b ＝20 。 所以 （ 3 ， 20 ） ＝a+b 。 所以 （ 3 ， 4 ） + （ 3 ， 5 ） = （ 3 ， 20 ）。 13. B 14. D 15. C 1 幂的乘除 （第 3 课时） 1. （ 1 ） 4a 4 b 2 （ 2 ） 27x 3 y 9 2. 36 3. （ 1 ） 1 （ 2 ） -5 4. 8 5. 3 2 6. （ 1 ） 16x 4 y 12 z 8 （ 2 ） 64x 6 7. C 8. B 9. A 10. B 11. D 12. （ 1 ） 6a 8 （ 2 ） 4 125 a 6 b 12 （ 3 ） 0 （ 4 ） 32 （ 5 ） 9 （ 2y-3x ） 21 。 13. 解： （ 1 ） 原式 = 12 5 5 # 11 × - 5 6 5 6 11 × 1 2 × 1 2 2 6 11 = 1 2 × - 5 6 × 12 5 × 1 2 5 6 11 = 1 2 × （ -1 ） 11 =- 1 2 。 （ 2 ） 原式 =3 100 ×2 306 × 1 2 5 6 206 =3 100 ×2 100 ×2 206 × 1 2 5 6 206 = （ 3×2 ） 100 × 2× 1 2 5 6 206 =6 100 ×1 206 =6 100 。 * 14. 解： （ 1 ） 因为 9 x =3 6 ， 所以 （ 3 2 ） x =3 6 。 所以 3 2x =3 6 。 所以 2x=6 。 所以 x=3 。 （ 2 ） 因为 3 y+2 -3 y+1 =18 ， 所以 3×3 y+1 -3 y+1 =18 ， 所以 2×3 y+1 =2×3 2 。 所以 3 y+1 =3 2 。 所以 y+1=2 。 所以 y=1 。 （ 3 ） 因 为 m=6 t+1 -6 t ， n=18× 1 3 5 6 t+1 - 1 3 5 6 t ， 所以 m=6×6 t -6 t =5×6 t ， n=18× 1 3 5 6 t+1 - 1 3 5 6 t =6× 1 3 5 6 t - 1 3 5 6 t =5× 1 3 5 6 t 。 所以 mn= 5×6 t ×5× 1 3 5 6 t =25× 6× 1 3 5 6 t =25×2 t 。 因为 mn=400 ， 所以 25×2 t =400 。 所以 2 t =16=2 4 。 所以 t=4 。 * 15. 解： （ 1 ） 因为 2 x+3 · 3 x+3 =36 x-2 ， 所以 （ 2×3 ） x+3 = （ 6 2 ） x-2 ， 即 6 x+3 =6 2 （ x-2 ） 。 所以 x+3=2 （ x-2 ）。 解得 x=7 。 （ 2 ） 因为 3×2 x+3 ×4 x+3 =96 ， 所 以 2 x+3 ×2 2 （ x+3 ） =32 。 所以 2 3 （ x+3 ） =2 5 。 所以 3 （ x+3 ） =5 。 解得 x=- 4 3 。 （ 3 ） N= （ 2 3 ） 4 × （ 5 2 ） 4 = （ 8×25 ） 4 = （ 2×10 2 ） 4 =1.6×10 9 。 16. 64x 6 17. D 18. D 19. C 1 幂的乘除 （第 4 课时） 1. （ 1 ） 3 （ 2 ） 4 9 （ 3 ） 1 2. （ 1 ） y （ 2 ） a 3 b 3 （ 3 ） c 2 3. （ 1 ） x 2n （ 2 ） a 4 （ 3 ） －3 4. （ 1 ） －a 3 （ 2 ） 5 （ 3 ） （ a－b ） 4 5. 8.5×10 -5 6. 2.01×10 -6 7. （ 1 ） -3 （ 2 ） 4 8. （ 1 ） 6 （ 2 ） 2 3 9. C 10. B 11. C 12. C 13. （ 1 ） -125 （ 2 ） 1 9 （ 3 ） x 5 （ 4 ） a 2n-1 （ 5 ） -16 （ 6 ） 24m 6 （ 7 ） 6 （ 8 ） - 3 4 14. （ 2.88×10 7 ） ÷ （ 1.8× 10 6 ） =16 。 15. 解： 2×10 3 ×5×10 -8 =1×10 -4 （ cm ）。 答： 用 2×10 3 个这样的细胞排成一排的长度是 1×10 -4 cm 。 16. 解： 900÷10 9 =9×10 -7 （ mm 2 ）， 9×10 -7 ÷10 6 =9×10 -13 （ m 2 ）。 答： 每个这样的元件约占 9×10 -7 mm 2 ， 约占 9×10 -13 m 2 。 17. 解： （ x m ÷x 2n ） 3 ÷x m-n = （ x m-2n ） 3 ÷x m-n =x 3m-6n ÷x m-n =x 2m-5n 。 因为 （ x m ÷x 2n ） 3 ÷x m-n 与 4x 2 为同类项， 即 x 2m-5n 与 4x 2 为同类项， 所以 2m-5n=2 。 所以 2m-5n-7=-5 。 * 18. 解： （ 1 ） 因为 a 6 ÷a m =a 6-m ， 所以 a 6-m =a 2 。 所以 6-m=2 。 所以 m=4 。 （ 2 ） 因为 4 m · 8 m-1 ÷2 m =2 2m · 2 3m-3 ÷2 m =2 5m-3-m ， 所以 2 5m-3-m =2 9 ， 所以 5m-3-m=9 。 解得 m=3 。 （ 3 ） 因为 5y-2x-3=0 ， 所以 5y- 2x=3 。 所以 32 y ÷4 x = （ 2 5 ） y ÷ （ 2 2 ） x =2 5y ÷2 2x =2 5y-2x =2 3 =8 。 * 19. 解： （ 1 ） 因为 a m =8 ， 所以 a 2m = （ a m ） 2 =8 2 =64 。 又因为 a 2m-n = a 2m ÷a n =16 ， 所以 64÷a n =16 。 所以 a n =64÷16=4 。 （ 2 ） 因为 a x =6 ， a y =2 ， 所以 （ a x ） 2 =6 2 =36 ， （ a y ） 4 =2 4 ， 即 a 2x =36 ， a 4y =16 。 所以 a 2x-4y =a 2x ÷a 4y =36÷16= 9 4 。 （ 3 ） a-c=2b 。 理由： 因为 x a-c =x a ÷x c =28÷7=4=2 2 ， （ x b ） 2 =2 2 ， 所以 x a-c =x 2b 。 所以 a-c=2b 。 20. x 2 21. 3 22. 4.3×10 -17 23. 16 24. -1 或 1 或 3 25. C 26. D 27. B 28. C 2 整式的乘法 （第 1 课时） 1. （ 1 ） -8xy 3 （ 2 ） -108x 7 y 3 2. -2 3. -x 6 y 4 4. A 5. B 6. C 7. （ 1 ） -12a 5 bx 6 （ ２ ） - 1 4 x 8 y 4 （ 3 ） 6×10 16 参考答案与提示 173